{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba √25\n8 ⋅√2 + 2-1 jest równa\nA. 1\nB. 2\nC. 3\nD. 4\nLiczba √{25/8} ⋅ √2 + 2^{-1} jest równa A. 1 B. 2 C. 3 D. 4","answer":"C","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania określone w podstawie programowej1\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nI.1) wykonuje działania (dodawanie,\nodejmowanie, mnożenie, dzielenie,\npotęgowanie, pierwiastkowanie,\nlogarytmowanie) w zbiorze liczb\nrzeczywistych;\nI.4) stosuje […] prawa działań na […]\npierwiastkach.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nC\nB\n1 Rozporządzenie Ministra Edukacji z dnia 28 czerwca 2024 r. zmieniające rozporządzenie w sprawie podstawy\nprogramowej kształcenia ogólnego dla liceum ogólnokształcącego, technikum oraz branżowej szkoły II stopnia\n(Dz.U. z 2024 r. poz. 1019).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: C\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nPołącz pierwiastki. $\\sqrt{a} \\cdot \\sqrt{b} = \\sqrt{a \\cdot b}$:\n\n$$\\sqrt{\\frac{25}{8}} \\cdot \\sqrt{2} = \\sqrt{\\frac{25}{8} \\cdot 2} = \\sqrt{\\frac{25}{4}}$$\n\nOblicz pierwiastek:\n\n$$\\sqrt{\\frac{25}{4}} = \\frac{\\sqrt{25}}{\\sqrt{4}} = \\frac{5}{2}$$\n\nDodaj $2^{-1} = \\frac{1}{2}$:\n\n$$\\frac{5}{2} + \\frac{1}{2} = \\frac{6}{2} = 3$$\n\nPo co to umieć\n\nPodstawowe własności pierwiastków i potęg:\n- $\\sqrt{a} \\cdot \\sqrt{b} = \\sqrt{ab}$\n- $\\sqrt{\\frac{a}{b}} = \\frac{\\sqrt{a}}{\\sqrt{b}}$\n- $a^{-n} = \\frac{1}{a^n}$\n- $a^0 = 1$ ($a \\neq 0$)\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: $2^{-1} = -2$. Pamiętaj, że $a^{-n} = \\frac{1}{a^n}$, więc $2^{-1} = \\frac{1}{2}$.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"pierwiastki, potęgi, działania na liczbach, Liczby rzeczywiste, algebra","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 1. (0-1)<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Liczba √25<br>8 ⋅√2 + 2-1 jest równa<br>A. 1<br>B. 2<br>C. 3<br>D. 4<br>Liczba √{25/8} ⋅ √2 + 2^{-1} jest równa A. 1 B. 2 C. 3 D. 4</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 1. (0-1)<br>Wymagania określone w podstawie programowej1<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>I. Sprawność rachunkowa.<br>Wykonywanie obliczeń na liczbach<br>rzeczywistych, także przy użyciu<br>kalkulatora, stosowanie praw działań<br>matematycznych przy przekształcaniu<br>wyrażeń algebraicznych oraz<br>wykorzystywanie tych umiejętności przy<br>rozwiązywaniu problemów w kontekstach<br>rzeczywistych i teoretycznych.<br>Zdający:<br>I.1) wykonuje działania (dodawanie,<br>odejmowanie, mnożenie, dzielenie,<br>potęgowanie, pierwiastkowanie,<br>logarytmowanie) w zbiorze liczb<br>rzeczywistych;<br>I.4) stosuje […] prawa działań na […]<br>pierwiastkach.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>Wersja A<br>Wersja B<br>C<br>B<br>1 Rozporządzenie Ministra Edukacji z dnia 28 czerwca 2024 r. zmieniające rozporządzenie w sprawie podstawy<br>programowej kształcenia ogólnego dla liceum ogólnokształcącego, technikum oraz branżowej szkoły II stopnia<br>(Dz.U. z 2024 r. poz. 1019).<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: C</p>\n<p>Strona arkusza CKE z trescia zadania</p>\n<p>Co zrobić?</p>\n<p>Połącz pierwiastki. $\\sqrt{a} \\cdot \\sqrt{b} = \\sqrt{a \\cdot b}$:</p>\n<p>$$\\sqrt{\\frac{25}{8}} \\cdot \\sqrt{2} = \\sqrt{\\frac{25}{8} \\cdot 2} = \\sqrt{\\frac{25}{4}}$$</p>\n<p>Oblicz pierwiastek:</p>\n<p>$$\\sqrt{\\frac{25}{4}} = \\frac{\\sqrt{25}}{\\sqrt{4}} = \\frac{5}{2}$$</p>\n<p>Dodaj $2^{-1} = \\frac{1}{2}$:</p>\n<p>$$\\frac{5}{2} + \\frac{1}{2} = \\frac{6}{2} = 3$$</p>\n<p>Po co to umieć</p>\n<p>Podstawowe własności pierwiastków i potęg:</p>\n<ul><li>$\\sqrt{a} \\cdot \\sqrt{b} = \\sqrt{ab}$</li><li>$\\sqrt{\\frac{a}{b}} = \\frac{\\sqrt{a}}{\\sqrt{b}}$</li><li>$a^{-n} = \\frac{1}{a^n}$</li><li>$a^0 = 1$ ($a \\neq 0$)</li></ul>\n<p>Typowy błąd: Najczęstszy błąd: $2^{-1} = -2$. Pamiętaj, że $a^{-n} = \\frac{1}{a^n}$, więc $2^{-1} = \\frac{1}{2}$.</p>"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedz: C</h4>\n<h4>Sposob 1 - Wlasciwosci dzialan na pierwiastkach i potegach</h4>\n<p><strong>Krok 1. Polacz pierwiastki w iloczynie.</strong><br>Korzystamy z wlasnosci pierwiastkow (Karta wzorow CKE EM2023, dzial &quot;Potegi i pierwiastki&quot;: \\( \\sqrt{a}\\cdot\\sqrt{b}=\\sqrt{a\\cdot b} \\) dla \\(a,b\\ge 0\\)):<br>\\[<br>\\sqrt{\\dfrac{25}{8}} \\cdot \\sqrt{2} = \\sqrt{\\dfrac{25}{8}\\cdot 2}.<br>\\]</p>\n<p><strong>Krok 2. Wykonaj mnozenie pod pierwiastkiem.</strong><br>\\[<br>\\dfrac{25}{8}\\cdot 2 = \\dfrac{25\\cdot 2}{8} = \\dfrac{50}{8} = \\dfrac{25}{4}.<br>\\]<br>Zatem<br>\\[<br>\\sqrt{\\dfrac{25}{8}}\\cdot\\sqrt{2} = \\sqrt{\\dfrac{25}{4}}.<br>\\]</p>\n<p><strong>Krok 3. Oblicz pierwiastek z ulamka.</strong><br>Korzystamy z wlasnosci \\( \\sqrt{\\dfrac{a}{b}}=\\dfrac{\\sqrt{a}}{\\sqrt{b}} \\) (Karta wzorow, dzial &quot;Potegi i pierwiastki&quot;):<br>\\[<br>\\sqrt{\\dfrac{25}{4}} = \\dfrac{\\sqrt{25}}{\\sqrt{4}} = \\dfrac{5}{2}.<br>\\]</p>\n<p><strong>Krok 4. Oblicz potege o wykladniku ujemnym.</strong><br>Z definicji potegi o wykladniku calkowitym ujemnym (Karta wzorow, dzial &quot;Potegi&quot;: \\( a^{-n}=\\dfrac{1}{a^{n}} \\) dla \\(a\\neq 0\\)):<br>\\[<br>2^{-1} = \\dfrac{1}{2}.<br>\\]</p>\n<p><strong>Krok 5. Dodaj otrzymane wartosci.</strong><br>\\[<br>\\dfrac{5}{2} + \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{5+1}{2} = \\dfrac{6}{2} = 3.<br>\\]</p>\n<p><strong>Wynik:</strong> szukana liczba jest rowna \\(3\\), czyli odpowiedz <strong>C</strong>.</p>\n<h4>Dlaczego pozostale sa bledne</h4>\n<ul><li><strong>A. \\(1\\)</strong> - bledny, np. gdy ktos pomylkowo policzy \\( \\sqrt{\\tfrac{25}{8}}\\cdot\\sqrt{2} \\) jako \\( \\tfrac{1}{2} \\) lub zignoruje wlasciwa wartosc pierwiastka; poprawna wartosc to \\( \\tfrac{5}{2} \\), a po dodaniu \\( \\tfrac12 \\) wychodzi \\(3\\).</li><li><strong>B. \\(2\\)</strong> - bledny, np. przy zlym potraktowaniu \\(2^{-1}\\) (potraktowanie go jako \\(-2\\) i otrzymanie \\( \\tfrac52-\\tfrac12=2 \\)). Tymczasem \\(2^{-1}=\\tfrac12\\), wiec dodajemy, a nie odejmujemy.</li><li><strong>D. \\(4\\)</strong> - bledny, np. gdy ktos blednie policzy \\( 2^{-1}=\\tfrac{3}{2} \\) lub doda \\(1\\) zamiast \\(\\tfrac12\\); poprawna wartosc skladnika to \\(\\tfrac12\\).</li></ul>\n<h4>Typowe pulapki</h4>\n<ol><li><strong>Potega ujemna nie oznacza liczby ujemnej</strong>: \\(2^{-1}=\\dfrac{1}{2}\\) (a NIE \\(-2\\)). To najczestszy blad, ktory prowadzi do odpowiedzi B.</li><li><strong>Mnozenie pod pierwiastkiem, nie dodawanie</strong>: \\( \\sqrt{\\tfrac{25}{8}}\\cdot\\sqrt{2}=\\sqrt{\\tfrac{25}{8}\\cdot 2} \\), a nie \\( \\sqrt{\\tfrac{25}{8}+2} \\). Pamietaj, ze laczyc mozna tylko iloczyn (lub iloraz) pierwiastkow, nigdy sume.</li></ol>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Obliczamy wartość wyrażenia:</p>\n<p>√((25)/(8))·√(2)+2^-1</p>\n<p>Najpierw korzystamy z własności pierwiastków:</p>\n<p>√(a)·√(b)=√(ab)</p>\n<p>Zatem:</p>\n<p>√((25)/(8))·√(2)<br>√((25)/(8)·2)</p>\n<p>Mnożymy pod pierwiastkiem:</p>\n<p>(25)/(8)·2=(50)/(8)=(25)/(4)</p>\n<p>Otrzymujemy:</p>\n<p>√((25)/(4))=frac √(25) √(4) =(5)/(2)</p>\n<p>Teraz obliczamy drugi składnik. Korzystamy z własności potęg:</p>\n<p>2^-1=(1)/(2^1)=(1)/(2)</p>\n<p>Całe wyrażenie ma więc wartość:</p>\n<p>(5)/(2)+(1)/(2)=(6)/(2)=3</p>\n<p>Odpowiedź: C. 3</p>"}]}