{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"15","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15. (0-5)\nOstrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷 ma objętość równą 36√3.\nTen ostrosłup przecięto płaszczyzną 𝛾, która:\njest prostopadła do ściany bocznej 𝐶𝐷𝑆 ostrosłupa\nprzechodzi przez środek 𝐾 krawędzi 𝐴𝐷 oraz środek 𝐿 krawędzi 𝐵𝐶\nprzecina krawędź boczną 𝐶𝑆 w punkcie 𝑀 oraz krawędź boczną 𝐷𝑆 w punkcie 𝑁\ntworzy z płaszczyzną podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷 kąt o mierze 30°.\nPrzekrój 𝐾𝐿𝑀𝑁 wyznaczony przez płaszczyznę 𝛾 jest trapezem równoramiennym.\nOblicz pole trapezu 𝐾𝐿𝑀𝑁.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐾\n𝐿\n𝑆\n𝑀\n𝑁\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 15. (0-5)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n9.1) rozpoznaje w graniastosłupach\ni ostrosłupach kąty między odcinkami (np.\nkrawędziami, krawędziami i przekątnymi,\nitp.), oblicza miary tych kątów;\n9.4) rozpoznaje w graniastosłupach\ni ostrosłupach kąty między ścianami;\n9.6) stosuje trygonometrię do obliczeń\ndługości odcinków, miar kątów, pól\npowierzchni i objętości.\n9.2R) określa, jaką figurą jest dany przekrój\ngraniastosłupa lub ostrosłupa płaszczyzną.\nZasady oceniania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\nPierwszy etap polega na obliczeniu długości krawędzi podstawy ostrosłupa. Za poprawne\nwykonanie tego etapu zdający otrzymuje 2 punkty.\nPodział punktów za pierwszy etap rozwiązania:\n2 pkt - obliczenie długości krawędzi podstawy: 𝑎= 6.\n1 pkt - wyznaczenie wysokości ostrosłupa w zależności od długości krawędzi podstawy:\n𝐻= 𝑎√3\n2 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nDrugi etap polega na wyznaczeniu długości krótszej podstawy trapezu oraz wysokości\ntrapezu w zależności od długości krawędzi podstawy ostrosłupa. Za poprawne wykonanie\ntego etapu zdający otrzymuje 2 punkty.\nPodział punktów za drugi etap rozwiązania:\n2 pkt - wyznaczenie długości krótszej podstawy trapezu oraz wysokości trapezu\nw zależności od długości krawędzi podstawy ostrosłupa: |𝑀𝑁| = 3\n4 𝑎 oraz\n|𝑃𝑅| = 𝑎√3\n4\nALBO\n- obliczenie długości krótszej podstawy trapezu oraz wysokości trapezu: |𝑀𝑁| = 18\n4\noraz |𝑃𝑅| = 6√3\n4 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n1 pkt - wyznaczenie długości krótszej podstawy trapezu lub wysokości trapezu w zależności\nod długości krawędzi podstawy ostrosłupa: |𝑀𝑁| = 3\n4 𝑎 lub |𝑃𝑅| = 𝑎√3\n4\nALBO\n- obliczenie długości krótszej podstawy trapezu lub wysokości trapezu: |𝑀𝑁| = 18\n4\nlub |𝑃𝑅| = 6√3\n4 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nTrzeci etap polega na obliczeniu pola trapezu.\nZa poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\n1 pkt - obliczenie pola przekroju ostrosłupa: 63√3\n8\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝑃 - środek odcinka 𝐾𝐿,\n𝑄 - środek krawędzi 𝐶𝐷,\n𝑅 - środek odcinka 𝑀𝑁,\n𝑎 - długość krawędzi podstawy ostrosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆,\n𝐻 - wysokość ostrosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 (zobacz rysunki).\nWówczas |𝑃𝑄| = 1\n2 𝑎.\nTrójkąty 𝑃𝑄𝑅 i 𝑃𝑄𝑆 są prostokątne i mają kąty ostre o miarach 30° i 60°. Zatem\nkorzystając z własności trójkąta prostokątnego o kątach ostrych 30° i 60° (lub z funkcji\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐾\n𝐿\n𝑆\n𝑀\n𝑁\n𝑃\n𝑅\n𝑄\n30°\n1\n2 𝑎\n𝑃\n𝐻\n𝑄\n𝑆\n𝑅\ntrygonometrycznych), otrzymujemy: |𝑄𝑅| = 1\n4 𝑎, |𝑃𝑅| = 𝑎√3\n4 , |𝑄𝑆| = 𝑎, 𝐻= |𝑃𝑆| = 𝑎√3\n2\noraz |𝑅𝑆| = 3\n4 𝑎.\nPonieważ objętość ostrosłupa jest równa 36√3, więc:\n1\n3 ⋅𝑎2 ⋅𝑎√3\n2\n= 36√3\n𝑎= 6\nTrójkąty 𝐷𝐶𝑆 i 𝑁𝑀𝑆 są podobne na mocy cechy kąt-kąt-kąt, więc stąd:\n|𝑁𝑀|\n|𝐷𝐶| =\n|𝑅𝑆|\n|𝑄𝑆|\n|𝑁𝑀|\n𝑎\n3\n4 𝑎\n𝑎\n|𝑁𝑀| = 9\n2\nObliczamy pole 𝑃𝐾𝐿𝑀𝑁 przekroju 𝐾𝐿𝑀𝑁:\n𝑃𝐾𝐿𝑀𝑁= 1\n2 ⋅(6 + 9\n2) ⋅6√3\n4\n= 63√3\n8","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 15. (0-5)
Ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷 ma objętość równą 36√3.
Ten ostrosłup przecięto płaszczyzną 𝛾, która:
jest prostopadła do ściany bocznej 𝐶𝐷𝑆 ostrosłupa
przechodzi przez środek 𝐾 krawędzi 𝐴𝐷 oraz środek 𝐿 krawędzi 𝐵𝐶
przecina krawędź boczną 𝐶𝑆 w punkcie 𝑀 oraz krawędź boczną 𝐷𝑆 w punkcie 𝑁
tworzy z płaszczyzną podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷 kąt o mierze 30°.
Przekrój 𝐾𝐿𝑀𝑁 wyznaczony przez płaszczyznę 𝛾 jest trapezem równoramiennym.
Oblicz pole trapezu 𝐾𝐿𝑀𝑁.
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐾
𝐿
𝑆
𝑀
𝑁

\n

EMAP-R0_100

\n

EMAP-R0_100

\n

EMAP-R0_100

\n

EMAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 15. (0-5)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie strategii.
Zdający:
9.1) rozpoznaje w graniastosłupach
i ostrosłupach kąty między odcinkami (np.
krawędziami, krawędziami i przekątnymi,
itp.), oblicza miary tych kątów;
9.4) rozpoznaje w graniastosłupach
i ostrosłupach kąty między ścianami;
9.6) stosuje trygonometrię do obliczeń
długości odcinków, miar kątów, pól
powierzchni i objętości.
9.2R) określa, jaką figurą jest dany przekrój
graniastosłupa lub ostrosłupa płaszczyzną.
Zasady oceniania
Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.
Pierwszy etap polega na obliczeniu długości krawędzi podstawy ostrosłupa. Za poprawne
wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 2 punkty.
Podział punktów za pierwszy etap rozwiązania:
2 pkt - obliczenie długości krawędzi podstawy: 𝑎= 6.
1 pkt - wyznaczenie wysokości ostrosłupa w zależności od długości krawędzi podstawy:
𝐻= 𝑎√3
2 .
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Drugi etap polega na wyznaczeniu długości krótszej podstawy trapezu oraz wysokości
trapezu w zależności od długości krawędzi podstawy ostrosłupa. Za poprawne wykonanie
tego etapu zdający otrzymuje 2 punkty.
Podział punktów za drugi etap rozwiązania:
2 pkt - wyznaczenie długości krótszej podstawy trapezu oraz wysokości trapezu
w zależności od długości krawędzi podstawy ostrosłupa: |𝑀𝑁| = 3
4 𝑎 oraz
|𝑃𝑅| = 𝑎√3
4
ALBO

\n\n

4
oraz |𝑃𝑅| = 6√3
4 .
Zasady oceniania rozwiązań zadań
1 pkt - wyznaczenie długości krótszej podstawy trapezu lub wysokości trapezu w zależności
od długości krawędzi podstawy ostrosłupa: |𝑀𝑁| = 3
4 𝑎 lub |𝑃𝑅| = 𝑎√3
4
ALBO

\n\n

4
lub |𝑃𝑅| = 6√3
4 .
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Trzeci etap polega na obliczeniu pola trapezu.
Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.
1 pkt - obliczenie pola przekroju ostrosłupa: 63√3
8
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Przyjmijmy następujące oznaczenia:
𝑃 - środek odcinka 𝐾𝐿,
𝑄 - środek krawędzi 𝐶𝐷,
𝑅 - środek odcinka 𝑀𝑁,
𝑎 - długość krawędzi podstawy ostrosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆,
𝐻 - wysokość ostrosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 (zobacz rysunki).
Wówczas |𝑃𝑄| = 1
2 𝑎.
Trójkąty 𝑃𝑄𝑅 i 𝑃𝑄𝑆 są prostokątne i mają kąty ostre o miarach 30° i 60°. Zatem
korzystając z własności trójkąta prostokątnego o kątach ostrych 30° i 60° (lub z funkcji
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐾
𝐿
𝑆
𝑀
𝑁
𝑃
𝑅
𝑄
30°
1
2 𝑎
𝑃
𝐻
𝑄
𝑆
𝑅
trygonometrycznych), otrzymujemy: |𝑄𝑅| = 1
4 𝑎, |𝑃𝑅| = 𝑎√3
4 , |𝑄𝑆| = 𝑎, 𝐻= |𝑃𝑆| = 𝑎√3
2
oraz |𝑅𝑆| = 3
4 𝑎.
Ponieważ objętość ostrosłupa jest równa 36√3, więc:
1
3 ⋅𝑎2 ⋅𝑎√3
2
= 36√3
𝑎= 6
Trójkąty 𝐷𝐶𝑆 i 𝑁𝑀𝑆 są podobne na mocy cechy kąt-kąt-kąt, więc stąd:
|𝑁𝑀|
|𝐷𝐶| =
|𝑅𝑆|
|𝑄𝑆|
|𝑁𝑀|
𝑎
3
4 𝑎
𝑎
|𝑁𝑀| = 9
2
Obliczamy pole 𝑃𝐾𝐿𝑀𝑁 przekroju 𝐾𝐿𝑀𝑁:
𝑃𝐾𝐿𝑀𝑁= 1
2 ⋅(6 + 9

\n
  1. ⋅6√3
\n

4
= 63√3
8

","solutions":[]}