Zadanie 32. (0-4)
W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷, w którym 𝐷= (6, 19).
Bok 𝐴𝐵 tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu 𝑦= 1
2 𝑥+ 9,
a bok 𝐴𝐷 zawiera się w prostej o równaniu 𝑦= 4𝑥-5.
Punkt 𝐾= (10, 14) jest środkiem odcinka 𝐴𝐵.
Przekątne równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷 przecinają się w punkcie 𝑆.
Oblicz odległość punktu 𝑆 od początku układu współrzędnych.
EMAP-P0_100
\nEMAP-P0_100
","answer_text_html":"Zadanie 32. (0-4)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie strategii.
Zdający:
8.4) oblicza współrzędne punktu przecięcia
dwóch prostych;
8.5) wyznacza współrzędne środka odcinka;
8.6) oblicza odległość dwóch punktów.
Zasady oceniania
4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: √445.
3 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝑆: 𝑆= (11, 18).
2 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐵: 𝐵= (16, 17)
ALBO
ALBO
\nśrodka 𝑀𝐾𝐷 odcinka 𝐾𝐷: 𝑀𝐴𝐷= (5, 15), 𝑀𝐾𝐷= (8, 33
2 ),
ALBO
2 ⋅𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ):
𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = [2, 8] (lub 1
2 ⋅𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = [1, 4]),
ALBO
𝑦= 4𝑥-26 (równanie prostej równoległej do 𝐴𝐷) oraz
𝑦= 1
2 𝑥+ 25
2 (równanie prostej równoległej do 𝐴𝐵),
ALBO
np.:
𝑥𝐵+ 6
2
= 𝑥𝑆 oraz
1
2 𝑥𝐵+ 9 + 19
2
= 4𝑥𝑆-26,
𝑥𝐵+ 6
2
= 𝑥𝑆 oraz 𝑦𝐵+ 19
2
= 𝑦𝑆 oraz 𝑦𝐵= 1
2 𝑥𝐵+ 9 oraz 𝑦𝑆= 4𝑥𝑆-26.
1 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐴: 𝐴= (4, 11)
ALBO
2 ),
ALBO
𝑦= 4𝑥-26 (równanie prostej równoległej do 𝐴𝐷),
ALBO
𝑥𝐵 + 6
2
= 𝑥𝑆 oraz 𝑦𝐵 + 19
2
= 𝑦𝑆 oraz zapisanie współrzędnych punktu 𝐵
w zależności od jednej zmiennej (𝑥𝐵 lub 𝑦𝐵), np. 𝐵= (𝑥𝐵, 1
2 𝑥𝐵+ 9).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga:
Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:
a) zastosowanie niepoprawnego wzoru na współczynnik kierunkowy prostej,
b) zastosowanie niepoprawnego związku między współczynnikami kierunkowymi
prostych równoległych,
c) zastosowanie niepoprawnego wzoru na współrzędne środka odcinka,
i rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać
2 punkt za całe rozwiązanie. Jeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych błędów
a)-c), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby
punktów.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Punkt 𝐴 jest punktem wspólnym prostych 𝐴𝐵 i 𝐴𝐷, zatem współrzędne tego punktu są
rozwiązaniem układu równań:
{ 𝑦= 1
2 𝑥+ 9
𝑦= 4𝑥-5
Stąd:
1
2 𝑥+ 9 = 4𝑥-5
7
2 𝑥= 14
𝑥= 4
𝑦= 11
Zatem 𝐴= (4, 11).
Punkt 𝐾 jest środkiem odcinka 𝐴𝐵, więc:
4 + 𝑥𝐵
2
= 10 oraz 11 + 𝑦𝐵
2
= 14
𝑥𝐵= 16 oraz 𝑦𝐵= 17
Zatem 𝐵= (16, 17).
Punkt 𝑆= (𝑥𝑆, 𝑦𝑆) jest środkiem odcinka 𝐵𝐷, więc:
𝑥𝑆= 16 + 6
2
= 11 oraz 17 + 19
2
= 18
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Zatem 𝑆= (11, 18).
Obliczamy odległość punktu 𝑆 od początku układu współrzędnych:
√(11 -0)2 + (18 -0)2 = √121 + 324 = √445
Sposób II
Punkt 𝐴 jest punktem wspólnym prostych 𝐴𝐵 i 𝐴𝐷, zatem współrzędne tego punktu są
rozwiązaniem układu równań:
{
𝑦= 1
2 𝑥+ 9
𝑦= 4𝑥-5
Stąd:
1
2 𝑥+ 9 = 4𝑥-5
7
2 𝑥= 14
𝑥= 4
𝑦= 11
Zatem 𝐴= (4, 11).
Prosta 𝑆𝐾 jest równoległa do prostej 𝐴𝐷, zatem współczynnik kierunkowy prostej 𝑆𝐾 jest
równy 4. Wyznaczamy równanie prostej 𝑆𝐾:
𝑦= 4(𝑥-10) + 14
𝑦= 4𝑥-26
Oznaczmy przez 𝑀𝐴𝐷 środek odcinka 𝐴𝐷. Obliczmy współrzędne punktu 𝑀𝐴𝐷:
𝑀𝐴𝐷= (4 + 6
2
, 11 + 19
2
) = (5, 15)
Prosta 𝑆𝑀𝐴𝐷 jest równoległa do prostej 𝐴𝐵, zatem współczynnik kierunkowy prostej 𝑆𝑀𝐴𝐷
jest równy 1
2
. Wyznaczamy równanie prostej 𝑆𝑀𝐴𝐷:
𝑦= 1
2 (𝑥-5) + 15
𝑦= 1
2 𝑥+ 25
2
Punkt 𝑆 jest punktem wspólnym prostych 𝑆𝐾 i 𝑆𝑀𝐴𝐷, zatem współrzędne tego punktu są
rozwiązaniem układu równań:
{
𝑦= 4𝑥-26
𝑦= 1
2 𝑥+ 25
2
Stąd:
4𝑥-26 = 1
2 𝑥+ 25
2
7
2 𝑥= 77
2
𝑥= 11
𝑦= 18
Zatem 𝑆= (11, 18).
Obliczamy odległość punktu 𝑆 od początku układu współrzędnych:
√(11 -0)2 + (18 -0)2 = √121 + 324 = √445
Sposób III
Prosta 𝑆𝐾 jest równoległa do prostej 𝐴𝐷, zatem współczynnik kierunkowy prostej 𝑆𝐾 jest
równy 4. Wyznaczamy równanie prostej 𝑆𝐾:
𝑦= 4(𝑥-10) + 14
𝑦= 4𝑥-26
Punkt 𝑆 leży na prostej o równaniu 𝑦= 4𝑥-26, stąd 𝑦𝑆= 4𝑥𝑆-26.
Punkt 𝐵 leży na prostej o równaniu 𝑦= 1
2 𝑥+ 9, stąd 𝑦𝐵= 1
2 𝑥𝐵+ 9.
Punkt 𝑆 jest środkiem odcinka 𝐵𝐷, więc:
𝑥𝐵+ 𝑥𝐷
2
= 𝑥𝑆 oraz 𝑦𝐵+ 𝑦𝐷
2
= 𝑦𝑆
Zatem:
𝑥𝐵+ 6
2
= 𝑥𝑆 oraz
1
2 𝑥𝐵+ 9 + 19
2
= 4𝑥𝑆-26
𝑥𝐵= 2𝑥𝑆-6 oraz 1
2 𝑥𝐵+ 28 = 8𝑥𝑆-52
Stąd otrzymujemy:
1
2 (2𝑥𝑆-6) + 28 = 8𝑥𝑆-52
𝑥𝑆-3 + 28 = 8𝑥𝑆-52
7𝑥𝑆= 77
𝑥𝑆= 11
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Wtedy:
𝑦𝑆= 4𝑥𝑆-26 = 4 ⋅11 -26 = 18
Zatem 𝑆= (11, 18).
Obliczamy odległość punktu 𝑆 od początku układu współrzędnych:
√(11 -0)2 + (18 -0)2 = √121 + 324 = √445
Sposób IV
Punkt 𝐴 jest punktem wspólnym prostych 𝐴𝐵 i 𝐴𝐷, zatem współrzędne tego punktu są
rozwiązaniem układu równań:
{ 𝑦= 1
2 𝑥+ 9
𝑦= 4𝑥-5
Stąd:
1
2 𝑥+ 9 = 4𝑥-5
7
2 𝑥= 14
𝑥= 4
𝑦= 11
Zatem 𝐴= (4, 11).
Zauważmy, że 𝐾𝑆⃗⃗⃗⃗⃗ = 1
2 ⋅𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ . Obliczamy współrzędne wektorów 𝐾𝑆⃗⃗⃗⃗⃗ oraz 1
2 ⋅𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ :
𝐾𝑆⃗⃗⃗⃗⃗ = [𝑥𝑆-10, 𝑦𝑆-14]
1
2 ⋅𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 1
2 ⋅[6 -4, 19 -11] = 1
2 ⋅[2, 8] = [1, 4]
Stąd:
𝑥𝑆-10 = 1 oraz 𝑦𝑆-14 = 4
𝑥𝑆= 11 oraz 𝑦𝑆= 18
Zatem 𝑆= (11, 18).
Obliczamy odległość punktu 𝑆 od początku układu współrzędnych:
√(11 -0)2 + (18 -0)2 = √121 + 324 = √445
Sposób V
Prosta 𝑆𝐾 jest równoległa do prostej 𝐴𝐷, zatem współczynnik kierunkowy prostej 𝑆𝐾 jest
równy 4. Wyznaczamy równanie prostej 𝑆𝐾:
𝑦= 4(𝑥-10) + 14
𝑦= 4𝑥-26
Oznaczmy przez 𝑀𝐾𝐷 środek odcinka 𝐾𝐷. Obliczmy współrzędne punktu 𝑀𝐾𝐷:
𝑀𝐾𝐷= (10 + 6
2
, 14 + 19
2
) = (8, 33
2 )
Prosta 𝑆𝑀𝐾𝐷 jest równoległa do prostej 𝐴𝐵, zatem współczynnik kierunkowy prostej 𝑆𝑀𝐾𝐷
jest równy 1
2
. Wyznaczamy równanie prostej 𝑆𝑀𝐾𝐷:
𝑦= 1
2 (𝑥-8) + 33
2
𝑦= 1
2 𝑥+ 25
2
Punkt 𝑆 jest punktem wspólnym prostych 𝑆𝐾 i 𝑆𝑀𝐾𝐷, zatem współrzędne tego punktu są
rozwiązaniem układu równań:
{
𝑦= 4𝑥-26
𝑦= 1
2 𝑥+ 25
2
Stąd:
4𝑥-26 = 1
2 𝑥+ 25
2
7
2 𝑥= 77
2
𝑥= 11
𝑦= 18
Zatem 𝑆= (11, 18).
Obliczamy odległość punktu 𝑆 od początku układu współrzędnych:
√(11 -0)2 + (18 -0)2 = √121 + 324 = √445
Zasady oceniania rozwiązań zadań