{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"14","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (0-5)\nWyznacz wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których równanie\n𝑥2 + 𝑚𝑥+ 𝑚= 0\nma dwa różne rozwiązania rzeczywiste 𝑥1 oraz 𝑥2 spełniające warunek\n𝑥1\n4 + 𝑥2\n4 + 4 ⋅𝑥1\n3 ⋅𝑥2\n3 ≥3\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 14. (0-5)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n3.1R) stosuje wzory Viète’a;\n3.2R) rozwiązuje równania i nierówności\nliniowe i kwadratowe z parametrem.\nZasady oceniania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\nPierwszy etap polega na rozwiązaniu nierówności ∆ > 0. Za poprawne wykonanie tego\netapu zdający otrzymuje 1 punkt.\n1 pkt - poprawne rozwiązanie nierówności ∆ > 0: 𝑚∈(-∞, 0) ∪(4, +∞).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga.\nJeżeli zdający rozwiązuje warunek ∆ ≥0, to za tę część rozwiązania otrzymuje 0 punktów.\nDrugi etap polega na wyznaczeniu tych wartości parametru 𝑚, dla których jest spełniony\nwarunek 𝑥1\n4 + 𝑥2\n4 + 4 ⋅𝑥1\n3 ⋅𝑥2\n3 ≥3. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje\n3 punkty.\nPodział punktów za drugi etap rozwiązania:\n3 pkt - rozwiązanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 równoważnej warunkowi\n𝑥1\n4 + 𝑥2\n4 + 4 ⋅𝑥1\n3 ⋅𝑥2\n3 ≥3: 𝑚∈(-∞, -1] ∪[1, +∞).\n2 pkt - zapisanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 równoważnej warunkowi\n𝑥1\n4 + 𝑥2\n4 + 4 ⋅𝑥1\n3 ⋅𝑥2\n3 ≥3, np. [(-𝑚)2 -2𝑚]2 -2𝑚2 + 4𝑚3 ≥3.\n1 pkt - przekształcenie nierówności 𝑥1\n4 + 𝑥2\n4 + 4 ⋅𝑥1\n3 ⋅𝑥2\n3 ≥3 do postaci pozwalającej na\nbezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, np.\n[(𝑥1 + 𝑥2)2 -2 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2]2 -2(𝑥1 ⋅𝑥2)2 + 4(𝑥1 ⋅𝑥2)3 ≥3.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nTrzeci etap polega na wyznaczeniu wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają\njednocześnie warunki ∆ > 0 oraz 𝑥1\n4 + 𝑥2\n4 + 4 ⋅𝑥1\n3 ⋅𝑥2\n3 ≥3: 𝑚∈(-∞, -1] ∪(4, +∞).\nZa poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\n1 pkt - poprawne wyznaczenie wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają\njednocześnie warunki ∆ > 0 oraz 𝑥1\n4 + 𝑥2\n4 + 4 ⋅𝑥1\n3 ⋅𝑥2\n3 ≥3:\n𝑚∈(-∞, -1] ∪(4, +∞).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający w którymś z etapów I-II popełni błąd, który nie jest błędem rachunkowym,\nto za III etap otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający w etapach I-II nie popełni błędów innych niż rachunkowe i otrzyma zbiory\nrozwiązań, które nie są rozłączne i żaden z nich nie jest zbiorem liczb rzeczywistych,\na następnie poprawnie wyznaczy część wspólną zbiorów rozwiązań z etapów I-II, to za III\nZasady oceniania rozwiązań zadań\netap otrzymuje 1 punkt; natomiast jeżeli otrzyma zbiory rozwiązań, które są rozłączne lub\nco najmniej jeden z nich jest zbiorem liczb rzeczywistych, to za III etap otrzymuje\n0 punktów.\n3. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania popełni błąd - przyjmie, że 𝑥1 ⋅𝑥2 = -𝑚 lub\n𝑥1 + 𝑥2 = ± 𝑏\n2𝑎 , to za II etap może otrzymać co najwyżej 2 punkty (1 punkt za\nprzekształcenie nierówności 𝑥1\n4 + 𝑥2\n4 + 4 ⋅𝑥1\n3 ⋅𝑥2\n3 ≥3 do postaci pozwalającej na\nbezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a oraz 1 punkt za konsekwentne rozwiązanie\nnierówności do końca), a za III etap otrzymuje 0 punktów.\n4. Jeżeli zdający wprowadza dodatkowe założenie, które nie wynika z warunków zadania\n(np. 𝑥1 + 𝑥2 > 0), to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 4 punkty (co\nnajwyżej 1 punkt za I etap i co najwyżej 3 punkty za II etap).\n5. Jeżeli zdający podczas przekształcania nierówności 𝑥1\n4 + 𝑥2\n4 + 4 ⋅𝑥1\n3 ⋅𝑥2\n3 ≥3 do postaci\npozwalającej na zastosowanie wzorów Viète’a popełni błąd, który nie jest błędem\nrachunkowym, ale otrzyma nierówność, która po poprawnym zastosowaniu wzorów\nViète’a prowadzi do nierówności wielomianowej stopnia czwartego, to za II etap może\notrzymać co najwyżej 2 punkty (1 punkt za poprawne zastosowanie wzorów Viète’a oraz\n1 punkt za konsekwentne rozwiązanie nierówności do końca), a za III etap otrzymuje\n0 punktów.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nRównanie 𝑥2 + 𝑚𝑥+ 𝑚= 0 ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste tylko\nwówczas, gdy wyróżnik Δ trójmianu kwadratowego 𝑥2 + 𝑚𝑥+ 𝑚 jest dodatni.\nRozwiązujemy warunek Δ > 0:\n𝑚2 -4𝑚> 0\n𝑚(𝑚-4) > 0\n𝑚∈(-∞, 0) ∪(4, +∞)\nPrzekształcamy warunek 𝑥1\n4 + 𝑥2\n4 + 4 ⋅𝑥1\n3 ⋅𝑥2\n3 ≥3 do postaci pozwalającej na\nbezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a i rozwiązujemy uzyskaną nierówność\nz niewiadomą 𝑚:\n𝑥1\n4 + 𝑥2\n4 + 4 ⋅𝑥1\n3 ⋅𝑥2\n3 ≥3\n(𝑥1\n2 + 𝑥2\n2)2 -2 ⋅𝑥1\n2 ⋅𝑥2\n2 + 4 ⋅𝑥1\n3 ⋅𝑥2\n3 ≥3\n[(𝑥1 + 𝑥2)2 -2 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2]2 -2(𝑥1 ⋅𝑥2)2 + 4(𝑥1 ⋅𝑥2)3 ≥3\n[(-𝑚)2 -2𝑚]2 -2𝑚2 + 4𝑚3 ≥3\n𝑚4 + 2𝑚2 -3 ≥0\n𝑚4 -𝑚2 + 3𝑚2 -3 ≥0\n(𝑚2 -1)(𝑚2 + 3) ≥0\n(𝑚-1)(𝑚+ 1)(𝑚2 + 3) ≥0\n𝑚∈(-∞, -1] ∪[1, +∞)\nWyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚, które jednocześnie spełniają warunki Δ > 0\noraz 𝑥1\n4 + 𝑥2\n4 + 4 ⋅𝑥1\n3 ⋅𝑥2\n3 ≥3: 𝑚∈(-∞, -1] ∪(4, +∞).","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 14. (0-5)
Wyznacz wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których równanie
𝑥2 + 𝑚𝑥+ 𝑚= 0
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste 𝑥1 oraz 𝑥2 spełniające warunek
𝑥1
4 + 𝑥2
4 + 4 ⋅𝑥1
3 ⋅𝑥2
3 ≥3

\n

EMAP-R0_100

\n

EMAP-R0_100

\n

EMAP-R0_100

\n

EMAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 14. (0-5)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
III. Modelowanie matematyczne.
Zdający:
3.1R) stosuje wzory Viète’a;
3.2R) rozwiązuje równania i nierówności
liniowe i kwadratowe z parametrem.
Zasady oceniania
Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.
Pierwszy etap polega na rozwiązaniu nierówności ∆ > 0. Za poprawne wykonanie tego
etapu zdający otrzymuje 1 punkt.
1 pkt - poprawne rozwiązanie nierówności ∆ > 0: 𝑚∈(-∞, 0) ∪(4, +∞).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga.
Jeżeli zdający rozwiązuje warunek ∆ ≥0, to za tę część rozwiązania otrzymuje 0 punktów.
Drugi etap polega na wyznaczeniu tych wartości parametru 𝑚, dla których jest spełniony
warunek 𝑥1
4 + 𝑥2
4 + 4 ⋅𝑥1
3 ⋅𝑥2
3 ≥3. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje
3 punkty.
Podział punktów za drugi etap rozwiązania:
3 pkt - rozwiązanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 równoważnej warunkowi
𝑥1
4 + 𝑥2
4 + 4 ⋅𝑥1
3 ⋅𝑥2
3 ≥3: 𝑚∈(-∞, -1] ∪[1, +∞).
2 pkt - zapisanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 równoważnej warunkowi
𝑥1
4 + 𝑥2
4 + 4 ⋅𝑥1
3 ⋅𝑥2
3 ≥3, np. [(-𝑚)2 -2𝑚]2 -2𝑚2 + 4𝑚3 ≥3.
1 pkt - przekształcenie nierówności 𝑥1
4 + 𝑥2
4 + 4 ⋅𝑥1
3 ⋅𝑥2
3 ≥3 do postaci pozwalającej na
bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, np.
[(𝑥1 + 𝑥2)2 -2 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2]2 -2(𝑥1 ⋅𝑥2)2 + 4(𝑥1 ⋅𝑥2)3 ≥3.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Trzeci etap polega na wyznaczeniu wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają
jednocześnie warunki ∆ > 0 oraz 𝑥1
4 + 𝑥2
4 + 4 ⋅𝑥1
3 ⋅𝑥2
3 ≥3: 𝑚∈(-∞, -1] ∪(4, +∞).
Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.
1 pkt - poprawne wyznaczenie wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają
jednocześnie warunki ∆ > 0 oraz 𝑥1
4 + 𝑥2
4 + 4 ⋅𝑥1
3 ⋅𝑥2
3 ≥3:
𝑚∈(-∞, -1] ∪(4, +∞).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający w którymś z etapów I-II popełni błąd, który nie jest błędem rachunkowym,
\n

to za III etap otrzymuje 0 punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający w etapach I-II nie popełni błędów innych niż rachunkowe i otrzyma zbiory
\n

rozwiązań, które nie są rozłączne i żaden z nich nie jest zbiorem liczb rzeczywistych,
a następnie poprawnie wyznaczy część wspólną zbiorów rozwiązań z etapów I-II, to za III
Zasady oceniania rozwiązań zadań
etap otrzymuje 1 punkt; natomiast jeżeli otrzyma zbiory rozwiązań, które są rozłączne lub
co najmniej jeden z nich jest zbiorem liczb rzeczywistych, to za III etap otrzymuje
0 punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania popełni błąd - przyjmie, że 𝑥1 ⋅𝑥2 = -𝑚 lub
\n

𝑥1 + 𝑥2 = ± 𝑏
2𝑎 , to za II etap może otrzymać co najwyżej 2 punkty (1 punkt za
przekształcenie nierówności 𝑥1
4 + 𝑥2
4 + 4 ⋅𝑥1
3 ⋅𝑥2
3 ≥3 do postaci pozwalającej na
bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a oraz 1 punkt za konsekwentne rozwiązanie
nierówności do końca), a za III etap otrzymuje 0 punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający wprowadza dodatkowe założenie, które nie wynika z warunków zadania
\n

(np. 𝑥1 + 𝑥2 > 0), to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 4 punkty (co
najwyżej 1 punkt za I etap i co najwyżej 3 punkty za II etap).

\n
  1. Jeżeli zdający podczas przekształcania nierówności 𝑥1
\n

4 + 𝑥2
4 + 4 ⋅𝑥1
3 ⋅𝑥2
3 ≥3 do postaci
pozwalającej na zastosowanie wzorów Viète’a popełni błąd, który nie jest błędem
rachunkowym, ale otrzyma nierówność, która po poprawnym zastosowaniu wzorów
Viète’a prowadzi do nierówności wielomianowej stopnia czwartego, to za II etap może
otrzymać co najwyżej 2 punkty (1 punkt za poprawne zastosowanie wzorów Viète’a oraz
1 punkt za konsekwentne rozwiązanie nierówności do końca), a za III etap otrzymuje
0 punktów.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Równanie 𝑥2 + 𝑚𝑥+ 𝑚= 0 ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste tylko
wówczas, gdy wyróżnik Δ trójmianu kwadratowego 𝑥2 + 𝑚𝑥+ 𝑚 jest dodatni.
Rozwiązujemy warunek Δ > 0:
𝑚2 -4𝑚> 0
𝑚(𝑚-4) > 0
𝑚∈(-∞, 0) ∪(4, +∞)
Przekształcamy warunek 𝑥1
4 + 𝑥2
4 + 4 ⋅𝑥1
3 ⋅𝑥2
3 ≥3 do postaci pozwalającej na
bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a i rozwiązujemy uzyskaną nierówność
z niewiadomą 𝑚:
𝑥1
4 + 𝑥2
4 + 4 ⋅𝑥1
3 ⋅𝑥2
3 ≥3
(𝑥1
2 + 𝑥2
2)2 -2 ⋅𝑥1
2 ⋅𝑥2
2 + 4 ⋅𝑥1
3 ⋅𝑥2
3 ≥3
[(𝑥1 + 𝑥2)2 -2 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2]2 -2(𝑥1 ⋅𝑥2)2 + 4(𝑥1 ⋅𝑥2)3 ≥3
[(-𝑚)2 -2𝑚]2 -2𝑚2 + 4𝑚3 ≥3
𝑚4 + 2𝑚2 -3 ≥0
𝑚4 -𝑚2 + 3𝑚2 -3 ≥0
(𝑚2 -1)(𝑚2 + 3) ≥0
(𝑚-1)(𝑚+ 1)(𝑚2 + 3) ≥0
𝑚∈(-∞, -1] ∪[1, +∞)
Wyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚, które jednocześnie spełniają warunki Δ > 0
oraz 𝑥1
4 + 𝑥2
4 + 4 ⋅𝑥1
3 ⋅𝑥2
3 ≥3: 𝑚∈(-∞, -1] ∪(4, +∞).

","solutions":[]}