{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"11","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-4)\nTrzywyrazowy ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) jest geometryczny. Jeżeli w tym ciągu pomniejszymy trzeci\nwyraz o 4, a pozostałe wyrazy pozostawimy bez zmian, to otrzymamy ciąg arytmetyczny.\nJeżeli drugi i trzeci wyraz tak otrzymanego ciągu arytmetycznego pomniejszymy o 1, to\notrzymamy nowy ciąg geometryczny.\nOblicz 𝑥, 𝑦 oraz 𝑧.\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n5.3) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\narytmetycznego;\n5.4) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\ngeometrycznego.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) oraz\n(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1\n9 , 7\n9 , 49\n9 ).\n3 pkt - obliczenie 𝑟: 𝑟= 2 oraz 𝑟= 2\n3 (dla sposobu I)\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑥 (lub 𝑦, lub 𝑧), np.:\n(5𝑥 + 1\n2\n)\n2\n= 𝑥[2 ⋅(5𝑥 + 1\n2\n) + 4 -𝑥],\n𝑦2 = (2𝑦-8𝑦 + 21\n5\n+ 4) ⋅(8𝑦 + 21\n5\n),\n(\n𝑧 - 5\n4 + 𝑧 - 4\n2\n)\n2\n= 𝑧 - 5\n4\n⋅𝑧 (dla sposobu II),\nALBO\n- obliczenie 𝑞 (lub 𝑥): 𝑞= 3 oraz 𝑞= 7 (lub: 𝑥= 1\n9 oraz 𝑥= 1)\n(dla sposobu III).\n2 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑟, np. 𝑟2 = 4(𝑟2 -2𝑟+ 1)\n(dla sposobu I)\nALBO\n- zapisanie układu dwóch niezależnych równań z dwiema niewiadomymi 𝑥, 𝑦 (lub 𝑦,\n𝑧, lub 𝑧, 𝑥), np.:\n𝑦2 = 𝑥(2𝑦+ 4 -𝑥) oraz (𝑦-1)2 = 𝑥(2𝑦-𝑥-1),\n𝑦2 = (2𝑦-𝑧+ 4)𝑧 oraz (𝑦-1)2 = (2𝑦-𝑧+ 4)(𝑧-5),\n(𝑥 + 𝑧 - 4\n2\n)\n2\n= 𝑥𝑧 oraz (𝑥 + 𝑧 - 4\n2\n-1)\n2\n= 𝑥(𝑧-5) (dla sposobu II),\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑞 (lub 𝑥), np.\n1\n2𝑞 - 5 =\n4\n(𝑞 - 1)2 (dla sposobu III).\n1 pkt - zapisanie układu dwóch niezależnych równań z dwiema niewiadomymi (z których\njedną jest 𝑟), np.\n(𝑥+ 𝑟)2 = 𝑥(𝑥+ 2𝑟+ 4) oraz (𝑥+ 𝑟-1)2 = 𝑥(𝑥+ 2𝑟+ 4 -5)\n(dla sposobu I)\nALBO\n- wyznaczenie 𝑥 w zależności od 𝑟, np. 𝑥= 𝑟2 -2𝑟+ 1 (dla sposobu I),\nALBO\n- zapisanie układu trzech niezależnych równań z trzema niewiadomymi 𝑥, 𝑦, 𝑧, np.:\n𝑦2 = 𝑥⋅𝑧 oraz 𝑦= 𝑥 + 𝑧 - 4\n2\noraz (𝑦-1)2 = 𝑥⋅(𝑧-5) (dla sposobu II),\nALBO\n- zapisanie równania z dwiema niewiadomymi 𝑥, 𝑦 (lub 𝑦, 𝑧, lub 𝑧, 𝑥), np.\n𝑦2 = 𝑥(2𝑦+ 4 -𝑥), (𝑦-1)2 = (2𝑦-𝑧+ 4) ⋅(𝑧-5) (dla sposobu II),\nALBO\n- zapisanie układu dwóch niezależnych równań z dwiema niewiadomymi (z których\njedną jest 𝑞), np.\n𝑥𝑞= 𝑥 + 𝑥𝑞2 - 4\n2\noraz (𝑥𝑞-1)2 = 𝑥⋅(𝑥𝑞2 -5) (dla sposobu III),\nALBO\n- wyznaczenie 𝑥 w zależności od 𝑞 (lub 𝑞 w zależności od 𝑥), np.\n𝑥=\n4\n(𝑞 - 1)2 (dla sposobu III).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający przyjmuje, że 𝑦= √𝑥⋅𝑧, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe\nrozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający otrzyma więcej niż dwa ciągi (𝑥, 𝑦, 𝑧), wśród których dwa są właściwe:\n(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) oraz (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1\n9 , 7\n9 , 49\n9 ), i nie odrzuci pozostałych ciągów, to może\notrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający myli ciąg geometryczny z arytmetycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I (poprzez 𝑟)\nNiech 𝑟 oznacza różnicę ciągu arytmetycznego (𝑥, 𝑦, 𝑧-4). Wówczas 𝑦= 𝑥+ 𝑟 oraz\n𝑧= 𝑥+ 2𝑟+ 4. Ponieważ ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) jest geometryczny, więc korzystamy z własności\nciągu geometrycznego i otrzymujemy:\n(𝑥+ 𝑟)2 = 𝑥(𝑥+ 2𝑟+ 4)\n𝑥2 + 2𝑥𝑟+ 𝑟2 = 𝑥2 + 2𝑥𝑟+ 4𝑥\n𝑟2 = 4𝑥\nPonieważ ciąg (𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) jest geometryczny, więc korzystamy z własności ciągu\ngeometrycznego i otrzymujemy:\n(𝑥+ 𝑟-1)2 = 𝑥(𝑥+ 2𝑟+ 4 -5)\n(𝑥+ 𝑟)2 -2 ⋅(𝑥+ 𝑟) ⋅1 + 12 = 𝑥2 + 2𝑥𝑟-𝑥\n𝑥2 + 2𝑥𝑟+ 𝑟2 -2𝑥-2𝑟+ 1 = 𝑥2 + 2𝑥𝑟-𝑥\n𝑟2 -2𝑟+ 1 = 𝑥\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nStąd z i zależności 𝑟2 = 4𝑥 otrzymujemy:\n𝑟2 = 4(𝑟2 -2𝑟+ 1)\n0 = 3𝑟2 -8𝑟+ 4\n𝑟= 2 ∨ 𝑟= 2\n3\nGdy 𝑟= 2, to 𝑥= 𝑟2 -2𝑟+ 1 = 1, 𝑦= 𝑥+ 𝑟= 3 oraz 𝑧= 𝑥+ 2𝑟+ 4 = 9.\nPonieważ ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) jest geometryczny, ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧-4) = (1, 3, 5) jest\narytmetyczny, a ciąg (𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) = (1, 2, 4) jest geometryczny, więc trójka liczb\n(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) spełnia warunki zadania.\nGdy 𝑟= 2\n3 , to 𝑥= 𝑟2 -2𝑟+ 1 = 1\n9 , 𝑦= 𝑥+ 𝑟= 7\n9 oraz 𝑧= 𝑥+ 2𝑟+ 4 = 49\n9 .\nPonieważ ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1\n9 , 7\n9 , 49\n9 ) jest geometryczny, ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧-4) = (1\n9 , 7\n9 , 13\n9 )\njest arytmetyczny, a ciąg (𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) = (1\n9 , -2\n9 , 4\n9) jest geometryczny, więc trójka\nliczb (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1\n9 , 7\n9 , 49\n9 ) także spełnia warunki zadania.\nOstatecznie rozwiązaniami zadania są dwie trójki liczb: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) oraz\n(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1\n9 , 7\n9 , 49\n9 ).\nSposób Ia (poprzez 𝑟)\nNiech 𝑟 oznacza różnicę ciągu arytmetycznego (𝑥, 𝑦, 𝑧-4). Wówczas 𝑥= 𝑦-𝑟 oraz\n𝑧= 𝑦+ 𝑟+ 4. Ponieważ ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) jest geometryczny, więc korzystamy z własności\nciągu geometrycznego i otrzymujemy:\n𝑦2 = (𝑦-𝑟)(𝑦+ 𝑟+ 4)\n𝑦2 = 𝑦2 -𝑟2 + 4(𝑦-𝑟)\n𝑟2 + 4𝑟= 4𝑦\nPonieważ ciąg (𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) jest geometryczny, więc ciąg (𝑦-𝑟, 𝑦-1, 𝑦+ 𝑟-1)\njest geometryczny. Korzystamy z własności ciągu geometrycznego i otrzymujemy:\n(𝑦-1)2 = (𝑦-𝑟)(𝑦+ 𝑟-1)\n𝑦2 -2𝑦+ 1 = 𝑦2 -𝑟2 -(𝑦-𝑟)\n𝑟2 -𝑟+ 1 = 𝑦\nStąd z i zależności 𝑟2 + 4𝑟= 4𝑦 otrzymujemy:\n𝑟2 + 4𝑟= 4(𝑟2 -𝑟+ 1)\n0 = 3𝑟2 -8𝑟+ 4\n𝑟= 2 ∨ 𝑟= 2\n3\nGdy 𝑟= 2, to 𝑦= 𝑟2 -𝑟+ 1 = 3, 𝑥= 𝑦-𝑟= 1 oraz 𝑧= 𝑦+ 𝑟+ 4 = 9.\nPonieważ ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) jest geometryczny, ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧-4) = (1, 3, 5) jest\narytmetyczny, a ciąg (𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) = (1, 2, 4) jest geometryczny, więc trójka liczb\n(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) spełnia warunki zadania.\nGdy 𝑟= 2\n3 , to 𝑦= 𝑟2 -𝑟+ 1 = 7\n9 , 𝑥= 𝑦-𝑟= 1\n9 oraz 𝑧= 𝑦+ 𝑟+ 4 = 49\n9 . Ponieważ\nciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1\n9 , 7\n9 , 49\n9 ) jest geometryczny, ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧-4) = (1\n9 , 7\n9 , 13\n9 ) jest\narytmetyczny, a ciąg (𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) = (1\n9 , -2\n9 , 4\n9) jest geometryczny, więc trójka liczb\n(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1\n9 , 7\n9 , 49\n9 ) także spełnia warunki zadania.\nOstatecznie rozwiązaniami zadania są dwie trójki liczb: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) oraz\n(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1\n9 , 7\n9 , 49\n9 ).\nSposób II\nZ własności ciągu geometrycznego otrzymujemy\n𝑦2 = 𝑥⋅𝑧\nZ własności ciągu arytmetycznego i warunków zadania otrzymujemy\n𝑦= 𝑥+ 𝑧-4\n2\nCiąg (𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) jest geometryczny, więc\n(𝑦-1)2 = 𝑥⋅(𝑧-5)\nStąd i ze związku 𝑦2 = 𝑥⋅𝑧 otrzymujemy:\n(𝑦-1)2 = 𝑥𝑧-5𝑥\n𝑦2 -2𝑦+ 1 = 𝑦2 -5𝑥\n𝑦= 5𝑥+ 1\n2\nPonieważ 𝑦= 𝑥 + 𝑧 - 4\n2\noraz 𝑦= 5𝑥 + 1\n2\n, więc:\n𝑥+ 𝑧-4\n2\n= 5𝑥+ 1\n2\n𝑧= 4𝑥+ 5\nZe związków 𝑦2 = 𝑥⋅𝑧, 𝑦= 5𝑥 + 1\n2\noraz 𝑧= 4𝑥+ 5 otrzymujemy:\n(5𝑥+ 1\n2\n)\n2\n= 𝑥(4𝑥+ 5)\n25𝑥2 + 10𝑥+ 1 = 16𝑥2 + 20𝑥\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n9𝑥2 -10𝑥+ 1 = 0\n𝑥= 1 ∨ 𝑥= 1\n9\nDla 𝑥= 1 otrzymujemy 𝑦= 3 i 𝑧= 9. Wówczas ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) jest\ngeometryczny, ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧-4) = (1, 3, 5) jest arytmetyczny, a ciąg\n(𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) = (1, 2, 4) jest geometryczny.\nTo oznacza, że trójka liczb (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) spełnia warunki zadania.\nDla 𝑥= 1\n9 otrzymujemy 𝑦= 7\n9 i 𝑧= 49\n9 . Wówczas ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1\n9 , 7\n9 , 49\n9 ) jest\ngeometryczny, ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧-4) = (1\n9 , 7\n9 , 13\n9 ) jest arytmetyczny, a ciąg\n(𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) = (1\n9 , -2\n9 , 4\n9) jest geometryczny.\nZatem trójka liczb (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1\n9 , 7\n9 , 49\n9 ) także spełnia warunki zadania.\nOstatecznie rozwiązaniami zadania są dwie trójki liczb: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) oraz\n(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1\n9 , 7\n9 , 49\n9 ).\nSposób III (poprzez 𝑞)\nNiech 𝑞 oznacza iloraz ciągu geometrycznego (𝑥, 𝑦, 𝑧). Wówczas 𝑦= 𝑥𝑞 oraz 𝑧= 𝑥𝑞2.\nPonieważ ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧-4) jest arytmetyczny, więc korzystamy z własności ciągu\narytmetycznego i otrzymujemy:\n𝑥𝑞= 𝑥+ 𝑥𝑞2 -4\n2\n2𝑥𝑞= 𝑥+ 𝑥𝑞2 -4\n4 = 𝑥(𝑞2 -2𝑞+ 1)\nDla 𝑞= 1 równanie 4 = 𝑥(𝑞2 -2𝑞+ 1) jest sprzeczne, więc\n𝑥=\n4\n(𝑞-1)2 ∧ 𝑞≠1\nPonieważ (𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) jest geometryczny, więc:\n(𝑥𝑞-1)2 = 𝑥⋅(𝑥𝑞2 -5)\n𝑥2𝑞2 -2𝑥𝑞+ 1 = 𝑥2𝑞2 -5𝑥\n1 = (2𝑞-5)𝑥\nDla 𝑞= 5\n2 równanie 1 = (2𝑞-5)𝑥 jest sprzeczne, więc\n𝑥=\n1\n2𝑞-5 ∧ 𝑞≠5\n2\nZatem 𝑞≠1 i 𝑞≠5\n2 oraz:\n1\n2𝑞-5 =\n4\n(𝑞-1)2\n(𝑞-1)2 = 4(2𝑞-5)\n𝑞2 -10𝑞+ 21 = 0\n𝑞= 3 ∨ 𝑞= 7\nGdy 𝑞= 3, to (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9). Ponieważ ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) jest geometryczny,\nciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧-4) = (1, 3, 5) jest arytmetyczny, a ciąg (𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) = (1, 2, 4) jest\ngeometryczny, więc trójka liczb (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) spełnia warunki zadania.\nGdy 𝑞= 7, to (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1\n9 , 7\n9 , 49\n9 ). Ponieważ ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1\n9 , 7\n9 , 49\n9 ) jest\ngeometryczny, ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧-4) = (1\n9 , 7\n9 , 13\n9 ) jest arytmetyczny, a ciąg\n(𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) = (1\n9 , -2\n9 , 4\n9) jest geometryczny, więc trójka liczb (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1\n9 , 7\n9 , 49\n9 )\ntakże spełnia warunki zadania.\nOstatecznie rozwiązaniami zadania są dwie trójki liczb: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) oraz\n(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1\n9 , 7\n9 , 49\n9 ).","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 11. (0-4)
Trzywyrazowy ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) jest geometryczny. Jeżeli w tym ciągu pomniejszymy trzeci
wyraz o 4, a pozostałe wyrazy pozostawimy bez zmian, to otrzymamy ciąg arytmetyczny.
Jeżeli drugi i trzeci wyraz tak otrzymanego ciągu arytmetycznego pomniejszymy o 1, to
otrzymamy nowy ciąg geometryczny.
Oblicz 𝑥, 𝑦 oraz 𝑧.

\n

EMAP-R0_100

\n

EMAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 11. (0-4)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
III. Modelowanie matematyczne.
Zdający:
5.3) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu
arytmetycznego;
5.4) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu
geometrycznego.
Zasady oceniania
4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) oraz
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1
9 , 7
9 , 49
9 ).
3 pkt - obliczenie 𝑟: 𝑟= 2 oraz 𝑟= 2
3 (dla sposobu I)
ALBO

\n\n

(5𝑥 + 1
2
)
2
= 𝑥[2 ⋅(5𝑥 + 1
2
) + 4 -𝑥],
𝑦2 = (2𝑦-8𝑦 + 21
5

\n\n

5
),
(
𝑧 - 5
4 + 𝑧 - 4
2
)
2
= 𝑧 - 5
4
⋅𝑧 (dla sposobu II),
ALBO

\n\n

9 oraz 𝑥= 1)
(dla sposobu III).
2 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑟, np. 𝑟2 = 4(𝑟2 -2𝑟+ 1)
(dla sposobu I)
ALBO

\n\n

𝑧, lub 𝑧, 𝑥), np.:
𝑦2 = 𝑥(2𝑦+ 4 -𝑥) oraz (𝑦-1)2 = 𝑥(2𝑦-𝑥-1),
𝑦2 = (2𝑦-𝑧+ 4)𝑧 oraz (𝑦-1)2 = (2𝑦-𝑧+ 4)(𝑧-5),
(𝑥 + 𝑧 - 4
2
)
2
= 𝑥𝑧 oraz (𝑥 + 𝑧 - 4
2
-1)
2
= 𝑥(𝑧-5) (dla sposobu II),
ALBO

\n\n

1
2𝑞 - 5 =
4
(𝑞 - 1)2 (dla sposobu III).
1 pkt - zapisanie układu dwóch niezależnych równań z dwiema niewiadomymi (z których
jedną jest 𝑟), np.
(𝑥+ 𝑟)2 = 𝑥(𝑥+ 2𝑟+ 4) oraz (𝑥+ 𝑟-1)2 = 𝑥(𝑥+ 2𝑟+ 4 -5)
(dla sposobu I)
ALBO

\n\n

ALBO

\n\n

𝑦2 = 𝑥⋅𝑧 oraz 𝑦= 𝑥 + 𝑧 - 4
2
oraz (𝑦-1)2 = 𝑥⋅(𝑧-5) (dla sposobu II),
ALBO

\n\n

𝑦2 = 𝑥(2𝑦+ 4 -𝑥), (𝑦-1)2 = (2𝑦-𝑧+ 4) ⋅(𝑧-5) (dla sposobu II),
ALBO

\n\n

jedną jest 𝑞), np.
𝑥𝑞= 𝑥 + 𝑥𝑞2 - 4
2
oraz (𝑥𝑞-1)2 = 𝑥⋅(𝑥𝑞2 -5) (dla sposobu III),
ALBO

\n\n

𝑥=
4
(𝑞 - 1)2 (dla sposobu III).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający przyjmuje, że 𝑦= √𝑥⋅𝑧, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe
\n

rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający otrzyma więcej niż dwa ciągi (𝑥, 𝑦, 𝑧), wśród których dwa są właściwe:
\n

(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) oraz (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1
9 , 7
9 , 49
9 ), i nie odrzuci pozostałych ciągów, to może
otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający myli ciąg geometryczny z arytmetycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe
\n

rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I (poprzez 𝑟)
Niech 𝑟 oznacza różnicę ciągu arytmetycznego (𝑥, 𝑦, 𝑧-4). Wówczas 𝑦= 𝑥+ 𝑟 oraz
𝑧= 𝑥+ 2𝑟+ 4. Ponieważ ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) jest geometryczny, więc korzystamy z własności
ciągu geometrycznego i otrzymujemy:
(𝑥+ 𝑟)2 = 𝑥(𝑥+ 2𝑟+ 4)
𝑥2 + 2𝑥𝑟+ 𝑟2 = 𝑥2 + 2𝑥𝑟+ 4𝑥
𝑟2 = 4𝑥
Ponieważ ciąg (𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) jest geometryczny, więc korzystamy z własności ciągu
geometrycznego i otrzymujemy:
(𝑥+ 𝑟-1)2 = 𝑥(𝑥+ 2𝑟+ 4 -5)
(𝑥+ 𝑟)2 -2 ⋅(𝑥+ 𝑟) ⋅1 + 12 = 𝑥2 + 2𝑥𝑟-𝑥
𝑥2 + 2𝑥𝑟+ 𝑟2 -2𝑥-2𝑟+ 1 = 𝑥2 + 2𝑥𝑟-𝑥
𝑟2 -2𝑟+ 1 = 𝑥
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Stąd z i zależności 𝑟2 = 4𝑥 otrzymujemy:
𝑟2 = 4(𝑟2 -2𝑟+ 1)
0 = 3𝑟2 -8𝑟+ 4
𝑟= 2 ∨ 𝑟= 2
3
Gdy 𝑟= 2, to 𝑥= 𝑟2 -2𝑟+ 1 = 1, 𝑦= 𝑥+ 𝑟= 3 oraz 𝑧= 𝑥+ 2𝑟+ 4 = 9.
Ponieważ ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) jest geometryczny, ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧-4) = (1, 3, 5) jest
arytmetyczny, a ciąg (𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) = (1, 2, 4) jest geometryczny, więc trójka liczb
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) spełnia warunki zadania.
Gdy 𝑟= 2
3 , to 𝑥= 𝑟2 -2𝑟+ 1 = 1
9 , 𝑦= 𝑥+ 𝑟= 7
9 oraz 𝑧= 𝑥+ 2𝑟+ 4 = 49
9 .
Ponieważ ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1
9 , 7
9 , 49
9 ) jest geometryczny, ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧-4) = (1
9 , 7
9 , 13
9 )
jest arytmetyczny, a ciąg (𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) = (1
9 , -2
9 , 4

\n
  1. jest geometryczny, więc trójka
\n

liczb (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1
9 , 7
9 , 49
9 ) także spełnia warunki zadania.
Ostatecznie rozwiązaniami zadania są dwie trójki liczb: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) oraz
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1
9 , 7
9 , 49
9 ).
Sposób Ia (poprzez 𝑟)
Niech 𝑟 oznacza różnicę ciągu arytmetycznego (𝑥, 𝑦, 𝑧-4). Wówczas 𝑥= 𝑦-𝑟 oraz
𝑧= 𝑦+ 𝑟+ 4. Ponieważ ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) jest geometryczny, więc korzystamy z własności
ciągu geometrycznego i otrzymujemy:
𝑦2 = (𝑦-𝑟)(𝑦+ 𝑟+ 4)
𝑦2 = 𝑦2 -𝑟2 + 4(𝑦-𝑟)
𝑟2 + 4𝑟= 4𝑦
Ponieważ ciąg (𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) jest geometryczny, więc ciąg (𝑦-𝑟, 𝑦-1, 𝑦+ 𝑟-1)
jest geometryczny. Korzystamy z własności ciągu geometrycznego i otrzymujemy:
(𝑦-1)2 = (𝑦-𝑟)(𝑦+ 𝑟-1)
𝑦2 -2𝑦+ 1 = 𝑦2 -𝑟2 -(𝑦-𝑟)
𝑟2 -𝑟+ 1 = 𝑦
Stąd z i zależności 𝑟2 + 4𝑟= 4𝑦 otrzymujemy:
𝑟2 + 4𝑟= 4(𝑟2 -𝑟+ 1)
0 = 3𝑟2 -8𝑟+ 4
𝑟= 2 ∨ 𝑟= 2
3
Gdy 𝑟= 2, to 𝑦= 𝑟2 -𝑟+ 1 = 3, 𝑥= 𝑦-𝑟= 1 oraz 𝑧= 𝑦+ 𝑟+ 4 = 9.
Ponieważ ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) jest geometryczny, ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧-4) = (1, 3, 5) jest
arytmetyczny, a ciąg (𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) = (1, 2, 4) jest geometryczny, więc trójka liczb
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) spełnia warunki zadania.
Gdy 𝑟= 2
3 , to 𝑦= 𝑟2 -𝑟+ 1 = 7
9 , 𝑥= 𝑦-𝑟= 1
9 oraz 𝑧= 𝑦+ 𝑟+ 4 = 49
9 . Ponieważ
ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1
9 , 7
9 , 49
9 ) jest geometryczny, ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧-4) = (1
9 , 7
9 , 13
9 ) jest
arytmetyczny, a ciąg (𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) = (1
9 , -2
9 , 4

\n
  1. jest geometryczny, więc trójka liczb
\n

(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1
9 , 7
9 , 49
9 ) także spełnia warunki zadania.
Ostatecznie rozwiązaniami zadania są dwie trójki liczb: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) oraz
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1
9 , 7
9 , 49
9 ).
Sposób II
Z własności ciągu geometrycznego otrzymujemy
𝑦2 = 𝑥⋅𝑧
Z własności ciągu arytmetycznego i warunków zadania otrzymujemy
𝑦= 𝑥+ 𝑧-4
2
Ciąg (𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) jest geometryczny, więc
(𝑦-1)2 = 𝑥⋅(𝑧-5)
Stąd i ze związku 𝑦2 = 𝑥⋅𝑧 otrzymujemy:
(𝑦-1)2 = 𝑥𝑧-5𝑥
𝑦2 -2𝑦+ 1 = 𝑦2 -5𝑥
𝑦= 5𝑥+ 1
2
Ponieważ 𝑦= 𝑥 + 𝑧 - 4
2
oraz 𝑦= 5𝑥 + 1
2
, więc:
𝑥+ 𝑧-4
2
= 5𝑥+ 1
2
𝑧= 4𝑥+ 5
Ze związków 𝑦2 = 𝑥⋅𝑧, 𝑦= 5𝑥 + 1
2
oraz 𝑧= 4𝑥+ 5 otrzymujemy:
(5𝑥+ 1
2
)
2
= 𝑥(4𝑥+ 5)
25𝑥2 + 10𝑥+ 1 = 16𝑥2 + 20𝑥
Zasady oceniania rozwiązań zadań
9𝑥2 -10𝑥+ 1 = 0
𝑥= 1 ∨ 𝑥= 1
9
Dla 𝑥= 1 otrzymujemy 𝑦= 3 i 𝑧= 9. Wówczas ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) jest
geometryczny, ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧-4) = (1, 3, 5) jest arytmetyczny, a ciąg
(𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) = (1, 2, 4) jest geometryczny.
To oznacza, że trójka liczb (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) spełnia warunki zadania.
Dla 𝑥= 1
9 otrzymujemy 𝑦= 7
9 i 𝑧= 49
9 . Wówczas ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1
9 , 7
9 , 49
9 ) jest
geometryczny, ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧-4) = (1
9 , 7
9 , 13
9 ) jest arytmetyczny, a ciąg
(𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) = (1
9 , -2
9 , 4

\n
  1. jest geometryczny.
\n

Zatem trójka liczb (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1
9 , 7
9 , 49
9 ) także spełnia warunki zadania.
Ostatecznie rozwiązaniami zadania są dwie trójki liczb: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) oraz
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1
9 , 7
9 , 49
9 ).
Sposób III (poprzez 𝑞)
Niech 𝑞 oznacza iloraz ciągu geometrycznego (𝑥, 𝑦, 𝑧). Wówczas 𝑦= 𝑥𝑞 oraz 𝑧= 𝑥𝑞2.
Ponieważ ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧-4) jest arytmetyczny, więc korzystamy z własności ciągu
arytmetycznego i otrzymujemy:
𝑥𝑞= 𝑥+ 𝑥𝑞2 -4
2
2𝑥𝑞= 𝑥+ 𝑥𝑞2 -4
4 = 𝑥(𝑞2 -2𝑞+ 1)
Dla 𝑞= 1 równanie 4 = 𝑥(𝑞2 -2𝑞+ 1) jest sprzeczne, więc
𝑥=
4
(𝑞-1)2 ∧ 𝑞≠1
Ponieważ (𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) jest geometryczny, więc:
(𝑥𝑞-1)2 = 𝑥⋅(𝑥𝑞2 -5)
𝑥2𝑞2 -2𝑥𝑞+ 1 = 𝑥2𝑞2 -5𝑥
1 = (2𝑞-5)𝑥
Dla 𝑞= 5
2 równanie 1 = (2𝑞-5)𝑥 jest sprzeczne, więc
𝑥=
1
2𝑞-5 ∧ 𝑞≠5
2
Zatem 𝑞≠1 i 𝑞≠5
2 oraz:
1
2𝑞-5 =
4
(𝑞-1)2
(𝑞-1)2 = 4(2𝑞-5)
𝑞2 -10𝑞+ 21 = 0
𝑞= 3 ∨ 𝑞= 7
Gdy 𝑞= 3, to (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9). Ponieważ ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) jest geometryczny,
ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧-4) = (1, 3, 5) jest arytmetyczny, a ciąg (𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) = (1, 2, 4) jest
geometryczny, więc trójka liczb (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) spełnia warunki zadania.
Gdy 𝑞= 7, to (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1
9 , 7
9 , 49
9 ). Ponieważ ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1
9 , 7
9 , 49
9 ) jest
geometryczny, ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧-4) = (1
9 , 7
9 , 13
9 ) jest arytmetyczny, a ciąg
(𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) = (1
9 , -2
9 , 4

\n
  1. jest geometryczny, więc trójka liczb (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1
\n

9 , 7
9 , 49
9 )
także spełnia warunki zadania.
Ostatecznie rozwiązaniami zadania są dwie trójki liczb: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) oraz
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1
9 , 7
9 , 49
9 ).

","solutions":[]}