{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-2)\nRozwiąż równanie\n(27𝑥3 + 1)(𝑥2 -4) = 0\nw zbiorze liczb rzeczywistych.\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n3.7) korzysta z własności iloczynu przy\nrozwiązywaniu równań typu\n𝑥(𝑥+ 1)(𝑥-7) = 0;\n3.6) korzysta z definicji pierwiastka do\nrozwiązywania równań typu 𝑥3 = -8;\n3.4) rozwiązuje równania kwadratowe\nz jedną niewiadomą.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i uzyskanie poprawnych rozwiązań równania:\n𝑥= -2, 𝑥= -1\n3\n, 𝑥= 2.\n1 pkt - zapisanie dwóch równań: 27𝑥3 + 1 = 0 oraz 𝑥2 -4 = 0\nALBO\n- przekształcenie równania (27𝑥3 + 1)(𝑥2 -4) = 0 do postaci\n(3𝑥+ 1)(9𝑥2 -3𝑥+ 1)(𝑥-2)(𝑥+ 2) = 0,\nALBO\n- rozwiązanie równania 27𝑥3 + 1 = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych: 𝑥= -1\n3 ,\nALBO\n- rozwiązanie równania 𝑥2 -4 = 0: 𝑥= -2, 𝑥= 2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający poda wszystkie rozwiązania równania, bez zapisywania rachunków lub\nuzasadnienia, to otrzymuje 2 punkty.\n2. Jeżeli zdający uzyska trzy poprawne rozwiązania równania, lecz traktuje równanie jako\nnierówność (podaje zbiór rozwiązań w postaci przedziału/sumy przedziałów), to otrzymuje\n1 punkt za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający poprawnie zapisze lewą stronę równania w postaci sumy jednomianów\ni doprowadzając ją do postaci iloczynu popełni błędy, ale skorzysta z własności iloczynu\nrównego zero, to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 1 punkt.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nIloczyn jest równy zero, jeśli przynajmniej jeden z czynników jest równy zero. Zatem:\n27𝑥3 + 1 = 0 lub 𝑥2 -4 = 0\nRównanie 27𝑥3 + 1 = 0 ma jedno rozwiązanie rzeczywiste: 𝑥= √-1\n27\n3\n= -1\n3 .\nRównanie 𝑥2 -4 = 0 ma dwa rozwiązania rzeczywiste: 𝑥= -2, 𝑥= 2.\nZatem rzeczywistymi rozwiązaniami równania (27𝑥3 + 1)(𝑥2 -4) = 0 są liczby:\n𝑥= -2, 𝑥= -1\n3, 𝑥= 2.","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 26. (0-2)<br>Rozwiąż równanie<br>(27𝑥3 + 1)(𝑥2 -4) = 0<br>w zbiorze liczb rzeczywistych.</p>\n<p>EMAP-P0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 26. (0-2)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.<br>Zdający:<br>3.7) korzysta z własności iloczynu przy<br>rozwiązywaniu równań typu<br>𝑥(𝑥+ 1)(𝑥-7) = 0;<br>3.6) korzysta z definicji pierwiastka do<br>rozwiązywania równań typu 𝑥3 = -8;<br>3.4) rozwiązuje równania kwadratowe<br>z jedną niewiadomą.<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i uzyskanie poprawnych rozwiązań równania:<br>𝑥= -2, 𝑥= -1<br>3<br>, 𝑥= 2.<br>1 pkt - zapisanie dwóch równań: 27𝑥3 + 1 = 0 oraz 𝑥2 -4 = 0<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie równania (27𝑥3 + 1)(𝑥2 -4) = 0 do postaci</li></ul>\n<p>(3𝑥+ 1)(9𝑥2 -3𝑥+ 1)(𝑥-2)(𝑥+ 2) = 0,<br>ALBO</p>\n<ul><li>rozwiązanie równania 27𝑥3 + 1 = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych: 𝑥= -1</li></ul>\n<p>3 ,<br>ALBO</p>\n<ul><li>rozwiązanie równania 𝑥2 -4 = 0: 𝑥= -2, 𝑥= 2.</li></ul>\n<p>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający poda wszystkie rozwiązania równania, bez zapisywania rachunków lub</li></ol>\n<p>uzasadnienia, to otrzymuje 2 punkty.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający uzyska trzy poprawne rozwiązania równania, lecz traktuje równanie jako</li></ol>\n<p>nierówność (podaje zbiór rozwiązań w postaci przedziału/sumy przedziałów), to otrzymuje<br>1 punkt za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający poprawnie zapisze lewą stronę równania w postaci sumy jednomianów</li></ol>\n<p>i doprowadzając ją do postaci iloczynu popełni błędy, ale skorzysta z własności iloczynu<br>równego zero, to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 1 punkt.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Iloczyn jest równy zero, jeśli przynajmniej jeden z czynników jest równy zero. Zatem:<br>27𝑥3 + 1 = 0 lub 𝑥2 -4 = 0<br>Równanie 27𝑥3 + 1 = 0 ma jedno rozwiązanie rzeczywiste: 𝑥= √-1<br>27<br>3<br>= -1<br>3 .<br>Równanie 𝑥2 -4 = 0 ma dwa rozwiązania rzeczywiste: 𝑥= -2, 𝑥= 2.<br>Zatem rzeczywistymi rozwiązaniami równania (27𝑥3 + 1)(𝑥2 -4) = 0 są liczby:<br>𝑥= -2, 𝑥= -1<br>3, 𝑥= 2.</p>","solutions":[]}