{"id":"matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad/20","paper_id":"matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty","number":"20","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 20. (0-3)\nZADANIE 15. ZNAJDUJE SIĘ NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ OTWARTYCH.\nWYKONAJ TO ZADANIE W WYZNACZONYM MIEJSCU NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ\nOTWARTYCH.\nZADANIE 16. ZNAJDUJE SIĘ NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ OTWARTYCH.\nWYKONAJ TO ZADANIE W WYZNACZONYM MIEJSCU NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ\nOTWARTYCH.\nZADANIE 17. ZNAJDUJE SIĘ NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ OTWARTYCH.\nWYKONAJ TO ZADANIE W WYZNACZONYM MIEJSCU NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ\nOTWARTYCH.\nZADANIE 18. ZNAJDUJE SIĘ NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ OTWARTYCH.\nWYKONAJ TO ZADANIE W WYZNACZONYM MIEJSCU NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ\nOTWARTYCH.\nZADANIE 19. ZNAJDUJE SIĘ NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ OTWARTYCH.\nWYKONAJ TO ZADANIE W WYZNACZONYM MIEJSCU NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ\nOTWARTYCH.\nZADANIE 20. ZNAJDUJE SIĘ NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ OTWARTYCH.\nWYKONAJ TO ZADANIE W WYZNACZONYM MIEJSCU NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ\nOTWARTYCH.\nOMAP-100-2605\nBrudnopis (nie podlega ocenie)\nMATEMATYKA\nEgzamin ósmoklasisty\nMATEMATYKA\nEgzamin ósmoklasisty\nMATEMATYKA\nEgzamin ósmoklasisty\nOMAP-100-2605\nKARTA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ OTWARTYCH 15-20\nWYPEŁNIA UCZEŃ\nMiejsce na naklejkę.\nSprawdź, czy kod na naklejce to\nJeżeli tak - przyklej naklejkę.\nJeżeli nie - zgłoś to nauczycielowi.\nO-100\nOMA 100\n6 5\nP-\n-2 0\nKOD UCZNIA\nPESEL\nMATEMATYKA\nOMAP-100-2605\nZadanie 15. (0-2)\nDo wykonania origami Ela przygotowała łącznie 160 kartek. Każda z tych kartek była\nw jednym z czterech kolorów: białym, niebieskim, zielonym lub czerwonym. Kartek białych\nbyło 37. Kartek niebieskich było 1,5 raza więcej niż czerwonych, a kartek zielonych było\no 10 mniej niż czerwonych.\nOblicz, ile kartek niebieskich przygotowała Ela. Zapisz obliczenia.\nOMAP-100-2605\nKOD UCZNIA\nPESEL\nMiejsce na naklejkę.\nSprawdź, czy kod na naklejce to\nJeżeli tak - przyklej naklejkę.\nJeżeli nie - zgłoś to nauczycielowi.\nO-100\nWYPEŁNIA UCZEŃ\nZadanie 16. (0-3)\nZ Polanki do Dębiny prowadzi jedna droga przez Jodłowo i ma długość 123 km.\nDroga z Polanki do Jodłowa ma długość 48 km i samochód przejechał ją w czasie 40 minut.\nDrogę z Jodłowa do Dębiny ten samochód pokonał z taką samą prędkością, jak drogę\nz Polanki do Jodłowa.\nUzasadnij, że przejazd tego samochodu z Jodłowa do Dębiny trwał dłużej niż godzinę.\nZapisz obliczenia.\nOMAP-100-2605\nZadanie 17. (0-3)\nPodczas Dnia Sportu w pewnej szkole rozegrano trzy turnieje sportowe. Każde dziecko, które\nbyło uczestnikiem tego Dnia Sportu, wzięło udział w dokładnie jednym turnieju sportowym.\nW tabeli podano informacje dotyczące liczby dzieci biorących udział w poszczególnych turniejach.\nŁączna liczba dziewcząt była o 8 większa od łącznej liczby chłopców uczestniczących\nw tym Dniu Sportu.\nOblicz, ile procent liczby wszystkich uczestników Dnia Sportu stanowi liczba dzieci,\nktóre brały udział w turnieju tenisa stołowego. Zapisz obliczenia.\nTurniej piłki nożnej\nTurniej tańca\nTurniej tenisa\nstołowego\nLiczba dziewcząt\n15\n65\n?\nLiczba chłopców\n46\n16\n34\nOMAP-100-2605\nWYPEŁNIA UCZEŃ\nKOD UCZNIA\nPESEL\nMiejsce na naklejkę.\nSprawdź, czy kod na naklejce to\nJeżeli tak - przyklej naklejkę.\nJeżeli nie - zgłoś to nauczycielowi.\nO-100\nZadanie 18. (0-2)\nDany jest sześcian 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 o krawędzi długości 𝑎. Punkt 𝑆 jest środkiem krawędzi 𝐷𝐻\ntego sześcianu. Punkty 𝐴, 𝐶, 𝐷, 𝑆 są wierzchołkami ostrosłupa trójkątnego (zobacz rysunek).\nOblicz, ile razy objętość ostrosłupa 𝑨𝑪𝑫𝑺 jest mniejsza od objętości\nsześcianu 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑬𝑭𝑮𝑯. Zapisz obliczenia.\n𝐵\n𝐴\n𝐶\n𝐷\n𝐹\n𝐸\n𝐺\n𝑆\n𝐻\nOMAP-100-2605\nZadanie 19. (0-3)\nOgródek pani Anny ma kształt trapezu, którego podstawy mają długości 18 m i 12 m,\na wysokość jest równa 9 m. Pani Anna chce zmienić swój ogródek w łąkę kwietną.\nJedno opakowanie z nasionami wybrane przez panią Annę wystarcza na obsianie 25 m2\npowierzchni i kosztuje 23,80 zł.\nOblicz, ile złotych musi zapłacić pani Anna za najmniejszą liczbę opakowań z nasionami\npotrzebnych na obsianie całej powierzchni tego ogródka. Zapisz obliczenia.\nOMAP-100-2605\nWYPEŁNIA UCZEŃ\nMiejsce na naklejkę.\nSprawdź, czy kod na naklejce to\nJeżeli tak - przyklej naklejkę.\nJeżeli nie - zgłoś to nauczycielowi.\nO-100\nKOD UCZNIA\nPESEL\nZadanie 20. (0-3)\n𝐵\n𝐶\n𝐴\n𝐷\n𝐿\n𝑀\n𝐾\n𝑁\nRysunek 1.\nRysunek 2.\nZ kartonu wycięto prostokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wymiarach 3 i 9 (zobacz rysunek 1.). Następnie ten\nprostokąt rozcięto na dwie figury: trapez prostokątny oraz trójkąt prostokątny równoramienny.\nZ tych figur złożono równoległobok 𝐾𝐿𝑀𝑁, który nie jest prostokątem (zobacz rysunek 2.).\nOblicz obwód równoległoboku 𝑲𝑳𝑴𝑵. Zapisz obliczenia.\nOMAP-100-2605\nBrudnopis (nie podlega ocenie)","answer":"18+6√(2)","answer_text":"Zadanie 20. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n3. Używanie języka matematycznego do\nopisu rozumowania i uzyskanych\nwyników.\nKLASY IV-VI\nXI. Obliczenia w geometrii. Uczeń:\n2) oblicza obwód wielokąta o danych\ndługościach boków.\nKLASY VII i VIII\nII. Pierwiastki. Uczeń:\n4) oblicza pierwiastek z iloczynu i ilorazu\ndwóch liczb, wyłącza liczbę przed znak\npierwiastka […].\nVIII. Własności figur geometrycznych na\npłaszczyźnie. Uczeń:\n7) zna i stosuje w sytuacjach praktycznych\ntwierdzenie Pitagorasa (bez twierdzenia\nodwrotnego).\nZasady oceniania\n3 punkty - pełne rozwiązanie\npoprawny sposób obliczenia obwodu równoległoboku 𝐾𝐿𝑀𝑁, prawidłowe obliczenia oraz\nprawidłowy wynik liczbowy (18 + 2√18 lub 18 + 6√2).\n2 punkty\npoprawny sposób obliczenia obwodu równoległoboku 𝐾𝐿𝑀𝑁.\n1 punkt\n• poprawny sposób obliczenia długości przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego\nrównoramiennego o przyprostokątnej długości 3 z wykorzystaniem twierdzenia\nPitagorasa, np. zapisanie\n𝑐2 = 32 + 32, gdzie 𝑐 jest długością przeciwprostokątnej tego trójkąta\nLUB\n• ustalenie długości przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego równoramiennego\no przyprostokątnej długości 3 bez przedstawienia sposobu jej obliczenia (3√2),\nnp. zapisanie na rysunku.\n0 punktów\nrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.\nUwagi\n1. Nie akceptuje się rozwiązań zadania opartych na pomiarze, np. linijką.\n2. Jeżeli uczeń rozwiązuje zadanie bez błędów rachunkowych, ale do obliczenia obwodu\nrównoległoboku stosuje przybliżenia pierwiastków, to za rozwiązanie zadania otrzymuje\n2 punkty.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe rozwiązania ocenione na 3 punkty\nI sposób\nZaznaczymy na rysunku 1. długości boków prostokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 oraz linię rozcięcia tego\nprostokąta na dwie figury: trapez prostokątny i trójkąt prostokątny równoramienny.\nZauważymy, że przesunięcie trójkąta prostokątnego równoramiennego w sposób pokazany\nna rysunku 2. prowadzi do otrzymania równoległoboku 𝐾𝐿𝑀𝑁.\nObliczymy długość boku 𝐾𝑁 równoległoboku 𝐾𝐿𝑀𝑁. Skorzystamy z twierdzenia\nPitagorasa:\n|𝐾𝑁|2 = 32 + 32\n|𝐾𝑁|2 = 18\n|𝐾𝑁| = √18 = 3√2\nObliczymy obwód równoległoboku 𝐾𝐿𝑀𝑁:\n𝑂𝐾𝐿𝑀𝑁= 2 ⋅9 + 2 · 3√2\n𝑂𝐾𝐿𝑀𝑁= 18 + 6√2\nOdpowiedź: Obwód równoległoboku 𝐾𝐿𝑀𝑁 jest równy 18 + 6√2.\nII sposób\nZaznaczymy na rysunku 1. długości boków prostokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 oraz punkt 𝐸, który jest\njednym z wierzchołków trójkąta prostokątnego równoramiennego 𝐸𝐵𝐶 o przyprostokątnych\ndługości 3.\nZ wierzchołka 𝐸 narysujemy odcinek prostopadły do boków 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷 prostokąta.\nZauważymy, że przeciwprostokątna 𝐸𝐶 trójkąta 𝐸𝐵𝐶 jest także przekątną kwadratu\no boku długości 3. Stąd otrzymujemy:\n|𝐸𝐶| = 3√2\nPonadto:\n|𝐸𝐶| = |𝐾𝑁| = |𝐿𝑀|\n3\n3\n𝐵\n𝐶\n𝐴\n𝐷\n𝐿\n𝑀\n𝐾\n𝑁\nRysunek 1.\nRysunek 2.\n9\n3\n3\n𝐸\n3\n3\n𝐵\n𝐶\n𝐴\n𝐷\n𝐿\n𝑀\n𝐾\n𝑁\nRysunek 1.\nRysunek 2.\n9\n3\n3\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2026 r.\nObliczymy obwód równoległoboku 𝐾𝐿𝑀𝑁:\n𝑂𝐾𝐿𝑀𝑁= 2 ⋅9 + 2 · 3√2\n𝑂𝐾𝐿𝑀𝑁= 18 + 6√2\nOdpowiedź: Obwód równoległoboku 𝐾𝐿𝑀𝑁 jest równy 18 + 6√2.","solution":"Trójkąt odcięty od prostokąta jest prostokątny równoramienny. Jedna jego przyprostokątna jest równa krótszemu bokowi prostokąta, czyli 3. Druga także ma długość 3.\n\nJego przeciwprostokątna ma długość:\n\nd=√(3^2+3^2)=√(18)=3√(2)\n\nPo złożeniu figur przeciwprostokątne tworzą dwa skośne boki równoległoboku. Dłuższy bok równoległoboku ma długość 9.\n\nObwód równoległoboku wynosi:\n\nO=2(9+3√(2))=18+6√(2)\n\nOdpowiedź: 18+6√(2) .","image":"img/matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":"Pola i obwody","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty","text_html":"<p>Zadanie 20. (0-3)<br>ZADANIE 15. ZNAJDUJE SIĘ NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ OTWARTYCH.<br>WYKONAJ TO ZADANIE W WYZNACZONYM MIEJSCU NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ<br>OTWARTYCH.<br>ZADANIE 16. ZNAJDUJE SIĘ NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ OTWARTYCH.<br>WYKONAJ TO ZADANIE W WYZNACZONYM MIEJSCU NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ<br>OTWARTYCH.<br>ZADANIE 17. ZNAJDUJE SIĘ NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ OTWARTYCH.<br>WYKONAJ TO ZADANIE W WYZNACZONYM MIEJSCU NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ<br>OTWARTYCH.<br>ZADANIE 18. ZNAJDUJE SIĘ NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ OTWARTYCH.<br>WYKONAJ TO ZADANIE W WYZNACZONYM MIEJSCU NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ<br>OTWARTYCH.<br>ZADANIE 19. ZNAJDUJE SIĘ NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ OTWARTYCH.<br>WYKONAJ TO ZADANIE W WYZNACZONYM MIEJSCU NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ<br>OTWARTYCH.<br>ZADANIE 20. ZNAJDUJE SIĘ NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ OTWARTYCH.<br>WYKONAJ TO ZADANIE W WYZNACZONYM MIEJSCU NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ<br>OTWARTYCH.<br>OMAP-100-2605<br>Brudnopis (nie podlega ocenie)<br>MATEMATYKA<br>Egzamin ósmoklasisty<br>MATEMATYKA<br>Egzamin ósmoklasisty<br>MATEMATYKA<br>Egzamin ósmoklasisty<br>OMAP-100-2605<br>KARTA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ OTWARTYCH 15-20<br>WYPEŁNIA UCZEŃ<br>Miejsce na naklejkę.<br>Sprawdź, czy kod na naklejce to<br>Jeżeli tak - przyklej naklejkę.<br>Jeżeli nie - zgłoś to nauczycielowi.<br>O-100<br>OMA 100<br>6 5<br>P-<br>-2 0<br>KOD UCZNIA<br>PESEL<br>MATEMATYKA<br>OMAP-100-2605<br>Zadanie 15. (0-2)<br>Do wykonania origami Ela przygotowała łącznie 160 kartek. Każda z tych kartek była<br>w jednym z czterech kolorów: białym, niebieskim, zielonym lub czerwonym. Kartek białych<br>było 37. Kartek niebieskich było 1,5 raza więcej niż czerwonych, a kartek zielonych było<br>o 10 mniej niż czerwonych.<br>Oblicz, ile kartek niebieskich przygotowała Ela. Zapisz obliczenia.<br>OMAP-100-2605<br>KOD UCZNIA<br>PESEL<br>Miejsce na naklejkę.<br>Sprawdź, czy kod na naklejce to<br>Jeżeli tak - przyklej naklejkę.<br>Jeżeli nie - zgłoś to nauczycielowi.<br>O-100<br>WYPEŁNIA UCZEŃ<br>Zadanie 16. (0-3)<br>Z Polanki do Dębiny prowadzi jedna droga przez Jodłowo i ma długość 123 km.<br>Droga z Polanki do Jodłowa ma długość 48 km i samochód przejechał ją w czasie 40 minut.<br>Drogę z Jodłowa do Dębiny ten samochód pokonał z taką samą prędkością, jak drogę<br>z Polanki do Jodłowa.<br>Uzasadnij, że przejazd tego samochodu z Jodłowa do Dębiny trwał dłużej niż godzinę.<br>Zapisz obliczenia.<br>OMAP-100-2605<br>Zadanie 17. (0-3)<br>Podczas Dnia Sportu w pewnej szkole rozegrano trzy turnieje sportowe. Każde dziecko, które<br>było uczestnikiem tego Dnia Sportu, wzięło udział w dokładnie jednym turnieju sportowym.<br>W tabeli podano informacje dotyczące liczby dzieci biorących udział w poszczególnych turniejach.<br>Łączna liczba dziewcząt była o 8 większa od łącznej liczby chłopców uczestniczących<br>w tym Dniu Sportu.<br>Oblicz, ile procent liczby wszystkich uczestników Dnia Sportu stanowi liczba dzieci,<br>które brały udział w turnieju tenisa stołowego. Zapisz obliczenia.<br>Turniej piłki nożnej<br>Turniej tańca<br>Turniej tenisa<br>stołowego<br>Liczba dziewcząt<br>15<br>65<br>?<br>Liczba chłopców<br>46<br>16<br>34<br>OMAP-100-2605<br>WYPEŁNIA UCZEŃ<br>KOD UCZNIA<br>PESEL<br>Miejsce na naklejkę.<br>Sprawdź, czy kod na naklejce to<br>Jeżeli tak - przyklej naklejkę.<br>Jeżeli nie - zgłoś to nauczycielowi.<br>O-100<br>Zadanie 18. (0-2)<br>Dany jest sześcian 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 o krawędzi długości 𝑎. Punkt 𝑆 jest środkiem krawędzi 𝐷𝐻<br>tego sześcianu. Punkty 𝐴, 𝐶, 𝐷, 𝑆 są wierzchołkami ostrosłupa trójkątnego (zobacz rysunek).<br>Oblicz, ile razy objętość ostrosłupa 𝑨𝑪𝑫𝑺 jest mniejsza od objętości<br>sześcianu 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑬𝑭𝑮𝑯. Zapisz obliczenia.<br>𝐵<br>𝐴<br>𝐶<br>𝐷<br>𝐹<br>𝐸<br>𝐺<br>𝑆<br>𝐻<br>OMAP-100-2605<br>Zadanie 19. (0-3)<br>Ogródek pani Anny ma kształt trapezu, którego podstawy mają długości 18 m i 12 m,<br>a wysokość jest równa 9 m. Pani Anna chce zmienić swój ogródek w łąkę kwietną.<br>Jedno opakowanie z nasionami wybrane przez panią Annę wystarcza na obsianie 25 m2<br>powierzchni i kosztuje 23,80 zł.<br>Oblicz, ile złotych musi zapłacić pani Anna za najmniejszą liczbę opakowań z nasionami<br>potrzebnych na obsianie całej powierzchni tego ogródka. Zapisz obliczenia.<br>OMAP-100-2605<br>WYPEŁNIA UCZEŃ<br>Miejsce na naklejkę.<br>Sprawdź, czy kod na naklejce to<br>Jeżeli tak - przyklej naklejkę.<br>Jeżeli nie - zgłoś to nauczycielowi.<br>O-100<br>KOD UCZNIA<br>PESEL<br>Zadanie 20. (0-3)<br>𝐵<br>𝐶<br>𝐴<br>𝐷<br>𝐿<br>𝑀<br>𝐾<br>𝑁<br>Rysunek 1.<br>Rysunek 2.<br>Z kartonu wycięto prostokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wymiarach 3 i 9 (zobacz rysunek 1.). Następnie ten<br>prostokąt rozcięto na dwie figury: trapez prostokątny oraz trójkąt prostokątny równoramienny.<br>Z tych figur złożono równoległobok 𝐾𝐿𝑀𝑁, który nie jest prostokątem (zobacz rysunek 2.).<br>Oblicz obwód równoległoboku 𝑲𝑳𝑴𝑵. Zapisz obliczenia.<br>OMAP-100-2605<br>Brudnopis (nie podlega ocenie)</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 20. (0-3)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.</p>\n<ol><li>Używanie języka matematycznego do</li></ol>\n<p>opisu rozumowania i uzyskanych<br>wyników.<br>KLASY IV-VI<br>XI. Obliczenia w geometrii. Uczeń:</p>\n<ol><li>oblicza obwód wielokąta o danych</li></ol>\n<p>długościach boków.<br>KLASY VII i VIII<br>II. Pierwiastki. Uczeń:</p>\n<ol><li>oblicza pierwiastek z iloczynu i ilorazu</li></ol>\n<p>dwóch liczb, wyłącza liczbę przed znak<br>pierwiastka […].<br>VIII. Własności figur geometrycznych na<br>płaszczyźnie. Uczeń:</p>\n<ol><li>zna i stosuje w sytuacjach praktycznych</li></ol>\n<p>twierdzenie Pitagorasa (bez twierdzenia<br>odwrotnego).<br>Zasady oceniania<br>3 punkty - pełne rozwiązanie<br>poprawny sposób obliczenia obwodu równoległoboku 𝐾𝐿𝑀𝑁, prawidłowe obliczenia oraz<br>prawidłowy wynik liczbowy (18 + 2√18 lub 18 + 6√2).<br>2 punkty<br>poprawny sposób obliczenia obwodu równoległoboku 𝐾𝐿𝑀𝑁.<br>1 punkt<br>• poprawny sposób obliczenia długości przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego<br>równoramiennego o przyprostokątnej długości 3 z wykorzystaniem twierdzenia<br>Pitagorasa, np. zapisanie<br>𝑐2 = 32 + 32, gdzie 𝑐 jest długością przeciwprostokątnej tego trójkąta<br>LUB<br>• ustalenie długości przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego równoramiennego<br>o przyprostokątnej długości 3 bez przedstawienia sposobu jej obliczenia (3√2),<br>np. zapisanie na rysunku.<br>0 punktów<br>rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.<br>Uwagi</p>\n<ol><li>Nie akceptuje się rozwiązań zadania opartych na pomiarze, np. linijką.</li><li>Jeżeli uczeń rozwiązuje zadanie bez błędów rachunkowych, ale do obliczenia obwodu</li></ol>\n<p>równoległoboku stosuje przybliżenia pierwiastków, to za rozwiązanie zadania otrzymuje<br>2 punkty.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Przykładowe rozwiązania ocenione na 3 punkty<br>I sposób<br>Zaznaczymy na rysunku 1. długości boków prostokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 oraz linię rozcięcia tego<br>prostokąta na dwie figury: trapez prostokątny i trójkąt prostokątny równoramienny.<br>Zauważymy, że przesunięcie trójkąta prostokątnego równoramiennego w sposób pokazany<br>na rysunku 2. prowadzi do otrzymania równoległoboku 𝐾𝐿𝑀𝑁.<br>Obliczymy długość boku 𝐾𝑁 równoległoboku 𝐾𝐿𝑀𝑁. Skorzystamy z twierdzenia<br>Pitagorasa:<br>|𝐾𝑁|2 = 32 + 32<br>|𝐾𝑁|2 = 18<br>|𝐾𝑁| = √18 = 3√2<br>Obliczymy obwód równoległoboku 𝐾𝐿𝑀𝑁:<br>𝑂𝐾𝐿𝑀𝑁= 2 ⋅9 + 2 · 3√2<br>𝑂𝐾𝐿𝑀𝑁= 18 + 6√2<br>Odpowiedź: Obwód równoległoboku 𝐾𝐿𝑀𝑁 jest równy 18 + 6√2.<br>II sposób<br>Zaznaczymy na rysunku 1. długości boków prostokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 oraz punkt 𝐸, który jest<br>jednym z wierzchołków trójkąta prostokątnego równoramiennego 𝐸𝐵𝐶 o przyprostokątnych<br>długości 3.<br>Z wierzchołka 𝐸 narysujemy odcinek prostopadły do boków 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷 prostokąta.<br>Zauważymy, że przeciwprostokątna 𝐸𝐶 trójkąta 𝐸𝐵𝐶 jest także przekątną kwadratu<br>o boku długości 3. Stąd otrzymujemy:<br>|𝐸𝐶| = 3√2<br>Ponadto:<br>|𝐸𝐶| = |𝐾𝑁| = |𝐿𝑀|<br>3<br>3<br>𝐵<br>𝐶<br>𝐴<br>𝐷<br>𝐿<br>𝑀<br>𝐾<br>𝑁<br>Rysunek 1.<br>Rysunek 2.<br>9<br>3<br>3<br>𝐸<br>3<br>3<br>𝐵<br>𝐶<br>𝐴<br>𝐷<br>𝐿<br>𝑀<br>𝐾<br>𝑁<br>Rysunek 1.<br>Rysunek 2.<br>9<br>3<br>3<br>Egzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2026 r.<br>Obliczymy obwód równoległoboku 𝐾𝐿𝑀𝑁:<br>𝑂𝐾𝐿𝑀𝑁= 2 ⋅9 + 2 · 3√2<br>𝑂𝐾𝐿𝑀𝑁= 18 + 6√2<br>Odpowiedź: Obwód równoległoboku 𝐾𝐿𝑀𝑁 jest równy 18 + 6√2.</p>","solutions":[{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Trójkąt odcięty od prostokąta jest prostokątny równoramienny. Jedna jego przyprostokątna jest równa krótszemu bokowi prostokąta, czyli 3. Druga także ma długość 3.</p>\n<p>Jego przeciwprostokątna ma długość:</p>\n<p>d=√(3^2+3^2)=√(18)=3√(2)</p>\n<p>Po złożeniu figur przeciwprostokątne tworzą dwa skośne boki równoległoboku. Dłuższy bok równoległoboku ma długość 9.</p>\n<p>Obwód równoległoboku wynosi:</p>\n<p>O=2(9+3√(2))=18+6√(2)</p>\n<p>Odpowiedź: 18+6√(2) .</p>"}]}