{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-2)\nDany jest sześcioelementowy zbiór 𝐾= {2, 3, 4, 5, 6, 7}. Ze zbioru 𝐾 losujemy bez\nzwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 polegającego na tym, że liczba wylosowana za\npierwszym razem będzie parzysta i jednocześnie iloczyn obu wylosowanych liczb będzie\nwiększy od 16.\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n10.3) oblicza prawdopodobieństwa\nw prostych sytuacjach, stosując klasyczną\ndefinicję prawdopodobieństwa.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑃(𝐴) = 7\n30 .\n1 pkt - wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych LUB obliczenie/podanie liczby tych\nzdarzeń: |Ω| = 6 ⋅5\nALBO\n- sporządzenie tabeli o 36 polach, z których 6 jest wykreślonych a pozostałe 30\nodpowiada zdarzeniom elementarnym,\nALBO\n- sporządzenie pełnego drzewa stochastycznego,\nALBO\n- wypisanie (lub zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych\nsprzyjających zdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego,\nALBO\n- podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:\n|𝐴| = 7, o ile nie zostały zliczone błędne pary,\nALBO\n- sporządzenie fragmentu drzewa stochastycznego, które zawiera wszystkie gałęzie\nsprzyjające zdarzeniu 𝐴, oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej\njednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,\nALBO\n- podanie prawdopodobieństwa jednoelementowego zdarzenia (elementarnego): 1\n30 ,\nALBO\n- zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = 7\n30 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisuje tylko liczby 7 lub 30 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych\nliczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający rozważa losowanie ze zwracaniem, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑥, 𝑦), gdzie\n𝑥, 𝑦∈{2, 3, 4, 5, 6, 7} i 𝑥≠𝑦.\nLiczbę wszystkich zdarzeń elementarnych obliczamy, korzystając z reguły mnożenia:\n|Ω| = 6 ⋅5 = 30\nZdarzeniu 𝐴 sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:\n(4, 5), (4, 6), (4, 7), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 7), więc |𝐴| = 7.\nZatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 7\n30\nSposób II\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑥, 𝑦), gdzie\n𝑥, 𝑦∈{2, 3, 4, 5, 6, 7} i 𝑥≠𝑦.\nW tabeli literą 𝒜 zaznaczamy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴.\nDruga wylosowana liczba\nPierwsza wylosowana liczba\n𝟐\n𝟑\n𝟒\n𝟓\n𝟔\n𝟕\n𝟐\n𝟑\n𝟒\n𝒜\n𝒜\n𝒜\n𝟓\n𝟔\n𝒜\n𝒜\n𝒜\n𝒜\n𝟕\nWszystkich zdarzeń elementarnych jest 30. Zdarzeń sprzyjających zdarzeniu 𝐴 jest 7.\nZatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 7\n30\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":25,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 31. (0-2)
Dany jest sześcioelementowy zbiór 𝐾= {2, 3, 4, 5, 6, 7}. Ze zbioru 𝐾 losujemy bez
zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 polegającego na tym, że liczba wylosowana za
pierwszym razem będzie parzysta i jednocześnie iloczyn obu wylosowanych liczb będzie
większy od 16.

\n

EMAP-P0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 31. (0-2)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Modelowanie matematyczne.
Zdający:
10.3) oblicza prawdopodobieństwa
w prostych sytuacjach, stosując klasyczną
definicję prawdopodobieństwa.
Zasady oceniania
2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑃(𝐴) = 7
30 .
1 pkt - wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych LUB obliczenie/podanie liczby tych
zdarzeń: |Ω| = 6 ⋅5
ALBO

\n\n

odpowiada zdarzeniom elementarnym,
ALBO

\n\n

ALBO

\n\n

sprzyjających zdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego,
ALBO

\n\n

|𝐴| = 7, o ile nie zostały zliczone błędne pary,
ALBO

\n\n

sprzyjające zdarzeniu 𝐴, oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej
jednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,
ALBO

\n\n

30 ,
ALBO

\n\n

30 .
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający zapisuje tylko liczby 7 lub 30 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych
\n

liczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający rozważa losowanie ze zwracaniem, to otrzymuje 0 punktów za całe
\n

rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑥, 𝑦), gdzie
𝑥, 𝑦∈{2, 3, 4, 5, 6, 7} i 𝑥≠𝑦.
Liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych obliczamy, korzystając z reguły mnożenia:
|Ω| = 6 ⋅5 = 30
Zdarzeniu 𝐴 sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:
(4, 5), (4, 6), (4, 7), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 7), więc |𝐴| = 7.
Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 7
30
Sposób II
Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑥, 𝑦), gdzie
𝑥, 𝑦∈{2, 3, 4, 5, 6, 7} i 𝑥≠𝑦.
W tabeli literą 𝒜 zaznaczamy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴.
Druga wylosowana liczba
Pierwsza wylosowana liczba
𝟐
𝟑
𝟒
𝟓
𝟔
𝟕
𝟐
𝟑
𝟒
𝒜
𝒜
𝒜
𝟓
𝟔
𝒜
𝒜
𝒜
𝒜
𝟕
Wszystkich zdarzeń elementarnych jest 30. Zdarzeń sprzyjających zdarzeniu 𝐴 jest 7.
Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 7
30
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[]}