{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/16","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"16","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 16. (0-6)\nW układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne 𝐴𝐵𝐶,\nw których 𝐶= (0, 0), wierzchołek 𝐵 leży na dodatniej półosi 𝑂𝑦, wierzchołek 𝐴 leży na\ndodatniej półosi 𝑂𝑥, natomiast bok 𝐴𝐵 jest zawarty w prostej przechodzącej przez\npunkt 𝐾= (1, 2).\na) Wykaż, że pole 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 w zależności od współczynnika kierunkowego 𝑎\nprostej 𝐴𝐵 jest określone wzorem\n𝑃(𝑎) = -𝑎2 + 4𝑎-4\n2𝑎\nb) Pole 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 w zależności od współczynnika kierunkowego 𝑎 prostej 𝐴𝐵 jest\nokreślone wzorem\n𝑃(𝑎) = -𝑎2 + 4𝑎-4\n2𝑎\ndla 𝑎< 0.\nWyznacz równanie prostej zawierającej przeciwprostokątną 𝐴𝐵 tego z rozważanych\ntrójkątów, który ma najmniejsze pole.\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-R0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2015","answer":null,"answer_text":"Zadanie 16. (0-6)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n11.6R) stosuje pochodne do rozwiązywania\nzagadnień optymalizacyjnych.\nZasady oceniania\nCzęść a)\n2 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n1 pkt - wyznaczenie pierwszej współrzędnej 𝑥𝐴 punktu 𝐴 oraz drugiej współrzędnej 𝑦𝐵\npunktu 𝐵 w zależności od współczynnika kierunkowego 𝑎 prostej 𝐴𝐵: 𝑥𝐴= 𝑎 - 2\n𝑎\noraz 𝑦𝐵= 2 -𝑎.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nCzęść b)\n4 pkt - uzasadnienie, że funkcja 𝑃 przyjmuje wartość najmniejszą dla 𝑎= -2 oraz\nwyznaczenie równania prostej zawierającej przeciwprostokątną 𝐴𝐵 tego z trójkątów,\nktóry ma najmniejsze pole, np. 𝑦= -2𝑥+ 4.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n3 pkt - uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja 𝑃 przyjmuje\nwartość najmniejszą dla 𝑎= -2\nALBO\n- przekształcenie nierówności\n(- 𝑎\n2) + (- 2\n𝑎)\n2\n≥√(-𝑎\n2) ⋅(-2\n𝑎) do postaci\n(-𝑎\n2) + (-2\n𝑎) + 2 ≥4 oraz zapisanie, że równość zachodzi tylko wtedy, gdy liczby\ndodatnie (-𝑎\n2) oraz (-2\n𝑎) są równe.\n2 pkt - obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji 𝑃: 𝑎= -2\nALBO\n- obliczenie wartości 𝑎, dla której zachodzi równość średniej arytmetycznej\ni geometrycznej liczb dodatnich (-𝑎\n2) oraz (-2\n𝑎): 𝑎= -2,\nALBO\n- przekształcenie nierówności\n(- 𝑎\n2) + (- 2\n𝑎)\n2\n≥√(-𝑎\n2) ⋅(-2\n𝑎) do postaci\n(-𝑎\n2) + (-2\n𝑎) + 2 ≥4.\n1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑃, np. 𝑃′(𝑎) =\n(-2𝑎 + 4) ⋅ 2𝑎 - (-𝑎2 + 4𝑎 - 4) ⋅ 2\n(2𝑎)2\nALBO\n- zapisanie nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną liczb (-𝑎\n2)\noraz (-2\n𝑎):\n(- 𝑎\n2) + (- 2\n𝑎)\n2\n≥√(-𝑎\n2) ⋅(-2\n𝑎).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi do części b):\n1. Jeżeli zdający wyznacza pochodną ilorazu jako iloraz pochodnych, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli z rozwiązania wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu\nfunkcji oraz zdający poprawnie wyznacza pochodne funkcji (-𝑎2 + 4𝑎-4) oraz 2𝑎\ni dalej popełnia błędy, otrzymując pochodną, która ma w przedziale (-∞, 0) co najmniej\njedno miejsce zerowe, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co\nnajwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (za miejsce/a zerowe pochodnej, za uzasadnienie\nistnienia najmniejszej wartości funkcji 𝑃, za wyznaczenie równania prostej 𝐴𝐵 tego\nz trójkątów, który ma najmniejsze pole).\nJeżeli z rozwiązania nie wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu\nfunkcji lub zdający błędnie wyznacza pochodną funkcji (-𝑎2 + 4𝑎-4) lub 2𝑎 i dalej\npopełnia błędy, otrzymując pochodną, która ma w przedziale (-∞, 0) co najmniej jedno\nmiejsce zerowe, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co\nnajwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości\nfunkcji 𝑃 oraz za wyznaczenie równania prostej 𝐴𝐵 tego z trójkątów, który ma\nnajmniejsze pole).\n3. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja osiąga wartość najmniejszą dla\nwyznaczonej wartości 𝑎, przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy\nzdający bada znak pochodnej\nORAZ:\n- opisuje (słownie lub graficznie - np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji 𝑃\nLUB\n- zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑎 funkcja 𝑃 ma minimum lokalne i jest to\njednocześnie jej najmniejsza wartość,\nLUB\n- zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑎 funkcja 𝑃 ma minimum lokalne i jest to\njedyne ekstremum tej funkcji,\nLUB\n- wyznaczy drugą pochodną funkcji 𝑃 i dla wyznaczonej wartości 𝑎 obliczy wartość tej\ndrugiej pochodnej oraz zapisze, że funkcja 𝑃 ma minimum lokalne i jest to jedyne\nekstremum tej funkcji.\nBadanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres\nfunkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku (np.\nznakami „+” i „-”) znak pochodnej.\n4. Jeżeli zdający przedstawi niepełne uzasadnienie, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty\nza całe rozwiązanie (1 punkt za poprawne wyznaczenie pochodnej, 1 punkt za obliczenie\nmiejsca zerowego pochodnej, 1 punkt za wyznaczenie równania prostej 𝐴𝐵, dla której\npole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest najmniejsze).\n5. Jeżeli zdający nie uzasadnia istnienia najmniejszej wartości funkcji, to może otrzymać co\nnajwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za poprawne wyznaczenie pochodnej,\n1 punkt za obliczenie miejsca zerowego pochodnej).\nPrzykładowe pełne rozwiązania\na)\nProsta 𝐴𝐵 przechodzi przez punkty 𝐵 oraz 𝐾= (1, 2) o różnych pierwszych\nwspółrzędnych, więc równanie tej prostej można zapisać w postaci kierunkowej\n𝑦= 𝑎(𝑥-1) + 2, czyli 𝑦= 𝑎𝑥+ (2 -𝑎).\nPonieważ punkt 𝐵 leży na dodatniej półosi 𝑂𝑦, więc 𝐵= (0, 2 -𝑎) i 2 -𝑎> 0, czyli\n𝑎< 2.\nPonieważ punkt 𝐴 leży na dodatniej półosi 𝑂𝑥, więc 𝐴= (𝑎 - 2\n𝑎\n, 0) oraz 𝑎 - 2\n𝑎\n> 0.\nWyznaczamy pole 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\n𝑃= 1\n2 ⋅|𝐴𝐶| ⋅|𝐵𝐶| = 1\n2 ⋅|𝑎-2\n𝑎\n| ⋅|2 -𝑎| = 1\n2 ⋅𝑎 - 2\n𝑎\n⋅(2 -𝑎) = -𝑎2 + 4𝑎-4\n2𝑎\nTo należało wykazać.\nb)\nSposób I\nObliczamy argument, dla którego funkcja 𝑃 określona wzorem 𝑃(𝑎) = -𝑎2 + 4𝑎 - 4\n2𝑎\ndla\n𝑎< 0 osiąga wartość najmniejszą.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑃:\n𝑃′(𝑎) = (-2𝑎+ 4) ⋅2𝑎-(-𝑎2 + 4𝑎-4) ⋅2\n(2𝑎)2\n𝑃′(𝑎) = -2𝑎2 + 8\n(2𝑎)2\ndla 𝑎< 0.\nObliczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑃:\n𝑃′(𝑎) = 0\n-2𝑎2 + 8 = 0\n𝑎= 2 ∉(-∞, 0) ∨ 𝑎= -2 ∈(-∞, 0)\nBadamy znak pochodnej:\n𝑃′(𝑎) < 0\n-2𝑎2 + 8 < 0 ∧ 𝑎< 0\n𝑎∈(-∞, -2)\nwięc 𝑃′(𝑎) < 0 dla 𝑎∈(-∞, -2) oraz 𝑃′(𝑎) > 0 dla 𝑎∈(-2, 0).\nZatem funkcja 𝑃 jest malejąca w przedziale (-∞, -2] i rosnąca w przedziale [-2, 0).\nStąd funkcja 𝑃 osiąga wartość najmniejszą dla 𝑎= -2. Wtedy prosta 𝐴𝐵 ma równanie\n𝑦= -2(𝑥-1) + 2, czyli 𝑦= -2𝑥+ 4.\nSposób II\nZauważmy, że 𝑃(𝑎) = -𝑎2\n2𝑎+ 4𝑎\n2𝑎-4\n2𝑎= -𝑎\n2 -2\n𝑎+ 2. Ponieważ 𝑎< 0, więc liczby (-𝑎\n2)\noraz (-2\n𝑎) są dodatnie. Z nierówności między średnimi arytmetyczną i geometryczną dla\nliczb dodatnich (-𝑎\n2) oraz (-2\n𝑎) otrzymujemy:\n(-\n𝑎\n2) + (-\n2\n𝑎)\n2\n≥√(-𝑎\n2) ⋅(-2\n𝑎)\n-𝑎\n2 -2\n𝑎≥2\n-𝑎\n2 -2\n𝑎+ 2 ≥4\n𝑃(𝑎) ≥4\nprzy czym równość zachodzi tylko dla tych 𝑎, dla których -𝑎\n2 = -2\n𝑎 i jednocześnie\n𝑎< 0, tj. dla 𝑎= -2.\nZatem funkcja 𝑃 osiąga wartość najmniejszą dla 𝑎= -2. Wtedy prosta 𝐴𝐵 ma równanie\n𝑦= -2(𝑥-1) + 2, czyli 𝑦= -2𝑥+ 4.","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":28,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 16. (0-6)<br>W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne 𝐴𝐵𝐶,<br>w których 𝐶= (0, 0), wierzchołek 𝐵 leży na dodatniej półosi 𝑂𝑦, wierzchołek 𝐴 leży na<br>dodatniej półosi 𝑂𝑥, natomiast bok 𝐴𝐵 jest zawarty w prostej przechodzącej przez<br>punkt 𝐾= (1, 2).<br>a) Wykaż, że pole 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 w zależności od współczynnika kierunkowego 𝑎<br>prostej 𝐴𝐵 jest określone wzorem<br>𝑃(𝑎) = -𝑎2 + 4𝑎-4<br>2𝑎<br>b) Pole 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 w zależności od współczynnika kierunkowego 𝑎 prostej 𝐴𝐵 jest<br>określone wzorem<br>𝑃(𝑎) = -𝑎2 + 4𝑎-4<br>2𝑎<br>dla 𝑎&lt; 0.<br>Wyznacz równanie prostej zawierającej przeciwprostokątną 𝐴𝐵 tego z rozważanych<br>trójkątów, który ma najmniejsze pole.</p>\n<p>EMAP-R0_100</p>\n<p>EMAP-R0_100</p>\n<p>EMAP-R0_100</p>\n<p>EMAP-R0_100<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>EMAP-R0_100</p>\n<p>MATEMATYKA<br>Poziom rozszerzony<br>Formuła 2015<br>MATEMATYKA<br>Poziom rozszerzony<br>Formuła 2015<br>MATEMATYKA<br>Poziom rozszerzony<br>Formuła 2015</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 16. (0-6)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Modelowanie matematyczne.<br>Zdający:<br>11.6R) stosuje pochodne do rozwiązywania<br>zagadnień optymalizacyjnych.<br>Zasady oceniania<br>Część a)<br>2 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.<br>1 pkt - wyznaczenie pierwszej współrzędnej 𝑥𝐴 punktu 𝐴 oraz drugiej współrzędnej 𝑦𝐵<br>punktu 𝐵 w zależności od współczynnika kierunkowego 𝑎 prostej 𝐴𝐵: 𝑥𝐴= 𝑎 - 2<br>𝑎<br>oraz 𝑦𝐵= 2 -𝑎.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Część b)<br>4 pkt - uzasadnienie, że funkcja 𝑃 przyjmuje wartość najmniejszą dla 𝑎= -2 oraz<br>wyznaczenie równania prostej zawierającej przeciwprostokątną 𝐴𝐵 tego z trójkątów,<br>który ma najmniejsze pole, np. 𝑦= -2𝑥+ 4.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>3 pkt - uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja 𝑃 przyjmuje<br>wartość najmniejszą dla 𝑎= -2<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie nierówności</li></ul>\n<p>(- 𝑎</p>\n<ol><li>+ (- 2</li></ol>\n<p>𝑎)<br>2<br>≥√(-𝑎</p>\n<ol><li>⋅(-2</li></ol>\n<p>𝑎) do postaci<br>(-𝑎</p>\n<ol><li>+ (-2</li></ol>\n<p>𝑎) + 2 ≥4 oraz zapisanie, że równość zachodzi tylko wtedy, gdy liczby<br>dodatnie (-𝑎</p>\n<ol><li>oraz (-2</li></ol>\n<p>𝑎) są równe.<br>2 pkt - obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji 𝑃: 𝑎= -2<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie wartości 𝑎, dla której zachodzi równość średniej arytmetycznej</li></ul>\n<p>i geometrycznej liczb dodatnich (-𝑎</p>\n<ol><li>oraz (-2</li></ol>\n<p>𝑎): 𝑎= -2,<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie nierówności</li></ul>\n<p>(- 𝑎</p>\n<ol><li>+ (- 2</li></ol>\n<p>𝑎)<br>2<br>≥√(-𝑎</p>\n<ol><li>⋅(-2</li></ol>\n<p>𝑎) do postaci<br>(-𝑎</p>\n<ol><li>+ (-2</li></ol>\n<p>𝑎) + 2 ≥4.<br>1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑃, np. 𝑃′(𝑎) =<br>(-2𝑎 + 4) ⋅ 2𝑎 - (-𝑎2 + 4𝑎 - 4) ⋅ 2<br>(2𝑎)2<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną liczb (-𝑎</li></ul>\n<p>2)<br>oraz (-2<br>𝑎):<br>(- 𝑎</p>\n<ol><li>+ (- 2</li></ol>\n<p>𝑎)<br>2<br>≥√(-𝑎</p>\n<ol><li>⋅(-2</li></ol>\n<p>𝑎).<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi do części b):</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający wyznacza pochodną ilorazu jako iloraz pochodnych, to otrzymuje</li></ol>\n<p>0 punktów za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli z rozwiązania wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu</li></ol>\n<p>funkcji oraz zdający poprawnie wyznacza pochodne funkcji (-𝑎2 + 4𝑎-4) oraz 2𝑎<br>i dalej popełnia błędy, otrzymując pochodną, która ma w przedziale (-∞, 0) co najmniej<br>jedno miejsce zerowe, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co<br>najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (za miejsce/a zerowe pochodnej, za uzasadnienie<br>istnienia najmniejszej wartości funkcji 𝑃, za wyznaczenie równania prostej 𝐴𝐵 tego<br>z trójkątów, który ma najmniejsze pole).<br>Jeżeli z rozwiązania nie wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu<br>funkcji lub zdający błędnie wyznacza pochodną funkcji (-𝑎2 + 4𝑎-4) lub 2𝑎 i dalej<br>popełnia błędy, otrzymując pochodną, która ma w przedziale (-∞, 0) co najmniej jedno<br>miejsce zerowe, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co<br>najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości<br>funkcji 𝑃 oraz za wyznaczenie równania prostej 𝐴𝐵 tego z trójkątów, który ma<br>najmniejsze pole).</p>\n<ol><li>Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja osiąga wartość najmniejszą dla</li></ol>\n<p>wyznaczonej wartości 𝑎, przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy<br>zdający bada znak pochodnej<br>ORAZ:</p>\n<ul><li>opisuje (słownie lub graficznie - np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji 𝑃</li></ul>\n<p>LUB</p>\n<ul><li>zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑎 funkcja 𝑃 ma minimum lokalne i jest to</li></ul>\n<p>jednocześnie jej najmniejsza wartość,<br>LUB</p>\n<ul><li>zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑎 funkcja 𝑃 ma minimum lokalne i jest to</li></ul>\n<p>jedyne ekstremum tej funkcji,<br>LUB</p>\n<ul><li>wyznaczy drugą pochodną funkcji 𝑃 i dla wyznaczonej wartości 𝑎 obliczy wartość tej</li></ul>\n<p>drugiej pochodnej oraz zapisze, że funkcja 𝑃 ma minimum lokalne i jest to jedyne<br>ekstremum tej funkcji.<br>Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres<br>funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku (np.<br>znakami „+” i „-”) znak pochodnej.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający przedstawi niepełne uzasadnienie, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty</li></ol>\n<p>za całe rozwiązanie (1 punkt za poprawne wyznaczenie pochodnej, 1 punkt za obliczenie<br>miejsca zerowego pochodnej, 1 punkt za wyznaczenie równania prostej 𝐴𝐵, dla której<br>pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest najmniejsze).</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający nie uzasadnia istnienia najmniejszej wartości funkcji, to może otrzymać co</li></ol>\n<p>najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za poprawne wyznaczenie pochodnej,<br>1 punkt za obliczenie miejsca zerowego pochodnej).<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>a)<br>Prosta 𝐴𝐵 przechodzi przez punkty 𝐵 oraz 𝐾= (1, 2) o różnych pierwszych<br>współrzędnych, więc równanie tej prostej można zapisać w postaci kierunkowej<br>𝑦= 𝑎(𝑥-1) + 2, czyli 𝑦= 𝑎𝑥+ (2 -𝑎).<br>Ponieważ punkt 𝐵 leży na dodatniej półosi 𝑂𝑦, więc 𝐵= (0, 2 -𝑎) i 2 -𝑎&gt; 0, czyli<br>𝑎&lt; 2.<br>Ponieważ punkt 𝐴 leży na dodatniej półosi 𝑂𝑥, więc 𝐴= (𝑎 - 2<br>𝑎<br>, 0) oraz 𝑎 - 2<br>𝑎</p>\n<blockquote>0.</blockquote>\n<p>Wyznaczamy pole 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶:<br>𝑃= 1<br>2 ⋅|𝐴𝐶| ⋅|𝐵𝐶| = 1<br>2 ⋅|𝑎-2<br>𝑎<br>| ⋅|2 -𝑎| = 1<br>2 ⋅𝑎 - 2<br>𝑎<br>⋅(2 -𝑎) = -𝑎2 + 4𝑎-4<br>2𝑎<br>To należało wykazać.<br>b)<br>Sposób I<br>Obliczamy argument, dla którego funkcja 𝑃 określona wzorem 𝑃(𝑎) = -𝑎2 + 4𝑎 - 4<br>2𝑎<br>dla<br>𝑎&lt; 0 osiąga wartość najmniejszą.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Wyznaczamy pochodną funkcji 𝑃:<br>𝑃′(𝑎) = (-2𝑎+ 4) ⋅2𝑎-(-𝑎2 + 4𝑎-4) ⋅2<br>(2𝑎)2<br>𝑃′(𝑎) = -2𝑎2 + 8<br>(2𝑎)2<br>dla 𝑎&lt; 0.<br>Obliczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑃:<br>𝑃′(𝑎) = 0<br>-2𝑎2 + 8 = 0<br>𝑎= 2 ∉(-∞, 0) ∨ 𝑎= -2 ∈(-∞, 0)<br>Badamy znak pochodnej:<br>𝑃′(𝑎) &lt; 0<br>-2𝑎2 + 8 &lt; 0 ∧ 𝑎&lt; 0<br>𝑎∈(-∞, -2)<br>więc 𝑃′(𝑎) &lt; 0 dla 𝑎∈(-∞, -2) oraz 𝑃′(𝑎) &gt; 0 dla 𝑎∈(-2, 0).<br>Zatem funkcja 𝑃 jest malejąca w przedziale (-∞, -2] i rosnąca w przedziale [-2, 0).<br>Stąd funkcja 𝑃 osiąga wartość najmniejszą dla 𝑎= -2. Wtedy prosta 𝐴𝐵 ma równanie<br>𝑦= -2(𝑥-1) + 2, czyli 𝑦= -2𝑥+ 4.<br>Sposób II<br>Zauważmy, że 𝑃(𝑎) = -𝑎2<br>2𝑎+ 4𝑎<br>2𝑎-4<br>2𝑎= -𝑎<br>2 -2<br>𝑎+ 2. Ponieważ 𝑎&lt; 0, więc liczby (-𝑎<br>2)<br>oraz (-2<br>𝑎) są dodatnie. Z nierówności między średnimi arytmetyczną i geometryczną dla<br>liczb dodatnich (-𝑎</p>\n<ol><li>oraz (-2</li></ol>\n<p>𝑎) otrzymujemy:<br>(-<br>𝑎</p>\n<ol><li>+ (-</li></ol>\n<p>2<br>𝑎)<br>2<br>≥√(-𝑎</p>\n<ol><li>⋅(-2</li></ol>\n<p>𝑎)<br>-𝑎<br>2 -2<br>𝑎≥2<br>-𝑎<br>2 -2<br>𝑎+ 2 ≥4<br>𝑃(𝑎) ≥4<br>przy czym równość zachodzi tylko dla tych 𝑎, dla których -𝑎<br>2 = -2<br>𝑎 i jednocześnie<br>𝑎&lt; 0, tj. dla 𝑎= -2.<br>Zatem funkcja 𝑃 osiąga wartość najmniejszą dla 𝑎= -2. Wtedy prosta 𝐴𝐵 ma równanie<br>𝑦= -2(𝑥-1) + 2, czyli 𝑦= -2𝑥+ 4.</p>","solutions":[]}