{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"34","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (0-5)\nFunkcja kwadratowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐.\nNajwiększa wartość funkcji 𝑓 jest równa 100.\nZbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja 𝑓 przyjmuje wartości dodatnie, jest\nprzedział (-2, 8).\nOblicz wartości współczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐.\n\nEMAP-P0_100\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (0-5)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n4.9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na\npodstawie pewnych informacji o tej funkcji\nlub o jej wykresie.\nZasady oceniania\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑎= -4, 𝑏= 24, 𝑐= 64.\n4 pkt - spełnienie jednego z kryteriów za 3 punkty oraz obliczenie wartości jednego ze\nwspółczynników 𝑎, 𝑏 lub 𝑐: 𝑎= -4 lub 𝑏= 24, lub 𝑐= 64.\n3 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 2)(𝑥-8) oraz obliczenie\nwspółrzędnych wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji 𝑓: 𝑊= (3, 100)\nALBO\n- zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-3)2 + 100,\nALBO\n- zapisanie układu trzech niezależnych równań z trzema niewiadomymi 𝑎, 𝑏, 𝑐\nprowadzącego do obliczenia wartości współczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐, np.:\n𝑎⋅(-2)2 + 𝑏⋅(-2) + 𝑐= 0 oraz\n𝑎⋅82 + 𝑏⋅8 + 𝑐= 0 oraz\n-(𝑏2-4𝑎𝑐)\n4𝑎\n= 100\nlub\n𝑎⋅(-2)2 + 𝑏⋅(-2) + 𝑐= 0 oraz\n𝑎⋅82 + 𝑏⋅8 + 𝑐= 0 oraz\n𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= 100\n2 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 2)(𝑥-8)\nALBO\n- obliczenie współrzędnych wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji 𝑓:\n𝑊= (3, 100),\nALBO\n- zapisanie, że liczba 𝑞= 100 jest drugą współrzędną wierzchołka paraboli będącej\nwykresem funkcji 𝑓 oraz zapisanie jednego z równań:\n𝑎⋅(-2)2 + 𝑏⋅(-2) + 𝑐= 0 lub 𝑎⋅82 + 𝑏⋅8 + 𝑐= 0.\n1 pkt - zapisanie, że liczby 𝑥1 = -2 oraz 𝑥2 = 8 są miejscami zerowymi funkcji 𝑓\nALBO\n- zapisanie, że liczba 𝑞= 100 jest drugą współrzędną wierzchołka paraboli będącej\nwykresem funkcji 𝑓,\nALBO\n- zapisanie, że liczba 𝑝= 3 jest pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli będącej\nwykresem funkcji 𝑓,\nALBO\n- zapisanie jednego z równań:\n𝑎⋅(-2)2 + 𝑏⋅(-2) + 𝑐= 0 lub 𝑎⋅82 + 𝑏⋅8 + 𝑐= 0.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający poprawnie obliczy/poda obie współrzędne wierzchołka paraboli, ale zapisze\nbłędne równanie 0 = 𝑎(-2 + 3)2 + 100 lub 0 = 𝑎(8 + 3)2 + 100, a następnie\nkonsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 3 punkty\nza całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający poprawnie zidentyfikuje miejsca zerowe funkcji 𝑓, ale zapisze błędne\nrównanie 100 = 𝑎(3 -2)(3 + 8) lub 100 = 𝑎(3 -2)(3 -8), lub\n100 = 𝑎(3 + 2)(3 + 8), a następnie konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże\nzadanie do końca, to otrzymuje 3 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nNajwiększa wartość funkcji 𝑓 jest równa 100, zatem liczba 𝑞= 100 jest drugą\nwspółrzędną wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓.\nPonieważ zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja 𝑓 przyjmuje wartości\ndodatnie jest przedział (-2, 8), więc liczby 𝑥1 = -2 oraz 𝑥2 = 8 są miejscami zerowymi\nfunkcji 𝑓.\nObliczamy pierwszą współrzędną 𝑝 wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓:\n𝑝= 𝑥1 + 𝑥2\n2\n= -2 + 8\n2\n= 3\nKorzystamy ze wzoru na postać kanoniczną funkcji kwadratowej i zapisujemy:\n𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-3)2 + 100, gdzie 𝑎≠0.\nLiczba (-2) jest miejscem zerowym funkcji 𝑓, więc:\n𝑓(-2) = 0\n𝑎(-2 -3)2 + 100 = 0\n25𝑎= -100\n𝑎= -4\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej:\n𝑓(𝑥) = -4(𝑥-3)2 + 100\nPrzekształcamy wzór funkcji 𝑓 do postaci ogólnej:\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑓(𝑥) = -4(𝑥-3)2 + 100 = -4(𝑥2 -6𝑥+ 9) + 100 = -4𝑥2 + 24𝑥+ 64\nWartości współczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐 we wzorze funkcji 𝑓 są więc równe:\n𝑎= -4, 𝑏= 24, 𝑐= 64.\nSposób II\nPonieważ zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja 𝑓 przyjmuje wartości\ndodatnie jest przedział (-2, 8), więc liczby 𝑥1 = -2 oraz 𝑥2 = 8 są miejscami zerowymi\nfunkcji 𝑓.\nKorzystamy ze wzoru na postać iloczynową funkcji kwadratowej i zapisujemy:\n𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 2)(𝑥-8), gdzie 𝑎≠0.\nObliczamy pierwszą współrzędną 𝑝 wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓:\n𝑝= 𝑥1 + 𝑥2\n2\n= -2 + 8\n2\n= 3\nNajwiększa wartość funkcji 𝑓 jest równa 100, zatem liczba 𝑞= 100 jest drugą\nwspółrzędną wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓.\nPunkt 𝑊= (3, 100) jest wierzchołkiem wykresu funkcji 𝑓, więc:\n𝑓(3) = 100\n𝑎(3 + 2)(3 -8) = 100\n-25𝑎= 100\n𝑎= -4\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci iloczynowej:\n𝑓(𝑥) = -4(𝑥+ 2)(𝑥-8)\nPrzekształcamy wzór funkcji 𝑓 do postaci ogólnej:\n𝑓(𝑥) = -4(𝑥+ 2)(𝑥-8) = -4(𝑥2 -6𝑥-16) = -4𝑥2 + 24𝑥+ 64\nWartości współczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐 we wzorze funkcji 𝑓 są więc równe:\n𝑎= -4, 𝑏= 24, 𝑐= 64.\nSposób III\nPonieważ zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja 𝑓 przyjmuje wartości\ndodatnie jest przedział (-2, 8), więc liczby 𝑥1 = -2 oraz 𝑥2 = 8 są miejscami zerowymi\nfunkcji 𝑓. Zatem:\n{ 𝑓(-2) = 0\n𝑓(8) = 0\n{ 𝑎⋅(-2)2 + 𝑏⋅(-2) + 𝑐= 0\n𝑎⋅82 + 𝑏⋅8 + 𝑐= 0\n{ 4𝑎-2𝑏+ 𝑐= 0\n64𝑎+ 8𝑏+ 𝑐= 0\nOdejmując równania stronami, otrzymujemy:\n(4𝑎-2𝑏+ 𝑐) -(64𝑎+ 8𝑏+ 𝑐) = 0\n-60𝑎-10𝑏= 0\n𝑏= -6𝑎\nPonieważ największa wartość funkcji 𝑓 jest równa 100, zatem liczba 𝑞= 100 jest drugą\nwspółrzędną wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓. Stąd:\n-∆\n4𝑎= 100\n-(𝑏2 -4𝑎𝑐)\n4𝑎\n= 100\nPodstawiamy do ostatniego równania w miejsce 𝑏 wyrażenie (-6𝑎) i otrzymujemy:\n-((-6𝑎)2 -4𝑎𝑐)\n4𝑎\n= 100\n-36𝑎2 + 4𝑎𝑐\n4𝑎\n= 100\n4𝑎⋅(-9𝑎+ 𝑐)\n4𝑎\n= 100\n-9𝑎+ 𝑐= 100\n𝑐= 9𝑎+ 100\nZ uzyskanych równań 4𝑎-2𝑏+ 𝑐= 0, 𝑏= -6𝑎 oraz 𝑐= 9𝑎+ 100 obliczamy wartości\nwspółczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐:\n4𝑎-2𝑏+ 𝑐= 0\n4𝑎-2 ⋅(-6𝑎) + (9𝑎+ 100) = 0\n4𝑎+ 12𝑎+ 9𝑎+ 100 = 0\n25𝑎= -100\n𝑎= -4\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑏= -6𝑎= -6 ⋅(-4) = 24\n𝑐= 9𝑎+ 100 = 9 ⋅(-4) + 100 = 64\nSposób IV\nPonieważ zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja 𝑓 przyjmuje wartości\ndodatnie jest przedział (-2, 8), więc liczby 𝑥1 = -2 oraz 𝑥2 = 8 są miejscami zerowymi\nfunkcji 𝑓. Zatem 𝑓(-2) = 0 oraz 𝑓(8) = 0.\nObliczamy pierwszą współrzędną 𝑝 wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓:\n𝑝= 𝑥1 + 𝑥2\n2\n= -2 + 8\n2\n= 3\nNajwiększa wartość funkcji 𝑓 jest równa 100, więc liczba 𝑞= 100 jest drugą współrzędną\nwierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓. Zatem 𝑓(3) = 100.\nZ uzyskanych równości 𝑓(-2) = 0, 𝑓(8) = 0 oraz 𝑓(3) = 100 obliczamy wartości\nwspółczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐:\n{\n𝑓(-2) = 0\n𝑓(8) = 0\n𝑓(3) = 100\n{\n𝑎⋅(-2)2 + 𝑏⋅(-2) + 𝑐= 0\n𝑎⋅82 + 𝑏⋅8 + 𝑐= 0\n𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= 100\n{\n4𝑎-2𝑏+ 𝑐= 0\n64𝑎+ 8𝑏+ 𝑐= 0\n9𝑎+ 3𝑏+ 𝑐= 100\n{\n4𝑎-2𝑏+ 𝑐= 0\n64𝑎+ 8𝑏+ 𝑐= 0\n𝑐= 100 -9𝑎-3𝑏\n{\n4𝑎-2𝑏+ 100 -9𝑎-3𝑏= 0\n64𝑎+ 8𝑏+ 100 -9𝑎-3𝑏= 0\n𝑐= 100 -9𝑎-3𝑏\n{\n-5𝑎-5𝑏+ 100 = 0 /: (-5)\n55𝑎+ 5𝑏+ 100 = 0 /: 5\n𝑐= 100 -9𝑎-3𝑏\n{\n𝑎+ 𝑏-20 = 0\n11𝑎+ 𝑏+ 20 = 0\n𝑐= 100 -9𝑎-3𝑏\n{\n𝑎+ 𝑏-20 = 0\n𝑏= -11𝑎-20\n𝑐= 100 -9𝑎-3𝑏\n{\n𝑎-11𝑎-20 -20 = 0\n𝑏= -11𝑎-20\n𝑐= 100 -9𝑎-3 ⋅(-11𝑎-20)\n{\n-10𝑎= 40\n𝑏= -11𝑎-20\n𝑐= 160 + 24𝑎\n{\n𝑎= -4\n𝑏= -11𝑎-20\n𝑐= 160 + 24𝑎\n{\n𝑎= -4\n𝑏= -11 ⋅(-4) -20 = 24\n𝑐= 160 + 24 ⋅(-4) = 64\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nOcena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nObowiązują Zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez\nstwierdzonej dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:\na) ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią (punkty 1.-12.);\nb) dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy\nosób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom podstawowy,\ntermin dodatkowy 2026.\nI. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią\n1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek wynikających z:\nbłędnego przepisania\nprzestawienia cyfr\nzapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie\nprzestawienia położenia przecinka\nprzestawienia położenia znaku liczby.\n2. W przypadku błędów wynikających ze zmiany znaku liczby należy w każdym zadaniu\noddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza\numiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania\nbadanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.\n3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę rozwiązania,\nczęści lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej 1 punkt, zgodnie\nz kryteriami do poszczególnych zadań.\n4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub zapisuje\nnawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne rozumowanie lub\nstosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt za rozwiązanie\nzadania.\n5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu\nkwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę\nwyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania\nwartościach liczbowych.\n6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności\nkwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.\n7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji kwadratowej,\nistotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.\n8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych\nlub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie\ntakiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.\n9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na\npłaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu\nrozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur\ngeometrycznych, lub zapisze zależności pozwalające rozwiązać zadanie.\n10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać\nprzynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających\nrozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje prawidłową metodę\nwyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.\n11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli\npodaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia\nrozwiązania.\n12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub\ngeometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która\nwyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać\n1 punkt.\nII. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób\nze stwierdzoną dyskalkulią\nZadanie 26.\n1 pkt - zapisanie, że liczba 2 jest rozwiązaniem równania 𝑥2 -4 = 0.\nZadanie 27.\nUwaga:\nJeżeli zdający popełnia błąd przy przekształceniu równania 3𝑥 + 4\n𝑥 - 1 = 𝑥 + 3\n3𝑥 do postaci\nrównania kwadratowego, lecz dalej stosuje poprawną metodę rozwiązania otrzymanego\nrównania kwadratowego i konsekwentnie oblicza pierwiastki tego równania, to może\notrzymać 1 punkt za całe rozwiązanie.\nZadanie 28.\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia 7𝑛+ 7𝑛+1 + 7𝑛+2 do postaci 7𝑛+ 7𝑛⋅7 + 7𝑛⋅72.\nZadanie 29.\n1 pkt - zapisanie związku 𝑎2 = 7 + 𝑟\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎4, np. 7+𝑎4\n2\n⋅4 = 54.\nZadanie 30.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZadanie 31.\n1 pkt - zapisanie jedynie liczby 30 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich\nzdarzeń elementarnych).\nUwagi:\n1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi 1.\nze standardowych zasad oceniania.\n2. Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające\nzdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (np. |𝐴| = 8) i konsekwentnie zapisze\nwynik (np. 8\n30), to otrzymuje 2 punkty.\nZadanie 32.\n1 pkt - zapisanie równania, w którym niewiadomą jest pierwsza współrzędna wierzchołka 𝐴,\nnp. 1\n2 𝑥+ 9 = 4𝑥-5.\nZadanie 33.\n1 pkt - zastosowanie definicji funkcji trygonometrycznej lub związków miarowych w trójkącie\no kątach 30°, 60°, 90° i zapisanie równania z jedną niewiadomą (wysokością walca\nlub promieniem podstawy walca), np.: 𝐻\n4√3 = sin 30°, 2𝑟\n4√3 =\n√3\n2 .\nZadanie 34.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":30,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 34. (0-5)
Funkcja kwadratowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐.
Największa wartość funkcji 𝑓 jest równa 100.
Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja 𝑓 przyjmuje wartości dodatnie, jest
przedział (-2, 8).
Oblicz wartości współczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐.

\n

EMAP-P0_100

\n

EMAP-P0_100
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

EMAP-P0_100

\n

MATEMATYKA
Poziom podstawowy
Formuła 2015
MATEMATYKA
Poziom podstawowy
Formuła 2015
MATEMATYKA
Poziom podstawowy
Formuła 2015

","answer_text_html":"

Zadanie 34. (0-5)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie strategii.
Zdający:
4.9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na
podstawie pewnych informacji o tej funkcji
lub o jej wykresie.
Zasady oceniania
5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑎= -4, 𝑏= 24, 𝑐= 64.
4 pkt - spełnienie jednego z kryteriów za 3 punkty oraz obliczenie wartości jednego ze
współczynników 𝑎, 𝑏 lub 𝑐: 𝑎= -4 lub 𝑏= 24, lub 𝑐= 64.
3 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 2)(𝑥-8) oraz obliczenie
współrzędnych wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji 𝑓: 𝑊= (3, 100)
ALBO

\n\n

ALBO

\n\n

prowadzącego do obliczenia wartości współczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐, np.:
𝑎⋅(-2)2 + 𝑏⋅(-2) + 𝑐= 0 oraz
𝑎⋅82 + 𝑏⋅8 + 𝑐= 0 oraz
-(𝑏2-4𝑎𝑐)
4𝑎
= 100
lub
𝑎⋅(-2)2 + 𝑏⋅(-2) + 𝑐= 0 oraz
𝑎⋅82 + 𝑏⋅8 + 𝑐= 0 oraz
𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= 100
2 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 2)(𝑥-8)
ALBO

\n\n

𝑊= (3, 100),
ALBO

\n\n

wykresem funkcji 𝑓 oraz zapisanie jednego z równań:
𝑎⋅(-2)2 + 𝑏⋅(-2) + 𝑐= 0 lub 𝑎⋅82 + 𝑏⋅8 + 𝑐= 0.
1 pkt - zapisanie, że liczby 𝑥1 = -2 oraz 𝑥2 = 8 są miejscami zerowymi funkcji 𝑓
ALBO

\n\n

wykresem funkcji 𝑓,
ALBO

\n\n

wykresem funkcji 𝑓,
ALBO

\n\n

𝑎⋅(-2)2 + 𝑏⋅(-2) + 𝑐= 0 lub 𝑎⋅82 + 𝑏⋅8 + 𝑐= 0.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający poprawnie obliczy/poda obie współrzędne wierzchołka paraboli, ale zapisze
\n

błędne równanie 0 = 𝑎(-2 + 3)2 + 100 lub 0 = 𝑎(8 + 3)2 + 100, a następnie
konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 3 punkty
za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający poprawnie zidentyfikuje miejsca zerowe funkcji 𝑓, ale zapisze błędne
\n

równanie 100 = 𝑎(3 -2)(3 + 8) lub 100 = 𝑎(3 -2)(3 -8), lub
100 = 𝑎(3 + 2)(3 + 8), a następnie konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże
zadanie do końca, to otrzymuje 3 punkty za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Największa wartość funkcji 𝑓 jest równa 100, zatem liczba 𝑞= 100 jest drugą
współrzędną wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓.
Ponieważ zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja 𝑓 przyjmuje wartości
dodatnie jest przedział (-2, 8), więc liczby 𝑥1 = -2 oraz 𝑥2 = 8 są miejscami zerowymi
funkcji 𝑓.
Obliczamy pierwszą współrzędną 𝑝 wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓:
𝑝= 𝑥1 + 𝑥2
2
= -2 + 8
2
= 3
Korzystamy ze wzoru na postać kanoniczną funkcji kwadratowej i zapisujemy:
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-3)2 + 100, gdzie 𝑎≠0.
Liczba (-2) jest miejscem zerowym funkcji 𝑓, więc:
𝑓(-2) = 0
𝑎(-2 -3)2 + 100 = 0
25𝑎= -100
𝑎= -4
Zapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej:
𝑓(𝑥) = -4(𝑥-3)2 + 100
Przekształcamy wzór funkcji 𝑓 do postaci ogólnej:
Zasady oceniania rozwiązań zadań
𝑓(𝑥) = -4(𝑥-3)2 + 100 = -4(𝑥2 -6𝑥+ 9) + 100 = -4𝑥2 + 24𝑥+ 64
Wartości współczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐 we wzorze funkcji 𝑓 są więc równe:
𝑎= -4, 𝑏= 24, 𝑐= 64.
Sposób II
Ponieważ zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja 𝑓 przyjmuje wartości
dodatnie jest przedział (-2, 8), więc liczby 𝑥1 = -2 oraz 𝑥2 = 8 są miejscami zerowymi
funkcji 𝑓.
Korzystamy ze wzoru na postać iloczynową funkcji kwadratowej i zapisujemy:
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 2)(𝑥-8), gdzie 𝑎≠0.
Obliczamy pierwszą współrzędną 𝑝 wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓:
𝑝= 𝑥1 + 𝑥2
2
= -2 + 8
2
= 3
Największa wartość funkcji 𝑓 jest równa 100, zatem liczba 𝑞= 100 jest drugą
współrzędną wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓.
Punkt 𝑊= (3, 100) jest wierzchołkiem wykresu funkcji 𝑓, więc:
𝑓(3) = 100
𝑎(3 + 2)(3 -8) = 100
-25𝑎= 100
𝑎= -4
Zapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci iloczynowej:
𝑓(𝑥) = -4(𝑥+ 2)(𝑥-8)
Przekształcamy wzór funkcji 𝑓 do postaci ogólnej:
𝑓(𝑥) = -4(𝑥+ 2)(𝑥-8) = -4(𝑥2 -6𝑥-16) = -4𝑥2 + 24𝑥+ 64
Wartości współczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐 we wzorze funkcji 𝑓 są więc równe:
𝑎= -4, 𝑏= 24, 𝑐= 64.
Sposób III
Ponieważ zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja 𝑓 przyjmuje wartości
dodatnie jest przedział (-2, 8), więc liczby 𝑥1 = -2 oraz 𝑥2 = 8 są miejscami zerowymi
funkcji 𝑓. Zatem:
{ 𝑓(-2) = 0
𝑓(8) = 0
{ 𝑎⋅(-2)2 + 𝑏⋅(-2) + 𝑐= 0
𝑎⋅82 + 𝑏⋅8 + 𝑐= 0
{ 4𝑎-2𝑏+ 𝑐= 0
64𝑎+ 8𝑏+ 𝑐= 0
Odejmując równania stronami, otrzymujemy:
(4𝑎-2𝑏+ 𝑐) -(64𝑎+ 8𝑏+ 𝑐) = 0
-60𝑎-10𝑏= 0
𝑏= -6𝑎
Ponieważ największa wartość funkcji 𝑓 jest równa 100, zatem liczba 𝑞= 100 jest drugą
współrzędną wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓. Stąd:
-∆
4𝑎= 100
-(𝑏2 -4𝑎𝑐)
4𝑎
= 100
Podstawiamy do ostatniego równania w miejsce 𝑏 wyrażenie (-6𝑎) i otrzymujemy:
-((-6𝑎)2 -4𝑎𝑐)
4𝑎
= 100
-36𝑎2 + 4𝑎𝑐
4𝑎
= 100
4𝑎⋅(-9𝑎+ 𝑐)
4𝑎
= 100
-9𝑎+ 𝑐= 100
𝑐= 9𝑎+ 100
Z uzyskanych równań 4𝑎-2𝑏+ 𝑐= 0, 𝑏= -6𝑎 oraz 𝑐= 9𝑎+ 100 obliczamy wartości
współczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐:
4𝑎-2𝑏+ 𝑐= 0
4𝑎-2 ⋅(-6𝑎) + (9𝑎+ 100) = 0
4𝑎+ 12𝑎+ 9𝑎+ 100 = 0
25𝑎= -100
𝑎= -4
Zasady oceniania rozwiązań zadań
𝑏= -6𝑎= -6 ⋅(-4) = 24
𝑐= 9𝑎+ 100 = 9 ⋅(-4) + 100 = 64
Sposób IV
Ponieważ zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja 𝑓 przyjmuje wartości
dodatnie jest przedział (-2, 8), więc liczby 𝑥1 = -2 oraz 𝑥2 = 8 są miejscami zerowymi
funkcji 𝑓. Zatem 𝑓(-2) = 0 oraz 𝑓(8) = 0.
Obliczamy pierwszą współrzędną 𝑝 wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓:
𝑝= 𝑥1 + 𝑥2
2
= -2 + 8
2
= 3
Największa wartość funkcji 𝑓 jest równa 100, więc liczba 𝑞= 100 jest drugą współrzędną
wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓. Zatem 𝑓(3) = 100.
Z uzyskanych równości 𝑓(-2) = 0, 𝑓(8) = 0 oraz 𝑓(3) = 100 obliczamy wartości
współczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐:
{
𝑓(-2) = 0
𝑓(8) = 0
𝑓(3) = 100
{
𝑎⋅(-2)2 + 𝑏⋅(-2) + 𝑐= 0
𝑎⋅82 + 𝑏⋅8 + 𝑐= 0
𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= 100
{
4𝑎-2𝑏+ 𝑐= 0
64𝑎+ 8𝑏+ 𝑐= 0
9𝑎+ 3𝑏+ 𝑐= 100
{
4𝑎-2𝑏+ 𝑐= 0
64𝑎+ 8𝑏+ 𝑐= 0
𝑐= 100 -9𝑎-3𝑏
{
4𝑎-2𝑏+ 100 -9𝑎-3𝑏= 0
64𝑎+ 8𝑏+ 100 -9𝑎-3𝑏= 0
𝑐= 100 -9𝑎-3𝑏
{
-5𝑎-5𝑏+ 100 = 0 /: (-5)
55𝑎+ 5𝑏+ 100 = 0 /: 5
𝑐= 100 -9𝑎-3𝑏
{
𝑎+ 𝑏-20 = 0
11𝑎+ 𝑏+ 20 = 0
𝑐= 100 -9𝑎-3𝑏
{
𝑎+ 𝑏-20 = 0
𝑏= -11𝑎-20
𝑐= 100 -9𝑎-3𝑏
{
𝑎-11𝑎-20 -20 = 0
𝑏= -11𝑎-20
𝑐= 100 -9𝑎-3 ⋅(-11𝑎-20)
{
-10𝑎= 40
𝑏= -11𝑎-20
𝑐= 160 + 24𝑎
{
𝑎= -4
𝑏= -11𝑎-20
𝑐= 160 + 24𝑎
{
𝑎= -4
𝑏= -11 ⋅(-4) -20 = 24
𝑐= 160 + 24 ⋅(-4) = 64
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Ocena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią
Obowiązują Zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez
stwierdzonej dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:
a) ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną
dyskalkulią (punkty 1.-12.);
b) dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy
osób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom podstawowy,
termin dodatkowy 2026.
I. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną
dyskalkulią

\n
  1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek wynikających z:
\n

błędnego przepisania
przestawienia cyfr
zapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie
przestawienia położenia przecinka
przestawienia położenia znaku liczby.

\n
  1. W przypadku błędów wynikających ze zmiany znaku liczby należy w każdym zadaniu
\n

oddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza
umiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania
badanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.

\n
  1. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę rozwiązania,
\n

części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej 1 punkt, zgodnie
z kryteriami do poszczególnych zadań.

\n
  1. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub zapisuje
\n

nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne rozumowanie lub
stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt za rozwiązanie
zadania.

\n
  1. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu
\n

kwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę
wyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania
wartościach liczbowych.

\n
  1. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający
\n

może otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności
kwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.

\n
  1. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej zdający
\n

może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji kwadratowej,
istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.

\n
  1. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych
\n

lub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie
takiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.

\n
  1. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na
\n

płaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu
rozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur
geometrycznych, lub zapisze zależności pozwalające rozwiązać zadanie.

\n
  1. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać
\n

przynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających
rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje prawidłową metodę
wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.

\n
  1. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli
\n

podaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia
rozwiązania.

\n
  1. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub
\n

geometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która
wyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać
1 punkt.
II. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób
ze stwierdzoną dyskalkulią
Zadanie 26.
1 pkt - zapisanie, że liczba 2 jest rozwiązaniem równania 𝑥2 -4 = 0.
Zadanie 27.
Uwaga:
Jeżeli zdający popełnia błąd przy przekształceniu równania 3𝑥 + 4
𝑥 - 1 = 𝑥 + 3
3𝑥 do postaci
równania kwadratowego, lecz dalej stosuje poprawną metodę rozwiązania otrzymanego
równania kwadratowego i konsekwentnie oblicza pierwiastki tego równania, to może
otrzymać 1 punkt za całe rozwiązanie.
Zadanie 28.
1 pkt - przekształcenie wyrażenia 7𝑛+ 7𝑛+1 + 7𝑛+2 do postaci 7𝑛+ 7𝑛⋅7 + 7𝑛⋅72.
Zadanie 29.
1 pkt - zapisanie związku 𝑎2 = 7 + 𝑟
ALBO

\n\n

2
⋅4 = 54.
Zadanie 30.
Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Zadanie 31.
1 pkt - zapisanie jedynie liczby 30 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich
zdarzeń elementarnych).
Uwagi:

\n
  1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi 1.
\n

ze standardowych zasad oceniania.

\n
  1. Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające
\n

zdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (np. |𝐴| = 8) i konsekwentnie zapisze
wynik (np. 8
30), to otrzymuje 2 punkty.
Zadanie 32.
1 pkt - zapisanie równania, w którym niewiadomą jest pierwsza współrzędna wierzchołka 𝐴,
np. 1
2 𝑥+ 9 = 4𝑥-5.
Zadanie 33.
1 pkt - zastosowanie definicji funkcji trygonometrycznej lub związków miarowych w trójkącie
o kątach 30°, 60°, 90° i zapisanie równania z jedną niewiadomą (wysokością walca
lub promieniem podstawy walca), np.: 𝐻
4√3 = sin 30°, 2𝑟
4√3 =
√3
2 .
Zadanie 34.
Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.

","solutions":[]}