{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"10","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-4)\nChleb sprzedawany w pewnym supermarkecie pochodzi z trzech piekarni: 𝒫1, 𝒫2, 𝒫3.\nStosunek liczby bochenków chleba dostarczonego przez piekarnie 𝒫1, 𝒫2 oraz 𝒫3 do tego\nsupermarketu jest - odpowiednio - równy 2 ∶3 ∶4.\nLiczba bochenków chleba razowego dostarczonego do tego supermarketu z piekarni:\n𝒫1 stanowi 10% liczby wszystkich bochenków chleba dostarczonego z tej piekarni\n𝒫2 stanowi 12% liczby wszystkich bochenków chleba dostarczonego z tej piekarni\n𝒫3 stanowi 15% liczby wszystkich bochenków chleba dostarczonego z tej piekarni.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że bochenek chleba losowo\nwybrany w tym supermarkecie pochodzi z piekarni 𝒫1, jeśli wiadomo, że ten chleb jest\nrazowy.\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n10.2R) oblicza prawdopodobieństwo\nwarunkowe;\n10.3R) korzysta z twierdzenia\no prawdopodobieństwie całkowitym.\nZasady oceniania (dla sposobu I)\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 5\n29 .\n3 pkt - wyznaczenie prawdopodobieństw zdarzeń 𝐴1 ∩𝐵 oraz 𝐵, np. 𝑃(𝐴1 ∩𝐵) = 0,2\n9\noraz 𝑃(𝐵) =\n1,16𝑛\n2𝑛 + 3𝑛 + 4𝑛 ,\nALBO\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐾\n𝐿\n𝑝\n𝑀\nℴ1\nℴ2\n𝛼\n𝛽\n𝛼\n𝛼\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- zapisanie liczby bochenków chleba razowego dostarczonego przez piekarnię 𝒫1 oraz\nłącznej liczby bochenków chleba razowego dostarczonego przez piekarnie\nw zależności od jednej zmiennej, np. 0,2𝑛 oraz 1,16𝑛.\n2 pkt - wyznaczenie prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴1 ∩𝐵, np.\n𝑃(𝐴1 ∩𝐵) =\n0,2𝑛\n2𝑛 + 3𝑛 + 4𝑛\nALBO\n- wyznaczenie prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐵, np. 𝑃(𝐵) =\n1,16𝑛\n2𝑛 + 3𝑛 + 4𝑛 ,\nALBO\n- zapisanie liczby bochenków chleba dostarczonego przez poszczególne piekarnie\noraz liczby bochenków chleba razowego dostarczonego przez piekarnię 𝒫1\nw zależności od jednej zmiennej, np. 2𝑛 oraz 3𝑛 i 4𝑛 oraz 0,2𝑛.\n1 pkt - zapisanie liczby bochenków chleba dostarczonego przez poszczególne piekarnie\nw zależności od jednej zmiennej, np. 2𝑛 oraz 3𝑛 i 4𝑛.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania (dla sposobu II)\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 5\n29 .\n3 pkt - obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐵: 𝑃(𝐵) = 116\n900 .\n2 pkt - zapisanie/obliczenie prawdopodobieństw zdarzeń 𝐴1, 𝐴2 i 𝐴3 oraz\nprawdopodobieństw 𝑃(𝐵|𝐴1), 𝑃(𝐵|𝐴2) i 𝑃(𝐵|𝐴3): 𝑃(𝐴1) = 2\n9 oraz 𝑃(𝐴2) = 3\n9 ,\noraz 𝑃(𝐴3) = 4\n9 , oraz 𝑃(𝐵|𝐴1) = 10\n100 , oraz 𝑃(𝐵|𝐴2) = 12\n100 , oraz\n𝑃(𝐵|𝐴3) = 15\n100 .\n1 pkt - zapisanie/obliczenie prawdopodobieństw zdarzeń 𝐴1, 𝐴2 i 𝐴3: 𝑃(𝐴1) = 2\n9 oraz\n𝑃(𝐴2) = 3\n9 , oraz 𝑃(𝐴3) = 4\n9\nALBO\n- zapisanie/obliczenie prawdopodobieństw 𝑃(𝐵|𝐴1), 𝑃(𝐵|𝐴2) i 𝑃(𝐵|𝐴3):\n𝑃(𝐵|𝐴1) = 10\n100 oraz 𝑃(𝐵|𝐴2) = 12\n100 , oraz 𝑃(𝐵|𝐴3) = 15\n100 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nStosunek liczby bochenków chleba dostarczonego przez piekarnie 𝒫1, 𝒫2 oraz 𝒫3 do tego\nsupermarketu jest równy - odpowiednio - 2 ∶3 ∶4, więc liczby bochenków chleba\ndostarczonego do supermarketu przez piekarnie 𝒫1, 𝒫2 oraz 𝒫3 wynoszą - odpowiednio -\n2𝑛, 3𝑛 oraz 4𝑛 (przy pewnym 𝑛 całkowitym dodatnim).\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝐴1 - zdarzenie polegające na tym, że wybrany losowo chleb pochodzi z piekarni 𝒫1,\n𝐵 - zdarzenie polegające na tym, że wybrany losowo chleb jest razowy.\nZ warunków zadania wynika, że liczba bochenków chleba razowego dostarczonego\nz piekarni:\n• 𝒫1 jest równa 0,1 ⋅2𝑛= 0,2𝑛\n• 𝒫2 jest równa 0,12 ⋅3𝑛= 0,36𝑛\n• 𝒫3 jest równa 0,15 ⋅4𝑛= 0,6𝑛.\nZatem łączna liczba bochenków chleba razowego dostarczonego do supermarketu jest\nrówna 0,2𝑛+ 0,36𝑛+ 0,6𝑛= 1,16𝑛.\nDlatego 𝑃(𝐵) =\n1,16𝑛\n2𝑛 + 3𝑛 + 4𝑛= 29\n225 oraz 𝑃(𝐴1 ∩𝐵) =\n0,2𝑛\n2𝑛 + 3𝑛 + 4𝑛= 1\n45 .\nObliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że losowo wybrany chleb\npochodzi z piekarni 𝒫1, jeśli wiadomo, że ten chleb jest razowy:\n𝑃(𝐴1|𝐵) = 𝑃(𝐴1 ∩𝐵)\n𝑃(𝐵)\n1\n45\n29\n225\n= 5\n29\nSposób II\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝐴1 - zdarzenie polegające na tym, że losowo wybrany chleb pochodzi z piekarni 𝒫1,\n𝐴2 - zdarzenie polegające na tym, że losowo wybrany chleb pochodzi z piekarni 𝒫2,\n𝐴3 - zdarzenie polegające na tym, że losowo wybrany chleb pochodzi z piekarni 𝒫3,\n𝐵 - zdarzenie polegające na tym, że losowo wybrany chleb jest razowy.\nWtedy 𝑃(𝐴1) = 2\n9 , 𝑃(𝐴2) = 3\n9 , 𝑃(𝐴3) = 4\n9 oraz 𝑃(𝐵|𝐴1) = 10\n100 , 𝑃(𝐵|𝐴2) = 12\n100\ni 𝑃(𝐵|𝐴3) = 15\n100 .\nPonieważ zdarzenia 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3 są parami rozłączne i 𝐴1 ∪𝐴2 ∪𝐴3 = Ω oraz\nprawdopodobieństwa tych zdarzeń są dodatnie, więc możemy obliczyć 𝑃(𝐵), stosując wzór\nna prawdopodobieństwo całkowite:\n𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴1) ⋅𝑃(𝐵|𝐴1) + 𝑃(𝐴2) ⋅𝑃(𝐵|𝐴2) + 𝑃(𝐴3) ⋅𝑃(𝐵|𝐴3) =\n= 2\n9 ⋅10\n100 + 3\n9 ⋅12\n100 + 4\n9 ⋅15\n100 = 116\n900\nStosujemy wzór Bayesa i obliczamy prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrany chleb\npochodzi z piekarni 𝒫1 , jeżeli wiadomo, że ten chleb jest razowy:\n𝑃(𝐴1|𝐵) = 𝑃(𝐴1) ⋅𝑃(𝐵|𝐴1)\n𝑃(𝐵)\n2\n9 ⋅\n10\n100\n116\n900\n= 5\n29\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 10. (0-4)<br>Chleb sprzedawany w pewnym supermarkecie pochodzi z trzech piekarni: 𝒫1, 𝒫2, 𝒫3.<br>Stosunek liczby bochenków chleba dostarczonego przez piekarnie 𝒫1, 𝒫2 oraz 𝒫3 do tego<br>supermarketu jest - odpowiednio - równy 2 ∶3 ∶4.<br>Liczba bochenków chleba razowego dostarczonego do tego supermarketu z piekarni:<br>𝒫1 stanowi 10% liczby wszystkich bochenków chleba dostarczonego z tej piekarni<br>𝒫2 stanowi 12% liczby wszystkich bochenków chleba dostarczonego z tej piekarni<br>𝒫3 stanowi 15% liczby wszystkich bochenków chleba dostarczonego z tej piekarni.<br>Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że bochenek chleba losowo<br>wybrany w tym supermarkecie pochodzi z piekarni 𝒫1, jeśli wiadomo, że ten chleb jest<br>razowy.</p>\n<p>EMAP-R0_100</p>\n<p>EMAP-R0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 10. (0-4)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>III. Modelowanie matematyczne.<br>Zdający:<br>10.2R) oblicza prawdopodobieństwo<br>warunkowe;<br>10.3R) korzysta z twierdzenia<br>o prawdopodobieństwie całkowitym.<br>Zasady oceniania (dla sposobu I)<br>4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 5<br>29 .<br>3 pkt - wyznaczenie prawdopodobieństw zdarzeń 𝐴1 ∩𝐵 oraz 𝐵, np. 𝑃(𝐴1 ∩𝐵) = 0,2<br>9<br>oraz 𝑃(𝐵) =<br>1,16𝑛<br>2𝑛 + 3𝑛 + 4𝑛 ,<br>ALBO<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>𝐷<br>𝐾<br>𝐿<br>𝑝<br>𝑀<br>ℴ1<br>ℴ2<br>𝛼<br>𝛽<br>𝛼<br>𝛼<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>\n<ul><li>zapisanie liczby bochenków chleba razowego dostarczonego przez piekarnię 𝒫1 oraz</li></ul>\n<p>łącznej liczby bochenków chleba razowego dostarczonego przez piekarnie<br>w zależności od jednej zmiennej, np. 0,2𝑛 oraz 1,16𝑛.<br>2 pkt - wyznaczenie prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴1 ∩𝐵, np.<br>𝑃(𝐴1 ∩𝐵) =<br>0,2𝑛<br>2𝑛 + 3𝑛 + 4𝑛<br>ALBO</p>\n<ul><li>wyznaczenie prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐵, np. 𝑃(𝐵) =</li></ul>\n<p>1,16𝑛<br>2𝑛 + 3𝑛 + 4𝑛 ,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie liczby bochenków chleba dostarczonego przez poszczególne piekarnie</li></ul>\n<p>oraz liczby bochenków chleba razowego dostarczonego przez piekarnię 𝒫1<br>w zależności od jednej zmiennej, np. 2𝑛 oraz 3𝑛 i 4𝑛 oraz 0,2𝑛.<br>1 pkt - zapisanie liczby bochenków chleba dostarczonego przez poszczególne piekarnie<br>w zależności od jednej zmiennej, np. 2𝑛 oraz 3𝑛 i 4𝑛.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Zasady oceniania (dla sposobu II)<br>4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 5<br>29 .<br>3 pkt - obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐵: 𝑃(𝐵) = 116<br>900 .<br>2 pkt - zapisanie/obliczenie prawdopodobieństw zdarzeń 𝐴1, 𝐴2 i 𝐴3 oraz<br>prawdopodobieństw 𝑃(𝐵|𝐴1), 𝑃(𝐵|𝐴2) i 𝑃(𝐵|𝐴3): 𝑃(𝐴1) = 2<br>9 oraz 𝑃(𝐴2) = 3<br>9 ,<br>oraz 𝑃(𝐴3) = 4<br>9 , oraz 𝑃(𝐵|𝐴1) = 10<br>100 , oraz 𝑃(𝐵|𝐴2) = 12<br>100 , oraz<br>𝑃(𝐵|𝐴3) = 15<br>100 .<br>1 pkt - zapisanie/obliczenie prawdopodobieństw zdarzeń 𝐴1, 𝐴2 i 𝐴3: 𝑃(𝐴1) = 2<br>9 oraz<br>𝑃(𝐴2) = 3<br>9 , oraz 𝑃(𝐴3) = 4<br>9<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie/obliczenie prawdopodobieństw 𝑃(𝐵|𝐴1), 𝑃(𝐵|𝐴2) i 𝑃(𝐵|𝐴3):</li></ul>\n<p>𝑃(𝐵|𝐴1) = 10<br>100 oraz 𝑃(𝐵|𝐴2) = 12<br>100 , oraz 𝑃(𝐵|𝐴3) = 15<br>100 .<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Stosunek liczby bochenków chleba dostarczonego przez piekarnie 𝒫1, 𝒫2 oraz 𝒫3 do tego<br>supermarketu jest równy - odpowiednio - 2 ∶3 ∶4, więc liczby bochenków chleba<br>dostarczonego do supermarketu przez piekarnie 𝒫1, 𝒫2 oraz 𝒫3 wynoszą - odpowiednio -<br>2𝑛, 3𝑛 oraz 4𝑛 (przy pewnym 𝑛 całkowitym dodatnim).<br>Przyjmijmy następujące oznaczenia:<br>𝐴1 - zdarzenie polegające na tym, że wybrany losowo chleb pochodzi z piekarni 𝒫1,<br>𝐵 - zdarzenie polegające na tym, że wybrany losowo chleb jest razowy.<br>Z warunków zadania wynika, że liczba bochenków chleba razowego dostarczonego<br>z piekarni:<br>• 𝒫1 jest równa 0,1 ⋅2𝑛= 0,2𝑛<br>• 𝒫2 jest równa 0,12 ⋅3𝑛= 0,36𝑛<br>• 𝒫3 jest równa 0,15 ⋅4𝑛= 0,6𝑛.<br>Zatem łączna liczba bochenków chleba razowego dostarczonego do supermarketu jest<br>równa 0,2𝑛+ 0,36𝑛+ 0,6𝑛= 1,16𝑛.<br>Dlatego 𝑃(𝐵) =<br>1,16𝑛<br>2𝑛 + 3𝑛 + 4𝑛= 29<br>225 oraz 𝑃(𝐴1 ∩𝐵) =<br>0,2𝑛<br>2𝑛 + 3𝑛 + 4𝑛= 1<br>45 .<br>Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że losowo wybrany chleb<br>pochodzi z piekarni 𝒫1, jeśli wiadomo, że ten chleb jest razowy:<br>𝑃(𝐴1|𝐵) = 𝑃(𝐴1 ∩𝐵)<br>𝑃(𝐵)<br>1<br>45<br>29<br>225<br>= 5<br>29<br>Sposób II<br>Przyjmijmy następujące oznaczenia:<br>𝐴1 - zdarzenie polegające na tym, że losowo wybrany chleb pochodzi z piekarni 𝒫1,<br>𝐴2 - zdarzenie polegające na tym, że losowo wybrany chleb pochodzi z piekarni 𝒫2,<br>𝐴3 - zdarzenie polegające na tym, że losowo wybrany chleb pochodzi z piekarni 𝒫3,<br>𝐵 - zdarzenie polegające na tym, że losowo wybrany chleb jest razowy.<br>Wtedy 𝑃(𝐴1) = 2<br>9 , 𝑃(𝐴2) = 3<br>9 , 𝑃(𝐴3) = 4<br>9 oraz 𝑃(𝐵|𝐴1) = 10<br>100 , 𝑃(𝐵|𝐴2) = 12<br>100<br>i 𝑃(𝐵|𝐴3) = 15<br>100 .<br>Ponieważ zdarzenia 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3 są parami rozłączne i 𝐴1 ∪𝐴2 ∪𝐴3 = Ω oraz<br>prawdopodobieństwa tych zdarzeń są dodatnie, więc możemy obliczyć 𝑃(𝐵), stosując wzór<br>na prawdopodobieństwo całkowite:<br>𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴1) ⋅𝑃(𝐵|𝐴1) + 𝑃(𝐴2) ⋅𝑃(𝐵|𝐴2) + 𝑃(𝐴3) ⋅𝑃(𝐵|𝐴3) =<br>= 2<br>9 ⋅10<br>100 + 3<br>9 ⋅12<br>100 + 4<br>9 ⋅15<br>100 = 116<br>900<br>Stosujemy wzór Bayesa i obliczamy prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrany chleb<br>pochodzi z piekarni 𝒫1 , jeżeli wiadomo, że ten chleb jest razowy:<br>𝑃(𝐴1|𝐵) = 𝑃(𝐴1) ⋅𝑃(𝐵|𝐴1)<br>𝑃(𝐵)<br>2<br>9 ⋅<br>10<br>100<br>116<br>900<br>= 5<br>29<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[]}