{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby całkowitej 𝑛≥0 liczba 7𝑛+ 7𝑛+1 + 7𝑛+2 jest podzielna\nprzez 19.\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\n1.4) […] stosuje prawa działań na potęgach\no wykładnikach wymiernych;\n1.5) wykorzystuje podstawowe własności\npotęg […].\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia 7𝑛+ 7𝑛+1 + 7𝑛+2 do postaci 7𝑛⋅(1 + 7 + 72).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy tylko dla wybranych wartości 𝑛, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nKorzystamy z własności działań na potęgach i otrzymujemy:\n7𝑛+ 7𝑛+1 + 7𝑛+2 = 7𝑛+ 7𝑛⋅7 + 7𝑛⋅72\nWyłączamy wspólny czynnik przed nawias i otrzymujemy:\n7𝑛+ 7𝑛⋅7 + 7𝑛⋅72 = 7𝑛⋅(1 + 7 + 72) = 7𝑛⋅57 = 19 ⋅3 ⋅7𝑛\nLiczba 3 ⋅7𝑛 jest liczbą całkowitą dla każdej liczby całkowitej 𝑛≥0, zatem liczba\n7𝑛+ 7𝑛+1 + 7𝑛+2 jest podzielna przez 19 dla każdej liczby całkowitej 𝑛≥0.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 28. (0-2)<br>Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej 𝑛≥0 liczba 7𝑛+ 7𝑛+1 + 7𝑛+2 jest podzielna<br>przez 19.</p>\n<p>EMAP-P0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 28. (0-2)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>V. Rozumowanie i argumentacja.<br>Zdający:<br>1.4) […] stosuje prawa działań na potęgach<br>o wykładnikach wymiernych;<br>1.5) wykorzystuje podstawowe własności<br>potęg […].<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.<br>1 pkt - przekształcenie wyrażenia 7𝑛+ 7𝑛+1 + 7𝑛+2 do postaci 7𝑛⋅(1 + 7 + 72).<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwaga:<br>Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy tylko dla wybranych wartości 𝑛, to otrzymuje<br>0 punktów za całe rozwiązanie.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Korzystamy z własności działań na potęgach i otrzymujemy:<br>7𝑛+ 7𝑛+1 + 7𝑛+2 = 7𝑛+ 7𝑛⋅7 + 7𝑛⋅72<br>Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias i otrzymujemy:<br>7𝑛+ 7𝑛⋅7 + 7𝑛⋅72 = 7𝑛⋅(1 + 7 + 72) = 7𝑛⋅57 = 19 ⋅3 ⋅7𝑛<br>Liczba 3 ⋅7𝑛 jest liczbą całkowitą dla każdej liczby całkowitej 𝑛≥0, zatem liczba<br>7𝑛+ 7𝑛+1 + 7𝑛+2 jest podzielna przez 19 dla każdej liczby całkowitej 𝑛≥0.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[]}