{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"8","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-3)\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦 prawdziwa\njest nierówność\n𝑥𝑦+ 𝑥+ 𝑦≤𝑥2 + 𝑦2 + 1\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\n2.1) używa wzorów skróconego mnożenia\nna (𝑎± 𝑏)2 oraz 𝑎2 -𝑏2.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n2 pkt - przekształcenie nierówności do postaci, z której można bezpośrednio wnioskować\no prawdziwości nierówności, np. 0 ≤(𝑥-𝑦)2 + (𝑥-1)2 + (𝑦-1)2\n(dla sposobu I)\nALBO\n- przekształcenie nierówności do postaci uporządkowanej nierówności kwadratowej ze\nwzględu na niewiadomą 𝑥 (lub niewiadomą 𝑦) oraz wyznaczenie i przeprowadzenie\nanalizy znaku wyróżnika odpowiedniego trójmianu kwadratowego, np. poprzez\nzapisanie wyróżnika w postaci, z której można bezpośrednio wnioskować o jego\nznaku, lub poprzez naszkicowanie poprawnego wykresu trójmianu -3𝑦2 + 6𝑦-3\n(dla sposobu II),\nALBO\n- przekształcenie nierówności do postaci 0 ≤(𝑥-1)2 -(𝑥-1)(𝑦-1) + (𝑦-1)2\n(dla sposobu III).\n1 pkt - pomnożenie obu stron nierówności przez 2 i przekształcenie nierówności do postaci,\nw której występuje co najmniej jeden z następujących kwadratów: (𝑥-𝑦)2 lub\n(𝑥-1)2, lub (𝑦-1)2, np. (𝑥-𝑦)2 + 𝑥2 + 𝑦2 -2𝑥-2𝑦+ 2 ≥0 (dla sposobu I)\nALBO\n- przekształcenie nierówności do postaci uporządkowanej nierówności kwadratowej ze\nwzględu na niewiadomą 𝑥 (lub niewiadomą 𝑦) oraz wyznaczenie wyróżnika\nodpowiedniego trójmianu kwadratowego, np. 0 ≤𝑥2 -(𝑦+ 1)𝑥+ (𝑦2 -𝑦+ 1)\noraz Δ = -3𝑦2 + 6𝑦-3 (dla sposobu II),\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nALBO\n- przekształcenie nierówności do postaci 0 ≤[(𝑥-1) -(𝑦-1)]2 + (𝑥-1)(𝑦-1)\n(dla sposobu III).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy nierówność równoważnie i otrzymujemy:\n𝑥𝑦+ 𝑥+ 𝑦≤𝑥2 + 𝑦2 + 1\n2𝑥𝑦+ 2𝑥+ 2𝑦≤2𝑥2 + 2𝑦2 + 2\n0 ≤𝑥2 -2𝑥𝑦+ 𝑦2 + 𝑥2 -2𝑥+ 1 + 𝑦2 -2𝑦+ 1\n0 ≤(𝑥-𝑦)2 + (𝑥-1)2 + (𝑦-1)2\nWszystkie składniki sumy (𝑥-𝑦)2 + (𝑥-1)2 + (𝑦-1)2 są nieujemne jako kwadraty\nliczb rzeczywistych, więc nierówność 0 ≤(𝑥-𝑦)2 + (𝑥-1)2 + (𝑦-1)2 jest prawdziwa\ndla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦. Zatem nierówność\n𝑥𝑦+ 𝑥+ 𝑦≤𝑥2 + 𝑦2 + 1 jest również prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla\nkażdej liczby rzeczywistej 𝑦.\nTo należało wykazać.\nSposób II\nPrzekształcamy nierówność równoważnie i otrzymujemy:\n𝑥𝑦+ 𝑥+ 𝑦≤𝑥2 + 𝑦2 + 1\n0 ≤𝑥2 -(𝑦+ 1)𝑥+ (𝑦2 -𝑦+ 1)\nWyróżnik Δ trójmianu 𝑥2 -(𝑦+ 1)𝑥+ (𝑦2 -𝑦+ 1) zmiennej 𝑥 jest równy\nΔ = (𝑦+ 1)2 -4(𝑦2 -𝑦+ 1) = -3𝑦2 + 6𝑦-3 = -3(𝑦-1)2\nWyróżnik jest niedodatni jako iloczyn liczby ujemnej i liczby nieujemnej (𝑦-1)2. Ponadto\nwspółczynnik przy 𝑥2 jest dodatni, więc trójmian 𝑥2 -(𝑦+ 1)𝑥+ (𝑦2 -𝑦+ 1) przyjmuje\ntylko wartości nieujemne. Zatem nierówność 0 ≤𝑥2 -(𝑦+ 1)𝑥+ (𝑦2 -𝑦+ 1) jest\nprawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦, więc również\nnierówność 𝑥𝑦+ 𝑥+ 𝑦≤𝑥2 + 𝑦2 + 1 jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥\ni dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦.\nTo należało wykazać.\nSposób III\nPrzekształcamy nierówność równoważnie i otrzymujemy:\n𝑥𝑦+ 𝑥+ 𝑦≤𝑥2 + 𝑦2 + 1\n0 ≤𝑥2 + 𝑦2 -2𝑥𝑦+ 𝑥𝑦-𝑥-𝑦+ 1\n0 ≤(𝑥-𝑦)2 + 𝑥(𝑦-1) -(𝑦-1)\n0 ≤(𝑥-𝑦)2 + (𝑥-1)(𝑦-1)\n0 ≤[(𝑥-1) -(𝑦-1)]2 + (𝑥-1)(𝑦-1)\n0 ≤(𝑥-1)2 -2(𝑥-1)(𝑦-1) + (𝑦-1)2 + (𝑥-1)(𝑦-1)\n0 ≤(𝑥-1)2 -(𝑥-1)(𝑦-1) + (𝑦-1)2\nTę nierówność możemy równoważnie zapisać w postaci\n0 ≤𝑎2 -𝑎𝑏+ 𝑏2\ngdzie 𝑎= 𝑥-1 oraz 𝑏= 𝑦-1. Zauważmy teraz, że 𝑎2 -𝑎𝑏+ 𝑏2 = (𝑎-1\n2 𝑏)\n2\n+ 3\n4 𝑏2.\nPonieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc (𝑎-1\n2 𝑏)\n2\n≥0\noraz 3\n4 𝑏2 ≥0. Zatem suma (𝑎-1\n2 𝑏)\n2\n+ 3\n4 𝑏2 jest nieujemna jako suma liczb\nnieujemnych. To oznacza, że nierówność 0 ≤𝑎2 -𝑎𝑏+ 𝑏2 jest prawdziwa dla każdej\nliczby rzeczywistej 𝑎 i każdej liczby rzeczywistej 𝑏. Tym samym nierówność\n𝑥𝑦+ 𝑥+ 𝑦≤𝑥2 + 𝑦2 + 1 jest również prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla\nkażdej liczby rzeczywistej 𝑦. To należało wykazać.","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 8. (0-3)<br>Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦 prawdziwa<br>jest nierówność<br>𝑥𝑦+ 𝑥+ 𝑦≤𝑥2 + 𝑦2 + 1</p>\n<p>EMAP-R0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 8. (0-3)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>V. Rozumowanie i argumentacja.<br>Zdający:<br>2.1) używa wzorów skróconego mnożenia<br>na (𝑎± 𝑏)2 oraz 𝑎2 -𝑏2.<br>Zasady oceniania<br>3 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.<br>2 pkt - przekształcenie nierówności do postaci, z której można bezpośrednio wnioskować<br>o prawdziwości nierówności, np. 0 ≤(𝑥-𝑦)2 + (𝑥-1)2 + (𝑦-1)2<br>(dla sposobu I)<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie nierówności do postaci uporządkowanej nierówności kwadratowej ze</li></ul>\n<p>względu na niewiadomą 𝑥 (lub niewiadomą 𝑦) oraz wyznaczenie i przeprowadzenie<br>analizy znaku wyróżnika odpowiedniego trójmianu kwadratowego, np. poprzez<br>zapisanie wyróżnika w postaci, z której można bezpośrednio wnioskować o jego<br>znaku, lub poprzez naszkicowanie poprawnego wykresu trójmianu -3𝑦2 + 6𝑦-3<br>(dla sposobu II),<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie nierówności do postaci 0 ≤(𝑥-1)2 -(𝑥-1)(𝑦-1) + (𝑦-1)2</li></ul>\n<p>(dla sposobu III).<br>1 pkt - pomnożenie obu stron nierówności przez 2 i przekształcenie nierówności do postaci,<br>w której występuje co najmniej jeden z następujących kwadratów: (𝑥-𝑦)2 lub<br>(𝑥-1)2, lub (𝑦-1)2, np. (𝑥-𝑦)2 + 𝑥2 + 𝑦2 -2𝑥-2𝑦+ 2 ≥0 (dla sposobu I)<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie nierówności do postaci uporządkowanej nierówności kwadratowej ze</li></ul>\n<p>względu na niewiadomą 𝑥 (lub niewiadomą 𝑦) oraz wyznaczenie wyróżnika<br>odpowiedniego trójmianu kwadratowego, np. 0 ≤𝑥2 -(𝑦+ 1)𝑥+ (𝑦2 -𝑦+ 1)<br>oraz Δ = -3𝑦2 + 6𝑦-3 (dla sposobu II),<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie nierówności do postaci 0 ≤[(𝑥-1) -(𝑦-1)]2 + (𝑥-1)(𝑦-1)</li></ul>\n<p>(dla sposobu III).<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Przekształcamy nierówność równoważnie i otrzymujemy:<br>𝑥𝑦+ 𝑥+ 𝑦≤𝑥2 + 𝑦2 + 1<br>2𝑥𝑦+ 2𝑥+ 2𝑦≤2𝑥2 + 2𝑦2 + 2<br>0 ≤𝑥2 -2𝑥𝑦+ 𝑦2 + 𝑥2 -2𝑥+ 1 + 𝑦2 -2𝑦+ 1<br>0 ≤(𝑥-𝑦)2 + (𝑥-1)2 + (𝑦-1)2<br>Wszystkie składniki sumy (𝑥-𝑦)2 + (𝑥-1)2 + (𝑦-1)2 są nieujemne jako kwadraty<br>liczb rzeczywistych, więc nierówność 0 ≤(𝑥-𝑦)2 + (𝑥-1)2 + (𝑦-1)2 jest prawdziwa<br>dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦. Zatem nierówność<br>𝑥𝑦+ 𝑥+ 𝑦≤𝑥2 + 𝑦2 + 1 jest również prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla<br>każdej liczby rzeczywistej 𝑦.<br>To należało wykazać.<br>Sposób II<br>Przekształcamy nierówność równoważnie i otrzymujemy:<br>𝑥𝑦+ 𝑥+ 𝑦≤𝑥2 + 𝑦2 + 1<br>0 ≤𝑥2 -(𝑦+ 1)𝑥+ (𝑦2 -𝑦+ 1)<br>Wyróżnik Δ trójmianu 𝑥2 -(𝑦+ 1)𝑥+ (𝑦2 -𝑦+ 1) zmiennej 𝑥 jest równy<br>Δ = (𝑦+ 1)2 -4(𝑦2 -𝑦+ 1) = -3𝑦2 + 6𝑦-3 = -3(𝑦-1)2<br>Wyróżnik jest niedodatni jako iloczyn liczby ujemnej i liczby nieujemnej (𝑦-1)2. Ponadto<br>współczynnik przy 𝑥2 jest dodatni, więc trójmian 𝑥2 -(𝑦+ 1)𝑥+ (𝑦2 -𝑦+ 1) przyjmuje<br>tylko wartości nieujemne. Zatem nierówność 0 ≤𝑥2 -(𝑦+ 1)𝑥+ (𝑦2 -𝑦+ 1) jest<br>prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦, więc również<br>nierówność 𝑥𝑦+ 𝑥+ 𝑦≤𝑥2 + 𝑦2 + 1 jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥<br>i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦.<br>To należało wykazać.<br>Sposób III<br>Przekształcamy nierówność równoważnie i otrzymujemy:<br>𝑥𝑦+ 𝑥+ 𝑦≤𝑥2 + 𝑦2 + 1<br>0 ≤𝑥2 + 𝑦2 -2𝑥𝑦+ 𝑥𝑦-𝑥-𝑦+ 1<br>0 ≤(𝑥-𝑦)2 + 𝑥(𝑦-1) -(𝑦-1)<br>0 ≤(𝑥-𝑦)2 + (𝑥-1)(𝑦-1)<br>0 ≤[(𝑥-1) -(𝑦-1)]2 + (𝑥-1)(𝑦-1)<br>0 ≤(𝑥-1)2 -2(𝑥-1)(𝑦-1) + (𝑦-1)2 + (𝑥-1)(𝑦-1)<br>0 ≤(𝑥-1)2 -(𝑥-1)(𝑦-1) + (𝑦-1)2<br>Tę nierówność możemy równoważnie zapisać w postaci<br>0 ≤𝑎2 -𝑎𝑏+ 𝑏2<br>gdzie 𝑎= 𝑥-1 oraz 𝑏= 𝑦-1. Zauważmy teraz, że 𝑎2 -𝑎𝑏+ 𝑏2 = (𝑎-1<br>2 𝑏)<br>2</p>\n<ul><li>3</li></ul>\n<p>4 𝑏2.<br>Ponieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc (𝑎-1<br>2 𝑏)<br>2<br>≥0<br>oraz 3<br>4 𝑏2 ≥0. Zatem suma (𝑎-1<br>2 𝑏)<br>2</p>\n<ul><li>3</li></ul>\n<p>4 𝑏2 jest nieujemna jako suma liczb<br>nieujemnych. To oznacza, że nierówność 0 ≤𝑎2 -𝑎𝑏+ 𝑏2 jest prawdziwa dla każdej<br>liczby rzeczywistej 𝑎 i każdej liczby rzeczywistej 𝑏. Tym samym nierówność<br>𝑥𝑦+ 𝑥+ 𝑦≤𝑥2 + 𝑦2 + 1 jest również prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla<br>każdej liczby rzeczywistej 𝑦. To należało wykazać.</p>","solutions":[]}