{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"7","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-3)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑥\n𝑥 - 1 dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠1.\nWyznacz wszystkie wartości 𝑎, dla których pochodna funkcji 𝑓 w punkcie 𝑥= 𝑎 jest\nrówna (-1\n2 𝑎).\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n11.2R) oblicza pochodne funkcji\nwymiernych.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑎= 2.\n2 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎, np.\n(2𝑎2 + 1)(𝑎-1) -(𝑎3 + 𝑎) ⋅1\n(𝑎-1)2\n= -1\n2 𝑎\n1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓, np. 𝑓′(𝑥) =\n(2𝑎𝑥 + 1)(𝑥 - 1) - (𝑎𝑥2 + 𝑥) ⋅ 1\n(𝑥 - 1)2\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑓:\n𝑓′(𝑥) = (2𝑎𝑥+ 1)(𝑥-1) -(𝑎𝑥2 + 𝑥) ⋅1\n(𝑥-1)2\n= 𝑎𝑥2 -2𝑎𝑥-1\n(𝑥-1)2\ndla każdego 𝑥≠1.\nStąd i z warunku 𝑓′(𝑎) = -1\n2 𝑎 otrzymujemy:\n𝑎3 -2𝑎2 -1\n(𝑎-1)2\n= -1\n2 𝑎 ∧ 𝑎≠1\n2𝑎3 -4𝑎2 -2 = -𝑎(𝑎-1)2 ∧ 𝑎≠1\n3𝑎3 -6𝑎2 + 𝑎-2 = 0 ∧ 𝑎≠1\n3𝑎2(𝑎-2) + (𝑎-2) = 0 ∧ 𝑎≠1\n(3𝑎2 + 1)(𝑎-2) = 0 ∧ 𝑎≠1\n𝑎= 2","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 7. (0-3)
Funkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑥
𝑥 - 1 dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠1.
Wyznacz wszystkie wartości 𝑎, dla których pochodna funkcji 𝑓 w punkcie 𝑥= 𝑎 jest
równa (-1
2 𝑎).

\n

EMAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 7. (0-3)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
Zdający:
11.2R) oblicza pochodne funkcji
wymiernych.
Zasady oceniania
3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑎= 2.
2 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎, np.
(2𝑎2 + 1)(𝑎-1) -(𝑎3 + 𝑎) ⋅1
(𝑎-1)2
= -1
2 𝑎
1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓, np. 𝑓′(𝑥) =
(2𝑎𝑥 + 1)(𝑥 - 1) - (𝑎𝑥2 + 𝑥) ⋅ 1
(𝑥 - 1)2
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Wyznaczamy pochodną funkcji 𝑓:
𝑓′(𝑥) = (2𝑎𝑥+ 1)(𝑥-1) -(𝑎𝑥2 + 𝑥) ⋅1
(𝑥-1)2
= 𝑎𝑥2 -2𝑎𝑥-1
(𝑥-1)2
dla każdego 𝑥≠1.
Stąd i z warunku 𝑓′(𝑎) = -1
2 𝑎 otrzymujemy:
𝑎3 -2𝑎2 -1
(𝑎-1)2
= -1
2 𝑎 ∧ 𝑎≠1
2𝑎3 -4𝑎2 -2 = -𝑎(𝑎-1)2 ∧ 𝑎≠1
3𝑎3 -6𝑎2 + 𝑎-2 = 0 ∧ 𝑎≠1
3𝑎2(𝑎-2) + (𝑎-2) = 0 ∧ 𝑎≠1
(3𝑎2 + 1)(𝑎-2) = 0 ∧ 𝑎≠1
𝑎= 2

","solutions":[]}