{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"9","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-3)\nOdcinek 𝐶𝐷 jest wysokością trójkąta równoramiennego 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|.\nProsta 𝑝 jest prostopadła do boku 𝐵𝐶 i przecina ten bok w punkcie 𝐿. Ta prosta przecina\nwysokość 𝐶𝐷 w punkcie 𝐾 oraz przecina bok 𝐴𝐶 w punkcie różnym od 𝐴.\nWykaż, że |∡𝐶𝐴𝐾| = |∡𝐾𝐷𝐿|.\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\n7.1R) stosuje twierdzenia charakteryzujące\nczworokąty wpisane w okrąg i czworokąty\nopisane na okręgu.\nZasady oceniania (dla sposobu I)\n3 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n2 pkt - zapisanie, że |∡𝐾𝐴𝐶| = |∡𝐾𝐵𝐶| oraz zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na\nczworokącie 𝐷𝐵𝐿𝐾 można opisać okrąg\nALBO\n- zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie 𝐷𝐵𝐿𝐾 można opisać okrąg\noraz zapisanie wraz z uzasadnieniem, że |∡𝐾𝐵𝐿| = |∡𝐾𝐷𝐿|.\n1 pkt - zapisanie, że |∡𝐾𝐴𝐶| = |∡𝐾𝐵𝐶|\nALBO\n- zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie 𝐷𝐵𝐿𝐾 można opisać okrąg.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania (dla sposobu II)\n3 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n2 pkt - zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie 𝑀𝐷𝐿𝐶 można opisać okrąg\noraz zapisanie, że |∡𝐶𝑀𝐿| = |∡𝐶𝐷𝐿|\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nALBO\n- zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie 𝑀𝐴𝐾𝐶 można opisać okrąg\noraz zapisanie, że |∡𝐶𝑀𝐾| = |∡𝐶𝐴𝐾|,\nALBO\n- zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie 𝑀𝐷𝐿𝐶 można opisać okrąg\noraz zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie 𝑀𝐴𝐾𝐶 można opisać\nokrąg.\n1 pkt - zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie 𝑀𝐷𝐿𝐶 można opisać okrąg\nALBO\n- zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie 𝑀𝐴𝐾𝐶 można opisać okrąg.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPonieważ trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest równoramienny i 𝐶𝐷 jest osią symetrii tego trójkąta, więc\n|∡𝐾𝐴𝐶| = |∡𝐾𝐵𝐶| = |∡𝐾𝐵𝐿|.\nPonieważ |∡𝐾𝐷𝐵| = 90° oraz |∡𝐵𝐿𝐾| = 90°, więc na czworokącie 𝐷𝐵𝐿𝐾 można opisać\nokrąg. W tym okręgu kąty wpisane 𝐾𝐷𝐿 i 𝐾𝐵𝐿 są oparte na tym samym łuku, więc mają\nrówne miary. Zatem |∡𝐾𝐴𝐶| = |∡𝐾𝐵𝐿| = |∡𝐾𝐷𝐿|.\nTo należało wykazać.\nSposób II\nNiech 𝑀 będzie punktem przecięcia prostej 𝑝 z prostą 𝐴𝐵. Oznaczmy 𝛼= |∡𝐵𝐶𝐷| oraz\n𝛽= |∡𝐶𝑀𝐿|.\nTrójkąt 𝑀𝐶𝐿 jest prostokątny, więc środek okręgu opisanego na tym trójkącie jest środkiem\nodcinka 𝑀𝐶, a promień tego okręgu jest równy 1\n2 ⋅|𝑀𝐶|. Trójkąt 𝑀𝐷𝐶 jest prostokątny,\nwięc środek okręgu opisanego na tym trójkącie jest środkiem odcinka 𝑀𝐶, a promień tego\nokręgu jest równy 1\n2 ⋅|𝑀𝐶|. Zatem na czworokącie 𝑀𝐷𝐿𝐶 można opisać okrąg. Oznaczmy\nten okrąg przez ℴ1 (zobacz rysunek).\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐾\n𝐿\n𝑝\n𝑀\nℴ1\n𝛼\n𝛽\nKąty 𝐿𝐶𝐷 oraz 𝐿𝑀𝐷 są wpisane w okrąg ℴ1 i oparte na tym samym łuku 𝐿𝐷, więc\n|∡𝐿𝐶𝐷| = |∡𝐿𝑀𝐷| = 𝛼. Ponieważ trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest równoramienny, więc\n|∡𝐾𝐶𝐴| = |∡𝐷𝐶𝐴| = 𝛼. Zatem |∡𝐾𝐶𝐴| = |∡𝐿𝑀𝐷| = |∡𝐾𝑀𝐴|, a ponieważ punkty 𝐶 oraz\n𝑀 są po tej samej stronie prostej 𝐴𝐾, więc na czworokącie 𝑀𝐴𝐾𝐶 można opisać okrąg.\nOznaczmy ten okrąg przez ℴ2 (zobacz rysunek).\nKąty wpisane 𝐾𝑀𝐶 oraz 𝐾𝐴𝐶 są oparte na tym samym łuku 𝐶𝐾 okręgu ℴ2, więc\n|∡𝐾𝐴𝐶| = |∡𝐾𝑀𝐶| i wobec |∡𝐾𝑀𝐶| = |∡𝐿𝑀𝐶| mamy |∡𝐾𝐴𝐶| = 𝛽.\nKąty wpisane 𝐶𝐷𝐿 oraz 𝐿𝑀𝐶 są oparte na tym samym łuku 𝐶𝐿 okręgu ℴ1, więc\n|∡𝐶𝐷𝐿| = |∡𝐿𝑀𝐶| = 𝛽. Zatem |∡𝐾𝐴𝐶| = 𝛽= |∡𝐶𝐷𝐿| = |∡𝐾𝐷𝐿|.\nTo należało wykazać.","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 9. (0-3)<br>Odcinek 𝐶𝐷 jest wysokością trójkąta równoramiennego 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|.<br>Prosta 𝑝 jest prostopadła do boku 𝐵𝐶 i przecina ten bok w punkcie 𝐿. Ta prosta przecina<br>wysokość 𝐶𝐷 w punkcie 𝐾 oraz przecina bok 𝐴𝐶 w punkcie różnym od 𝐴.<br>Wykaż, że |∡𝐶𝐴𝐾| = |∡𝐾𝐷𝐿|.</p>\n<p>EMAP-R0_100</p>\n<p>EMAP-R0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 9. (0-3)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>V. Rozumowanie i argumentacja.<br>Zdający:<br>7.1R) stosuje twierdzenia charakteryzujące<br>czworokąty wpisane w okrąg i czworokąty<br>opisane na okręgu.<br>Zasady oceniania (dla sposobu I)<br>3 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.<br>2 pkt - zapisanie, że |∡𝐾𝐴𝐶| = |∡𝐾𝐵𝐶| oraz zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na<br>czworokącie 𝐷𝐵𝐿𝐾 można opisać okrąg<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie 𝐷𝐵𝐿𝐾 można opisać okrąg</li></ul>\n<p>oraz zapisanie wraz z uzasadnieniem, że |∡𝐾𝐵𝐿| = |∡𝐾𝐷𝐿|.<br>1 pkt - zapisanie, że |∡𝐾𝐴𝐶| = |∡𝐾𝐵𝐶|<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie 𝐷𝐵𝐿𝐾 można opisać okrąg.</li></ul>\n<p>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Zasady oceniania (dla sposobu II)<br>3 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.<br>2 pkt - zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie 𝑀𝐷𝐿𝐶 można opisać okrąg<br>oraz zapisanie, że |∡𝐶𝑀𝐿| = |∡𝐶𝐷𝐿|<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie 𝑀𝐴𝐾𝐶 można opisać okrąg</li></ul>\n<p>oraz zapisanie, że |∡𝐶𝑀𝐾| = |∡𝐶𝐴𝐾|,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie 𝑀𝐷𝐿𝐶 można opisać okrąg</li></ul>\n<p>oraz zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie 𝑀𝐴𝐾𝐶 można opisać<br>okrąg.<br>1 pkt - zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie 𝑀𝐷𝐿𝐶 można opisać okrąg<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie 𝑀𝐴𝐾𝐶 można opisać okrąg.</li></ul>\n<p>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Ponieważ trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest równoramienny i 𝐶𝐷 jest osią symetrii tego trójkąta, więc<br>|∡𝐾𝐴𝐶| = |∡𝐾𝐵𝐶| = |∡𝐾𝐵𝐿|.<br>Ponieważ |∡𝐾𝐷𝐵| = 90° oraz |∡𝐵𝐿𝐾| = 90°, więc na czworokącie 𝐷𝐵𝐿𝐾 można opisać<br>okrąg. W tym okręgu kąty wpisane 𝐾𝐷𝐿 i 𝐾𝐵𝐿 są oparte na tym samym łuku, więc mają<br>równe miary. Zatem |∡𝐾𝐴𝐶| = |∡𝐾𝐵𝐿| = |∡𝐾𝐷𝐿|.<br>To należało wykazać.<br>Sposób II<br>Niech 𝑀 będzie punktem przecięcia prostej 𝑝 z prostą 𝐴𝐵. Oznaczmy 𝛼= |∡𝐵𝐶𝐷| oraz<br>𝛽= |∡𝐶𝑀𝐿|.<br>Trójkąt 𝑀𝐶𝐿 jest prostokątny, więc środek okręgu opisanego na tym trójkącie jest środkiem<br>odcinka 𝑀𝐶, a promień tego okręgu jest równy 1<br>2 ⋅|𝑀𝐶|. Trójkąt 𝑀𝐷𝐶 jest prostokątny,<br>więc środek okręgu opisanego na tym trójkącie jest środkiem odcinka 𝑀𝐶, a promień tego<br>okręgu jest równy 1<br>2 ⋅|𝑀𝐶|. Zatem na czworokącie 𝑀𝐷𝐿𝐶 można opisać okrąg. Oznaczmy<br>ten okrąg przez ℴ1 (zobacz rysunek).<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>𝐷<br>𝐾<br>𝐿<br>𝑝<br>𝑀<br>ℴ1<br>𝛼<br>𝛽<br>Kąty 𝐿𝐶𝐷 oraz 𝐿𝑀𝐷 są wpisane w okrąg ℴ1 i oparte na tym samym łuku 𝐿𝐷, więc<br>|∡𝐿𝐶𝐷| = |∡𝐿𝑀𝐷| = 𝛼. Ponieważ trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest równoramienny, więc<br>|∡𝐾𝐶𝐴| = |∡𝐷𝐶𝐴| = 𝛼. Zatem |∡𝐾𝐶𝐴| = |∡𝐿𝑀𝐷| = |∡𝐾𝑀𝐴|, a ponieważ punkty 𝐶 oraz<br>𝑀 są po tej samej stronie prostej 𝐴𝐾, więc na czworokącie 𝑀𝐴𝐾𝐶 można opisać okrąg.<br>Oznaczmy ten okrąg przez ℴ2 (zobacz rysunek).<br>Kąty wpisane 𝐾𝑀𝐶 oraz 𝐾𝐴𝐶 są oparte na tym samym łuku 𝐶𝐾 okręgu ℴ2, więc<br>|∡𝐾𝐴𝐶| = |∡𝐾𝑀𝐶| i wobec |∡𝐾𝑀𝐶| = |∡𝐿𝑀𝐶| mamy |∡𝐾𝐴𝐶| = 𝛽.<br>Kąty wpisane 𝐶𝐷𝐿 oraz 𝐿𝑀𝐶 są oparte na tym samym łuku 𝐶𝐿 okręgu ℴ1, więc<br>|∡𝐶𝐷𝐿| = |∡𝐿𝑀𝐶| = 𝛽. Zatem |∡𝐾𝐴𝐶| = 𝛽= |∡𝐶𝐷𝐿| = |∡𝐾𝐷𝐿|.<br>To należało wykazać.</p>","solutions":[]}