{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-2)\nRozwiąż równanie\n3𝑥+ 4\n𝑥-1 = 𝑥+ 3\n3𝑥\n, gdzie 𝑥≠0 i 𝑥≠1.\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n3.8) rozwiązuje proste równania wymierne,\nprowadzące do równań liniowych lub\nkwadratowych […].\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i uzyskanie poprawnych rozwiązań równania:\n𝑥= -3\n4 oraz 𝑥= -1\n2\n1 pkt - przekształcenie równania 3𝑥 + 4\n𝑥 - 1 = 𝑥 + 3\n3𝑥 do równania kwadratowego, np.\n(3𝑥+ 4) ⋅3𝑥= (𝑥-1) ⋅(𝑥+ 3).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe przy przekształcaniu równania, otrzyma\nrównanie kwadratowe, które ma dwa rozwiązania i konsekwentnie je rozwiąże do końca,\nto może otrzymać 1 punkt za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający, przekształcając równanie wymierne do równania kwadratowego, zastosuje\nbłędną metodę - np. zapisze (3𝑥+ 4) ⋅(𝑥+ 3) = (𝑥-1) ⋅3𝑥, to otrzymuje 0 punktów\nza całe rozwiązanie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n3. Jeżeli zdający poprawnie przekształci równanie do równania kwadratowego, uzyska\npoprawne wartości pierwiastków, lecz traktuje równanie jako nierówność (rysuje parabolę\ni podaje przedziały jako rozwiązanie), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\nPodobnie, jeżeli zdający poprawnie przekształci równanie do równania kwadratowego,\nuzyska poprawne wartości pierwiastków, lecz poda odpowiedź w postaci przedziału/sumy\nprzedziałów, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzekształcamy równanie:\n3𝑥+ 4\n𝑥-1 = 𝑥+ 3\n3𝑥\n(3𝑥+ 4) ⋅3𝑥= (𝑥-1) ⋅(𝑥+ 3)\nRozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe:\n9𝑥2 + 12𝑥= 𝑥2 + 3𝑥-𝑥-3\n8𝑥2 + 10𝑥+ 3 = 0\nObliczamy wyróżnik Δ trójmianu kwadratowego 8𝑥2 + 10𝑥+ 3:\nΔ = 102 -4 ⋅8 ⋅3 = 100 -96 = 4\nStąd:\n𝑥1 = -10 -√4\n2 ⋅8\n= -3\n4\n𝑥2 = -10 + √4\n2 ⋅8\n= -1\n2\nOtrzymane pierwiastki są różne od liczby 0 i różne od liczby 1, więc są rozwiązaniami\ndanego równania.","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":21,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 27. (0-2)<br>Rozwiąż równanie<br>3𝑥+ 4<br>𝑥-1 = 𝑥+ 3<br>3𝑥<br>, gdzie 𝑥≠0 i 𝑥≠1.</p>\n<p>EMAP-P0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 27. (0-2)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.<br>Zdający:<br>3.8) rozwiązuje proste równania wymierne,<br>prowadzące do równań liniowych lub<br>kwadratowych […].<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i uzyskanie poprawnych rozwiązań równania:<br>𝑥= -3<br>4 oraz 𝑥= -1<br>2<br>1 pkt - przekształcenie równania 3𝑥 + 4<br>𝑥 - 1 = 𝑥 + 3<br>3𝑥 do równania kwadratowego, np.<br>(3𝑥+ 4) ⋅3𝑥= (𝑥-1) ⋅(𝑥+ 3).<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe przy przekształcaniu równania, otrzyma</li></ol>\n<p>równanie kwadratowe, które ma dwa rozwiązania i konsekwentnie je rozwiąże do końca,<br>to może otrzymać 1 punkt za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający, przekształcając równanie wymierne do równania kwadratowego, zastosuje</li></ol>\n<p>błędną metodę - np. zapisze (3𝑥+ 4) ⋅(𝑥+ 3) = (𝑥-1) ⋅3𝑥, to otrzymuje 0 punktów<br>za całe rozwiązanie.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający poprawnie przekształci równanie do równania kwadratowego, uzyska</li></ol>\n<p>poprawne wartości pierwiastków, lecz traktuje równanie jako nierówność (rysuje parabolę<br>i podaje przedziały jako rozwiązanie), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.<br>Podobnie, jeżeli zdający poprawnie przekształci równanie do równania kwadratowego,<br>uzyska poprawne wartości pierwiastków, lecz poda odpowiedź w postaci przedziału/sumy<br>przedziałów, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Przekształcamy równanie:<br>3𝑥+ 4<br>𝑥-1 = 𝑥+ 3<br>3𝑥<br>(3𝑥+ 4) ⋅3𝑥= (𝑥-1) ⋅(𝑥+ 3)<br>Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe:<br>9𝑥2 + 12𝑥= 𝑥2 + 3𝑥-𝑥-3<br>8𝑥2 + 10𝑥+ 3 = 0<br>Obliczamy wyróżnik Δ trójmianu kwadratowego 8𝑥2 + 10𝑥+ 3:<br>Δ = 102 -4 ⋅8 ⋅3 = 100 -96 = 4<br>Stąd:<br>𝑥1 = -10 -√4<br>2 ⋅8<br>= -3<br>4<br>𝑥2 = -10 + √4<br>2 ⋅8<br>= -1<br>2<br>Otrzymane pierwiastki są różne od liczby 0 i różne od liczby 1, więc są rozwiązaniami<br>danego równania.</p>","solutions":[]}