{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-2)\nW trójkącie ostrokątnym 𝐴𝐵𝐶 punkt 𝐷 leży na boku 𝐴𝐵 i odcinek 𝐶𝐷 jest wysokością\ntego trójkąta. Punkt 𝐸 jest środkiem boku 𝐴𝐶.\nPonadto odcinki 𝐷𝐵 oraz 𝐷𝐸 mają równe długości (zobacz rysunek).\nWykaż, że |∡𝐶𝐴𝐵| = 2 ⋅|∡𝐴𝐵𝐸|.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐸\n𝐷\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\nG10.21) konstruuje okrąg opisany na\ntrójkącie […].\nZasady oceniania\n2 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n1 pkt - zapisanie, że |𝐴𝐸| = |𝐷𝐸|\nALBO\n- zapisanie, że |∡𝐸𝐴𝐷| = |∡𝐴𝐷𝐸|,\nALBO\n- zapisanie, że |∡𝐵𝐸𝐷| = |∡𝐷𝐵𝐸|,\nALBO\n- wyznaczenie zależności między miarami kątów 𝐴𝐷𝐸 i 𝐴𝐵𝐸, np.\n|∡𝐴𝐷𝐸| = 2 ⋅|∡𝐴𝐵𝐸|.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nNiech |∡𝐶𝐴𝐵| = 𝛼 oraz |∡𝐴𝐵𝐸| = 𝛽 (zobacz rysunek). Wtedy tezę możemy zapisać\nw postaci 𝛼= 2𝛽.\nZ równości |𝐷𝐵| = |𝐷𝐸| wynika, że trójkąt 𝐷𝐵𝐸 jest równoramienny. Stąd:\n|∡𝐵𝐸𝐷| = |∡𝐷𝐵𝐸| = 𝛽\nZatem z twierdzenia o sumie miar kątów wewnętrznych trójkąta wynika, że:\n|∡𝐸𝐷𝐵| = 180° -2𝛽\nTrójkąt 𝐴𝐷𝐶 jest prostokątny i punkt 𝐸 jest środkiem jego przeciwprostokątnej (tzn. że\npunkt 𝐸 jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie 𝐴𝐷𝐶), więc:\n|𝐴𝐸| = |𝐷𝐸| = |𝐶𝐸|\nStąd wynika, że trójkąt 𝐴𝐷𝐸 jest równoramienny, zatem:\n|∡𝐴𝐷𝐸| = |∡𝐸𝐴𝐷| = 𝛼\nKąty 𝐴𝐷𝐸 i 𝐸𝐷𝐵 są przyległe, więc:\n𝛼= |∡𝐴𝐷𝐸| = 180° -|∡𝐸𝐷𝐵| = 180° -(180° -2𝛽) = 2𝛽\nZatem 𝛼= 2𝛽. To kończy dowód.\nUwaga.\nRówność |∡𝐴𝐷𝐸| = 2𝛽 możemy też otrzymać, korzystając z twierdzenia o kącie\nzewnętrznym trójkąta.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐸\n𝐷\n𝛽\n𝛼\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 30. (0-2)<br>W trójkącie ostrokątnym 𝐴𝐵𝐶 punkt 𝐷 leży na boku 𝐴𝐵 i odcinek 𝐶𝐷 jest wysokością<br>tego trójkąta. Punkt 𝐸 jest środkiem boku 𝐴𝐶.<br>Ponadto odcinki 𝐷𝐵 oraz 𝐷𝐸 mają równe długości (zobacz rysunek).<br>Wykaż, że |∡𝐶𝐴𝐵| = 2 ⋅|∡𝐴𝐵𝐸|.<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>𝐸<br>𝐷</p>\n<p>EMAP-P0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 30. (0-2)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>V. Rozumowanie i argumentacja.<br>Zdający:<br>G10.21) konstruuje okrąg opisany na<br>trójkącie […].<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania.<br>1 pkt - zapisanie, że |𝐴𝐸| = |𝐷𝐸|<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie, że |∡𝐸𝐴𝐷| = |∡𝐴𝐷𝐸|,</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie, że |∡𝐵𝐸𝐷| = |∡𝐷𝐵𝐸|,</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>wyznaczenie zależności między miarami kątów 𝐴𝐷𝐸 i 𝐴𝐵𝐸, np.</li></ul>\n<p>|∡𝐴𝐷𝐸| = 2 ⋅|∡𝐴𝐵𝐸|.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Niech |∡𝐶𝐴𝐵| = 𝛼 oraz |∡𝐴𝐵𝐸| = 𝛽 (zobacz rysunek). Wtedy tezę możemy zapisać<br>w postaci 𝛼= 2𝛽.<br>Z równości |𝐷𝐵| = |𝐷𝐸| wynika, że trójkąt 𝐷𝐵𝐸 jest równoramienny. Stąd:<br>|∡𝐵𝐸𝐷| = |∡𝐷𝐵𝐸| = 𝛽<br>Zatem z twierdzenia o sumie miar kątów wewnętrznych trójkąta wynika, że:<br>|∡𝐸𝐷𝐵| = 180° -2𝛽<br>Trójkąt 𝐴𝐷𝐶 jest prostokątny i punkt 𝐸 jest środkiem jego przeciwprostokątnej (tzn. że<br>punkt 𝐸 jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie 𝐴𝐷𝐶), więc:<br>|𝐴𝐸| = |𝐷𝐸| = |𝐶𝐸|<br>Stąd wynika, że trójkąt 𝐴𝐷𝐸 jest równoramienny, zatem:<br>|∡𝐴𝐷𝐸| = |∡𝐸𝐴𝐷| = 𝛼<br>Kąty 𝐴𝐷𝐸 i 𝐸𝐷𝐵 są przyległe, więc:<br>𝛼= |∡𝐴𝐷𝐸| = 180° -|∡𝐸𝐷𝐵| = 180° -(180° -2𝛽) = 2𝛽<br>Zatem 𝛼= 2𝛽. To kończy dowód.<br>Uwaga.<br>Równość |∡𝐴𝐷𝐸| = 2𝛽 możemy też otrzymać, korzystając z twierdzenia o kącie<br>zewnętrznym trójkąta.<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>𝐸<br>𝐷<br>𝛽<br>𝛼<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[]}