Zadanie 12. (0-4)
Pole czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 wpisanego w okrąg jest równe 18. Boki 𝐴𝐵 i 𝐵𝐶 są prostopadłe,
a ponadto |𝐴𝐵| = 4 oraz |𝐵𝐶| = 7.
Oblicz obwód tego czworokąta.
EMAP-R0_100
\nEMAP-R0_100
","answer_text_html":"Zadanie 12. (0-4)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie strategii.
Zdający:
7.1R) stosuje twierdzenia charakteryzujące
czworokąty wpisane w okrąg i czworokąty
opisane na okręgu.
Zasady oceniania
4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 20.
3 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą (długością jednej z przyprostokątnych
trójkąta 𝐴𝐶𝐷), np. 𝑐2 + (8
𝑐)
2
= 65
ALBO
ALBO
\n√65 i 64
√65 .
2 pkt - zapisanie układu równań niezależnych z dwiema niewiadomymi 𝑐 i 𝑑, np. 1
2 𝑐𝑑= 4
oraz 𝑐2 + 𝑑2 = (√65)
2 (dla sposobu I)
ALBO
Zasady oceniania rozwiązań zadań
√65-𝑥
8
√65
8
√65
𝑥 (dla sposobu II).
1 pkt - obliczenie pola trójkąta 𝐴𝐶𝐷 i zapisanie, że trójkąt 𝐴𝐶𝐷 jest prostokątny (lub
dokonanie zapisów, z których wynika, że zdający traktuje ten trójkąt jako
prostokątny), np. 𝑃𝐴𝐶𝐷= 4 oraz 1
2 𝑐𝑑= 4.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga.
Jeżeli zdający uzyska tylko jeden czworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 spełniający warunki zadania i nie
skomentuje, że drugi czworokąt spełniający warunki zadania różni się tylko permutacją
długości boków 𝐴𝐷 i 𝐶𝐷, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Przyjmijmy następujące oznaczenia: 𝑐= |𝐶𝐷| oraz 𝑑= |𝐴𝐷|.
Ponieważ czworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest wpisany w okrąg i odcinki 𝐴𝐵 oraz 𝐶𝐷 są prostopadłe,
więc trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest prostokątny, a odcinek 𝐴𝐶 jest średnicą tego okręgu. Wobec tego
trójkąt 𝐴𝐶𝐷 również jest prostokątny.
Pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe 1
2 ⋅4 ⋅7 = 14. Pole czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe 18, więc
pole trójkąta 𝐴𝐶𝐷 jest równe 4. Zatem
1
2 𝑐𝑑= 4
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów 𝐴𝐵𝐶 i 𝐴𝐶𝐷 otrzymujemy:
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
4
7
𝑑
𝑐
|𝐴𝐵|2 + |𝐵𝐶|2 = |𝐴𝐶|2 = |𝐶𝐷|2 + |𝐴𝐷|2
42 + 72 = 𝑐2 + 𝑑2
Stąd i z zależności 1
2 𝑐𝑑= 4 otrzymujemy dalej:
𝑐2 + 𝑑2 = 65
𝑐2 + 2𝑐𝑑+ 𝑑2 = 65 + 4 ⋅4
(𝑐+ 𝑑)2 = 81
𝑐+ 𝑑= 9
gdyż 𝑐 i 𝑑 to liczby dodatnie.
Wyznaczając z tego równania 𝑑= 9 -𝑐 i wstawiając do równania 1
2 𝑐𝑑= 4, otrzymujemy:
1
2 𝑐(9 -𝑐) = 4
0 = 𝑐2 -9𝑐+ 8
𝑐= 1 ∨ 𝑐= 8
Gdy 𝑐= 1, to 𝑑= 8.
Gdy 𝑐= 8, to 𝑑= 1.
Otrzymaliśmy dwa czworokąty spełniające warunki zadania. Obwód 𝐿 każdego z nich jest
równy
𝐿= 4 + 7 + 1 + 8 = 20
Sposób II
Przyjmijmy następujące oznaczenia:
𝑐 - długość odcinka 𝐶𝐷,
𝑑 - długość odcinka 𝐴𝐷,
𝐸 - punkt przecięcia prostej 𝐴𝐶 z prostą do niej prostopadłą i przechodzącą przez punkt 𝐷,
ℎ - wysokość trójkąta 𝐴𝐶𝐷 opuszczona z wierzchołka 𝐷,
𝑥 - długość odcinka 𝐴𝐸 (zobacz rysunek).
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Ponieważ czworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest wpisany w okrąg i odcinki 𝐴𝐵 oraz 𝐶𝐷 są prostopadłe,
więc trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest prostokątny, a odcinek 𝐴𝐶 jest średnicą tego okręgu. Wobec tego
trójkąt 𝐴𝐶𝐷 również jest prostokątny.
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐴𝐵𝐶 otrzymujemy:
|𝐴𝐵|2 + |𝐵𝐶|2 = |𝐴𝐶|2
42 + 72 = |𝐴𝐶|2
|𝐴𝐶| = √65
Pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe 1
2 ⋅4 ⋅7 = 14. Pole czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe 18, więc
pole trójkąta 𝐴𝐶𝐷 jest równe 4. Zatem:
1
2 ⋅|𝐴𝐶| ⋅ℎ= 4
1
2 ⋅√65 ⋅ℎ= 4
ℎ=
8
√65
Ponieważ ℎ jest wysokością trójkąta prostokątnego opuszczoną na przeciwprostokątną,
więc:
ℎ2 = |𝐴𝐸| ⋅|𝐸𝐶|
( 8
√65
)
2
= 𝑥⋅(√65 -𝑥)
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
ℎ
𝐸
𝑆
4
7
𝑑
𝑐
𝑥
𝑥2 -√65𝑥+ 64
65 = 0
Δ = (-√65)
2 -4 ⋅1 ⋅64
65 = 652 -162
65
= 49 ⋅81
65
𝑥=
√65 -
7⋅9
√65
2 ⋅1
1
√65
∨ 𝑥=
√65 +
7⋅9
√65
2 ⋅1
= 64
√65
Gdy 𝑥=
1
√65 , to |𝐸𝐶| = √65 -𝑥= 64
√65 i wówczas:
𝑐2 = ℎ2 + |𝐸𝐶|2
𝑐2 = 64
65 + 642
65
𝑐= 8
oraz:
𝑑2 = ℎ2 + 𝑥2
𝑑2 = 64
65 + 1
65
𝑑= 1
Gdy 𝑥= 64
√65 , to |𝐸𝐶| = √65 -𝑥=
1
√65 i wówczas:
𝑐2 = ℎ2 + |𝐸𝐶|2
𝑐2 = 64
65 + 1
65
𝑐= 1
oraz:
𝑑2 = ℎ2 + 𝑥2
𝑑2 = 64
65 + 642
65
𝑑= 8
Otrzymaliśmy dwa czworokąty spełniające warunki zadania. Obwód 𝐿 każdego z nich jest
równy
𝐿= 4 + 7 + 1 + 8 = 20
Zasady oceniania rozwiązań zadań