{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"13","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (0-4)\nRozwiąż równanie\nsin 𝑥+ sin(2𝑥) -cos 𝑥= 1\n2\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n6.6R) rozwiązuje równania i nierówności\ntrygonometryczne […].\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝜋\n6 + 2𝜋𝑘 oraz 5𝜋\n6 + 2𝜋𝑘, oraz\n2𝜋\n3 + 2𝜋𝑘, oraz -2𝜋\n3 + 2𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ.\n3 pkt - rozwiązanie równania sin 𝑥= 1\n2 w zbiorze ℝ, np.\n𝑥= 𝜋\n6 + 2𝜋𝑘 oraz 𝑥= 5𝜋\n6 + 2𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ\nALBO\n- rozwiązanie równania cos 𝑥= -1\n2 w zbiorze ℝ, np.\n𝑥= 2𝜋\n3 + 2𝜋𝑘 oraz 𝑥= -2𝜋\n3 + 2𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ.\n2 pkt - przekształcenie równania do postaci alternatywy dwóch elementarnych równań\ntrygonometrycznych: sin 𝑥= 1\n2 lub cos 𝑥= -1\n2 .\n1 pkt - zastosowanie wzoru na sinus podwojonego argumentu i zapisanie równania\nw postaci sin 𝑥+ 2 sin 𝑥cos 𝑥-cos 𝑥= 1\n2 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzekształcamy równanie sin 𝑥+ sin(2𝑥) -cos 𝑥= 1\n2 równoważnie, stosując wzór na\nsinus podwojonego argumentu:\nsin 𝑥+ sin(2𝑥) -cos 𝑥= 1\n2\nsin 𝑥+ 2 sin 𝑥cos 𝑥-cos 𝑥-1\n2 = 0\nsin 𝑥(1 + 2 cos 𝑥) -1\n2 ⋅(2 cos 𝑥+ 1) = 0\n(sin 𝑥-1\n2) (2 cos 𝑥+ 1) = 0\nsin 𝑥= 1\n2 ∨ cos 𝑥= -1\n2\n𝑥= 𝜋\n6 + 2𝜋𝑘 ∨ 𝑥= 5𝜋\n6 + 2𝜋𝑘 ∨ 𝑥= 2𝜋\n3 + 2𝜋𝑘 ∨ 𝑥= -2𝜋\n3 + 2𝜋𝑘\ngdzie 𝑘∈ℤ.","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 13. (0-4)
Rozwiąż równanie
sin 𝑥+ sin(2𝑥) -cos 𝑥= 1
2

\n

EMAP-R0_100

\n

EMAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 13. (0-4)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie strategii.
Zdający:
6.6R) rozwiązuje równania i nierówności
trygonometryczne […].
Zasady oceniania
4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝜋
6 + 2𝜋𝑘 oraz 5𝜋
6 + 2𝜋𝑘, oraz
2𝜋
3 + 2𝜋𝑘, oraz -2𝜋
3 + 2𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ.
3 pkt - rozwiązanie równania sin 𝑥= 1
2 w zbiorze ℝ, np.
𝑥= 𝜋
6 + 2𝜋𝑘 oraz 𝑥= 5𝜋
6 + 2𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ
ALBO

\n\n

2 w zbiorze ℝ, np.
𝑥= 2𝜋
3 + 2𝜋𝑘 oraz 𝑥= -2𝜋
3 + 2𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ.
2 pkt - przekształcenie równania do postaci alternatywy dwóch elementarnych równań
trygonometrycznych: sin 𝑥= 1
2 lub cos 𝑥= -1
2 .
1 pkt - zastosowanie wzoru na sinus podwojonego argumentu i zapisanie równania
w postaci sin 𝑥+ 2 sin 𝑥cos 𝑥-cos 𝑥= 1
2 .
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Przekształcamy równanie sin 𝑥+ sin(2𝑥) -cos 𝑥= 1
2 równoważnie, stosując wzór na
sinus podwojonego argumentu:
sin 𝑥+ sin(2𝑥) -cos 𝑥= 1
2
sin 𝑥+ 2 sin 𝑥cos 𝑥-cos 𝑥-1
2 = 0
sin 𝑥(1 + 2 cos 𝑥) -1
2 ⋅(2 cos 𝑥+ 1) = 0
(sin 𝑥-1

\n
  1. (2 cos 𝑥+ 1) = 0
\n

sin 𝑥= 1
2 ∨ cos 𝑥= -1
2
𝑥= 𝜋
6 + 2𝜋𝑘 ∨ 𝑥= 5𝜋
6 + 2𝜋𝑘 ∨ 𝑥= 2𝜋
3 + 2𝜋𝑘 ∨ 𝑥= -2𝜋
3 + 2𝜋𝑘
gdzie 𝑘∈ℤ.

","solutions":[]}