{"id":"matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad/15","paper_id":"matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty","number":"15","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 15. (0-2)","answer":null,"answer_text":"Zadanie 15. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie modelu matematycznego\ndo prostej sytuacji oraz budowanie go\nw różnych kontekstach, także\nw kontekście praktycznym.\nKLASY IV-VI\nXIV. Zadania tekstowe. Uczeń:\n5) do rozwiązywania zadań osadzonych\nw kontekście praktycznym stosuje poznaną\nwiedzę z zakresu arytmetyki […] oraz nabyte\numiejętności rachunkowe, a także własne\npoprawne metody.\nKLASY VII i VIII\nVI. Równania z jedną niewiadomą. Uczeń:\n4) rozwiązuje zadania tekstowe za pomocą\nrównań pierwszego stopnia z jedną\nniewiadomą […].\nZasady oceniania\n2 punkty - pełne rozwiązanie\n• poprawny sposób obliczenia liczby kartek niebieskich przygotowanych przez Elę,\nprawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik liczbowy (57)\nLUB\n• zastosowanie metody prób i błędów - sprawdzenie wszystkich warunków zadania dla\nco najmniej dwóch różnych zestawów liczb kartek poszczególnych kolorów (czerwone,\nniebieskie, zielone, białe), wśród których jest prawidłowa liczba kartek niebieskich,\nprawidłowe obliczenia oraz wskazanie spośród nich prawidłowego wyniku liczbowego (57).\n1 punkt\n• zapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą prowadzącego do obliczenia liczby\nkartek w jednym spośród trzech kolorów: czerwonym albo niebieskim, albo zielonym, np.\n𝑥+ 1,5𝑥+ (𝑥-10) + 37 = 160, gdzie 𝑥 oznacza liczbę kartek czerwonych\nalbo\n𝑛+ 𝑛∶1,5 + (𝑛∶1,5 -10) + 37 = 160, gdzie 𝑛 oznacza liczbę kartek niebieskich,\nalbo\n𝑧+ (𝑧+ 10) + 1,5 ⋅(𝑧+ 10) + 37 = 160, gdzie 𝑧 oznacza liczbę kartek zielonych\n(lub zapisy równoważne)\nLUB\n• zapisanie poprawnego wyrażenia arytmetycznego prowadzącego do obliczenia liczby\nkartek czerwonych, np.\n(160 -37 + 10) ∶3,5,\nLUB\n• zastosowanie metody prób i błędów - sprawdzenie wszystkich warunków zadania dla\nco najmniej dwóch różnych zestawów liczb kartek poszczególnych kolorów (czerwone,\nniebieskie, zielone, białe), wśród których nie ma prawidłowej liczby kartek niebieskich,\nLUB\n• zastosowanie metody prób i błędów - sprawdzenie wszystkich warunków zadania dla\nco najmniej dwóch różnych zestawów liczb kartek poszczególnych kolorów (czerwone,\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nniebieskie, zielone, białe), wśród których jest prawidłowa liczba kartek niebieskich\nbez wskazania prawidłowego wyniku liczbowego.\n0 punktów\nrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.\nUwaga\nJeżeli uczeń sprawdza wszystkie warunki zadania tylko dla jednego zestawu liczb kartek\nposzczególnych kolorów: czerwone 38, niebieskie 57, zielone 28, białe 37, i nie popełnia\nbłędów rachunkowych, to otrzymuje 1 punkt.\nPrzykładowe rozwiązania ocenione na 2 punkty\nI sposób\nKartek w czterech kolorach było razem 160.\nKartek białych było 37.\nLiczbę kartek czerwonych oznaczymy jako 𝑥.\nZapiszemy wyrażenia algebraiczne opisujące liczby kartek niebieskich i zielonych:\n1,5𝑥 - liczba kartek niebieskich\n𝑥-10 - liczba kartek zielonych\nObliczymy liczbę kartek czerwonych.\nZapiszemy i rozwiążemy równanie spełniające wszystkie warunki zadania:\n𝑥+ 1,5𝑥+ (𝑥-10) + 37 = 160\n3,5𝑥= 160 -37 + 10\n3,5𝑥= 133\n𝑥= 38\nObliczymy liczbę kartek niebieskich:\n1,5 ⋅38 = 57\nOdpowiedź: Ela przygotowała 57 kartek niebieskich.\nII sposób\nKartek w czterech kolorach było razem 160.\nKartek białych było 37.\nLiczbę kartek niebieskich oznaczymy jako 𝑛.\nZapiszemy wyrażenia algebraiczne opisujące liczby kartek czerwonych i zielonych:\n𝑛∶1,5 - liczba kartek czerwonych\n𝑛∶1,5 -10 - liczba kartek zielonych\nObliczymy liczbę kartek niebieskich.\nZapiszemy i rozwiążemy równanie spełniające wszystkie warunki zadania:\n𝑛+ 𝑛∶1,5 + (𝑛∶1,5 -10) + 37 = 160\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2026 r.\n𝑛+ 2\n3 𝑛+ 2\n3 𝑛-10 = 160 -37\n7\n3 𝑛= 133\n𝑛= 57\nOdpowiedź: Ela przygotowała 57 kartek niebieskich.\nIII sposób\nKartek w czterech kolorach było razem 160.\nKartek białych było 37.\nLiczbę kartek zielonych oznaczymy jako 𝑧.\nZapiszemy wyrażenia algebraiczne opisujące liczby kartek czerwonych i niebieskich:\n𝑧+ 10 - liczba kartek czerwonych\n1,5 ⋅(𝑧+ 10) - liczba kartek niebieskich\nObliczymy liczbę kartek zielonych.\nZapiszemy i rozwiążemy równanie spełniające wszystkie warunki zadania:\n𝑧+ (𝑧+ 10) + 1,5 ⋅(𝑧+ 10) + 37 = 160\n𝑧+ 𝑧+ 10 + 1,5𝑧+ 15 + 37 = 160\n3,5𝑧= 98\n𝑧= 28\nObliczymy liczbę kartek niebieskich:\n1,5 ⋅(28 + 10) = 57\nOdpowiedź: Ela przygotowała 57 kartek niebieskich.\nIV sposób\nKartek w czterech kolorach było razem 160.\nKartek białych było 37.\nZilustrujemy graficznie zależności między liczbami kartek w trzech kolorach:\nczerwone:\nniebieskie:\nzielone:\nObliczymy liczbę kartek czerwonych:\n(160 -37 + 10) ∶3,5 = 38\nObliczymy liczbę kartek niebieskich:\n1,5 ⋅38 = 57\nOdpowiedź: Ela przygotowała 57 kartek niebieskich.\n- 10\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nV sposób\nMetoda prób i błędów:\nLiczba kartek z uwzględnieniem warunków zadania\nLiczba wszystkich kartek\nczerwonych\nniebieskich 1,5\nrazy więcej niż\nczerwonych\nzielonych o 10\nmniej niż\nczerwonych\nbiałych\nsuma\nsprawdzenie\n30\n45\n20\n37\n132\n132 ≠160\n40\n60\n30\n37\n167\n167 ≠160\n𝟑𝟖\n𝟓𝟕\n𝟐𝟖\n𝟑𝟕\n𝟏𝟔𝟎\n𝟏𝟔𝟎= 𝟏𝟔𝟎\nOdpowiedź: Ela przygotowała 57 kartek niebieskich.","solution":"Niech x oznacza liczbę kartek czerwonych.\n\nWtedy kartek niebieskich jest 1 , 5x , a zielonych x-10 . Układamy równanie:\n\n37+x+1 , 5x+(x-10)=160\n\n3 , 5x+27=160\n\n3 , 5x=133 x=38\n\nLiczba kartek niebieskich:\n\n1 , 5·38=57\n\nOdpowiedź: Ela przygotowała 57 kartek niebieskich.","image":"img/matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":"Równania","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty","text_html":"<p>Zadanie 15. (0-2)</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 15. (0-2)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Dobieranie modelu matematycznego</li></ol>\n<p>do prostej sytuacji oraz budowanie go<br>w różnych kontekstach, także<br>w kontekście praktycznym.<br>KLASY IV-VI<br>XIV. Zadania tekstowe. Uczeń:</p>\n<ol><li>do rozwiązywania zadań osadzonych</li></ol>\n<p>w kontekście praktycznym stosuje poznaną<br>wiedzę z zakresu arytmetyki […] oraz nabyte<br>umiejętności rachunkowe, a także własne<br>poprawne metody.<br>KLASY VII i VIII<br>VI. Równania z jedną niewiadomą. Uczeń:</p>\n<ol><li>rozwiązuje zadania tekstowe za pomocą</li></ol>\n<p>równań pierwszego stopnia z jedną<br>niewiadomą […].<br>Zasady oceniania<br>2 punkty - pełne rozwiązanie<br>• poprawny sposób obliczenia liczby kartek niebieskich przygotowanych przez Elę,<br>prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik liczbowy (57)<br>LUB<br>• zastosowanie metody prób i błędów - sprawdzenie wszystkich warunków zadania dla<br>co najmniej dwóch różnych zestawów liczb kartek poszczególnych kolorów (czerwone,<br>niebieskie, zielone, białe), wśród których jest prawidłowa liczba kartek niebieskich,<br>prawidłowe obliczenia oraz wskazanie spośród nich prawidłowego wyniku liczbowego (57).<br>1 punkt<br>• zapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą prowadzącego do obliczenia liczby<br>kartek w jednym spośród trzech kolorów: czerwonym albo niebieskim, albo zielonym, np.<br>𝑥+ 1,5𝑥+ (𝑥-10) + 37 = 160, gdzie 𝑥 oznacza liczbę kartek czerwonych<br>albo<br>𝑛+ 𝑛∶1,5 + (𝑛∶1,5 -10) + 37 = 160, gdzie 𝑛 oznacza liczbę kartek niebieskich,<br>albo<br>𝑧+ (𝑧+ 10) + 1,5 ⋅(𝑧+ 10) + 37 = 160, gdzie 𝑧 oznacza liczbę kartek zielonych<br>(lub zapisy równoważne)<br>LUB<br>• zapisanie poprawnego wyrażenia arytmetycznego prowadzącego do obliczenia liczby<br>kartek czerwonych, np.<br>(160 -37 + 10) ∶3,5,<br>LUB<br>• zastosowanie metody prób i błędów - sprawdzenie wszystkich warunków zadania dla<br>co najmniej dwóch różnych zestawów liczb kartek poszczególnych kolorów (czerwone,<br>niebieskie, zielone, białe), wśród których nie ma prawidłowej liczby kartek niebieskich,<br>LUB<br>• zastosowanie metody prób i błędów - sprawdzenie wszystkich warunków zadania dla<br>co najmniej dwóch różnych zestawów liczb kartek poszczególnych kolorów (czerwone,<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>niebieskie, zielone, białe), wśród których jest prawidłowa liczba kartek niebieskich<br>bez wskazania prawidłowego wyniku liczbowego.<br>0 punktów<br>rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.<br>Uwaga<br>Jeżeli uczeń sprawdza wszystkie warunki zadania tylko dla jednego zestawu liczb kartek<br>poszczególnych kolorów: czerwone 38, niebieskie 57, zielone 28, białe 37, i nie popełnia<br>błędów rachunkowych, to otrzymuje 1 punkt.<br>Przykładowe rozwiązania ocenione na 2 punkty<br>I sposób<br>Kartek w czterech kolorach było razem 160.<br>Kartek białych było 37.<br>Liczbę kartek czerwonych oznaczymy jako 𝑥.<br>Zapiszemy wyrażenia algebraiczne opisujące liczby kartek niebieskich i zielonych:<br>1,5𝑥 - liczba kartek niebieskich<br>𝑥-10 - liczba kartek zielonych<br>Obliczymy liczbę kartek czerwonych.<br>Zapiszemy i rozwiążemy równanie spełniające wszystkie warunki zadania:<br>𝑥+ 1,5𝑥+ (𝑥-10) + 37 = 160<br>3,5𝑥= 160 -37 + 10<br>3,5𝑥= 133<br>𝑥= 38<br>Obliczymy liczbę kartek niebieskich:<br>1,5 ⋅38 = 57<br>Odpowiedź: Ela przygotowała 57 kartek niebieskich.<br>II sposób<br>Kartek w czterech kolorach było razem 160.<br>Kartek białych było 37.<br>Liczbę kartek niebieskich oznaczymy jako 𝑛.<br>Zapiszemy wyrażenia algebraiczne opisujące liczby kartek czerwonych i zielonych:<br>𝑛∶1,5 - liczba kartek czerwonych<br>𝑛∶1,5 -10 - liczba kartek zielonych<br>Obliczymy liczbę kartek niebieskich.<br>Zapiszemy i rozwiążemy równanie spełniające wszystkie warunki zadania:<br>𝑛+ 𝑛∶1,5 + (𝑛∶1,5 -10) + 37 = 160<br>Egzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2026 r.<br>𝑛+ 2<br>3 𝑛+ 2<br>3 𝑛-10 = 160 -37<br>7<br>3 𝑛= 133<br>𝑛= 57<br>Odpowiedź: Ela przygotowała 57 kartek niebieskich.<br>III sposób<br>Kartek w czterech kolorach było razem 160.<br>Kartek białych było 37.<br>Liczbę kartek zielonych oznaczymy jako 𝑧.<br>Zapiszemy wyrażenia algebraiczne opisujące liczby kartek czerwonych i niebieskich:<br>𝑧+ 10 - liczba kartek czerwonych<br>1,5 ⋅(𝑧+ 10) - liczba kartek niebieskich<br>Obliczymy liczbę kartek zielonych.<br>Zapiszemy i rozwiążemy równanie spełniające wszystkie warunki zadania:<br>𝑧+ (𝑧+ 10) + 1,5 ⋅(𝑧+ 10) + 37 = 160<br>𝑧+ 𝑧+ 10 + 1,5𝑧+ 15 + 37 = 160<br>3,5𝑧= 98<br>𝑧= 28<br>Obliczymy liczbę kartek niebieskich:<br>1,5 ⋅(28 + 10) = 57<br>Odpowiedź: Ela przygotowała 57 kartek niebieskich.<br>IV sposób<br>Kartek w czterech kolorach było razem 160.<br>Kartek białych było 37.<br>Zilustrujemy graficznie zależności między liczbami kartek w trzech kolorach:<br>czerwone:<br>niebieskie:<br>zielone:<br>Obliczymy liczbę kartek czerwonych:<br>(160 -37 + 10) ∶3,5 = 38<br>Obliczymy liczbę kartek niebieskich:<br>1,5 ⋅38 = 57<br>Odpowiedź: Ela przygotowała 57 kartek niebieskich.</p>\n<ul><li>10</li></ul>\n<p>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>V sposób<br>Metoda prób i błędów:<br>Liczba kartek z uwzględnieniem warunków zadania<br>Liczba wszystkich kartek<br>czerwonych<br>niebieskich 1,5<br>razy więcej niż<br>czerwonych<br>zielonych o 10<br>mniej niż<br>czerwonych<br>białych<br>suma<br>sprawdzenie<br>30<br>45<br>20<br>37<br>132<br>132 ≠160<br>40<br>60<br>30<br>37<br>167<br>167 ≠160<br>𝟑𝟖<br>𝟓𝟕<br>𝟐𝟖<br>𝟑𝟕<br>𝟏𝟔𝟎<br>𝟏𝟔𝟎= 𝟏𝟔𝟎<br>Odpowiedź: Ela przygotowała 57 kartek niebieskich.</p>","solutions":[{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Niech x oznacza liczbę kartek czerwonych.</p>\n<p>Wtedy kartek niebieskich jest 1 , 5x , a zielonych x-10 . Układamy równanie:</p>\n<p>37+x+1 , 5x+(x-10)=160</p>\n<p>3 , 5x+27=160</p>\n<p>3 , 5x=133 x=38</p>\n<p>Liczba kartek niebieskich:</p>\n<p>1 , 5·38=57</p>\n<p>Odpowiedź: Ela przygotowała 57 kartek niebieskich.</p>"}]}