Zadanie 18. (0-2)
","answer_text_html":"Zadanie 18. (0-2)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.
z treści zadania, tworzenie strategii
rozwiązania problemu, również
w rozwiązaniach wieloetapowych oraz
w takich, które wymagają umiejętności
łączenia wiedzy z różnych działów
matematyki.
KLASY VII i VIII
XI. Geometria przestrzenna. Uczeń:
prostych, prawidłowych i takich, które nie są
prawidłowe […];
prawidłowych, i takich które nie są prawidłowe
[…].
III. Tworzenie wyrażeń algebraicznych z jedną
i wieloma zmiennymi. Uczeń:
w zadaniach w postaci wyrażeń
algebraicznych jednej lub kilku zmiennych.
Zasady oceniania
2 punkty - pełne rozwiązanie
poprawny sposób obliczenia objętości ostrosłupa, prawidłowe obliczenia oraz poprawne
ustalenie, że objętość ostrosłupa jest 12 razy mniejsza od objętości sześcianu.
1 punkt
• zapisanie poprawnego wyrażenia jednej zmiennej opisującego objętość ostrosłupa 𝐴𝐶𝐷𝑆
w zależności od długości krawędzi sześcianu, np.
𝑉𝐴𝐶𝐷𝑆= 1
3 ⋅1
2 ⋅𝑎⋅𝑎⋅1
2 ⋅𝑎 (lub zapisy równoważne)
LUB
• zapisanie poprawnego wzoru na objętość sześcianu 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 oraz zapisanie
poprawnego wzoru na objętość ostrosłupa 𝐴𝐶𝐷𝑆 z uwzględnieniem zależności między
polami podstaw a wysokościami tych brył, np. zapisanie
𝑉𝑠= 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷⋅|𝐷𝐻| oraz 𝑉𝑜= 1
3 ⋅1
2 ⋅𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷⋅1
2 ⋅|𝐷𝐻| (lub zapisy równoważne).
0 punktów
rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.
Uwaga
Jeśli uczeń do rozwiązania zadania wykonuje obliczenia wyłącznie na konkretnych liczbach,
to otrzymuje 0 punktów.
Przykładowe rozwiązania ocenione na 2 punkty
I sposób
Zapiszemy wzór na objętość sześcianu 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻:
𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻= 𝑎3
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Zauważymy, że pole trójkąta 𝐴𝐶𝐷, który jest podstawą ostrosłupa 𝐴𝐶𝐷𝑆, stanowi połowę
pola kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷:
𝑃𝐴𝐶𝐷= 1
2 ⋅𝑎⋅𝑎
Ustalimy długość odcinka 𝐷𝑆, który jest wysokością ostrosłupa 𝐴𝐶𝐷𝑆:
|𝐷𝑆| = 1
2 ⋅𝑎
Zapiszemy wzór na objętość ostrosłupa 𝐴𝐶𝐷𝑆:
𝑉𝐴𝐶𝐷𝑆= 1
3 ⋅𝑃𝐴𝐶𝐷⋅|𝐷𝑆|
𝑉𝐴𝐶𝐷𝑆= 1
3 ⋅1
2 ⋅𝑎⋅𝑎⋅1
2 ⋅𝑎= 1
12 ⋅𝑎3
Zatem:
𝑉𝐴𝐶𝐷𝑆= 1
12 ⋅𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻
Odpowiedź: Objętość ostrosłupa 𝐴𝐶𝐷𝑆 jest 12 razy mniejsza od objętości
sześcianu 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻.
II sposób
Zapiszemy wzór na objętość sześcianu 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻:
𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻= 𝑎3
Ustalimy długość odcinka 𝐷𝑆:
|𝐷𝑆| = 1
2 ⋅𝑎
Zauważymy, że krawędź 𝐴𝐷 jest wysokością ostrosłupa 𝐴𝐶𝐷𝑆 oraz trójkąt 𝑆𝐷𝐶 jest
podstawą tego ostrosłupa. Obliczymy pole trójkąta 𝑆𝐷𝐶:
𝑃𝑆𝐷𝐶= 1
2 ⋅|𝐷𝑆| ⋅𝑎
𝑃𝑆𝐷𝐶= 1
2 ⋅1
2 ⋅𝑎⋅𝑎= 1
4 𝑎2
Zapiszemy wzór na objętość ostrosłupa 𝐴𝐶𝐷𝑆:
𝑉𝐴𝐶𝐷𝑆= 1
3 ⋅𝑃𝑆𝐷𝐶⋅|𝐴𝐷|
𝑉𝐴𝐶𝐷𝑆= 1
3 ⋅1
4 ⋅𝑎2 ⋅𝑎= 1
12 ⋅𝑎3
Zatem:
𝑉𝐴𝐶𝐷𝑆= 1
12 ⋅𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻
Odpowiedź: Objętość ostrosłupa 𝐴𝐶𝐷𝑆 jest 12 razy mniejsza od objętości
sześcianu 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻.
Egzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2026 r.
III sposób
Zauważymy, że pole trójkąta 𝐴𝐶𝐷, który jest podstawą ostrosłupa 𝐴𝐶𝐷𝑆, stanowi połowę
pola kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷, który jest podstawą sześcianu 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻.
Ponadto, wysokość 𝐷𝑆 ostrosłupa 𝐴𝐶𝐷𝑆 stanowi połowę długości krawędzi 𝐷𝐻
sześcianu 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻.
Skorzystamy ze wzoru na objętość ostrosłupa i zapiszemy:
𝑉𝐴𝐶𝐷𝑆= 1
3 ⋅𝑃𝐴𝐶𝐷⋅|𝐷𝑆| = 1
3 ⋅1
2 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷⋅1
2 |𝐷𝐻| = 1
12 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷⋅|𝐷𝐻| = 1
12 𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻
Odpowiedź: Objętość ostrosłupa 𝐴𝐶𝐷𝑆 jest 12 razy mniejsza od objętości
sześcianu 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻.
Podstawą ostrosłupa ACDS może być trójkąt ACD . Jest to połowa kwadratu o boku a , więc:
\nP_ACD=(a^2)/(2)
\nPunkt S jest środkiem pionowej krawędzi DH , zatem wysokość ostrosłupa opuszczona na płaszczyznę podstawy wynosi:
\nh=(a)/(2)
\nObjętość ostrosłupa:
\nV_o=(1)/(3)·(a^2)/(2)·(a)/(2)=(a^3)/(12)
\nObjętość sześcianu:
\nV_s=a^3
\nPorównujemy objętości:
\n(V_s)/(V_o)=(a^3)/(a^3/12)=12
\nOdpowiedź: objętość ostrosłupa jest 12 razy mniejsza.
"}]}