Zadanie 10. (0-2)
Rozwiąż nierówność
𝟑𝒙𝟐+ 𝟒𝒙≥𝟔𝒙+ 𝟖
Zapisz obliczenia.
10.
0-1-2
MMAP-P0_100
Rozwiąż nierówność 3x² + 4x ≥ 6x+8
Zadanie 10. (0-2)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
III.4) rozwiązuje […] nierówności
kwadratowe.
Zasady oceniania
2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (-∞, -4
3] ∪[2, +∞)
ALBO
w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów, np.
1 pkt - obliczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego 3𝑥2 -2𝑥-8:
𝑥1 = -4
3 oraz 𝑥2 = 2.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
jednoznaczny ustalić, czy przedziały zapisane przez zdającego są otwarte czy domknięte.
\ndwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionych błędów zapisze zbiór rozwiązań
nierówności, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
zdającego wyróżnik Δ jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
\nz błędu przekształcenia (np. 3𝑥2 + 4𝑥), i w konsekwencji rozpatruje inną nierówność (np.
3𝑥2 + 4𝑥≥0), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
końcami przedziałów i jednocześnie zapisze niewłaściwy zbiór rozwiązań, np. 𝑥∈[-4
3, 2]
lub 𝑥∈(-∞, -4
znaku tego dwumianu, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
-4
3
2
𝑥
Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
Jeśli zdający spełni kryterium za 1 punkt, a następnie pomyli porządek liczb na osi liczbowej
przy zachowaniu poprawnych krańców przedziału, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności
w postaci (-∞, 2] ∪[-4
3 , +∞) lub w postaci (+∞, -4
3] ∪[2, -∞), to otrzymuje
2 punkty.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Zapisujemy nierówność w postaci 3𝑥2 -2𝑥-8 ≥0 i obliczamy miejsca zerowe funkcji
kwadratowej 𝑦= 3𝑥2 -2𝑥-8.
Obliczamy wyróżnik trójmianu 3𝑥2 -2𝑥-8:
Δ = (-2)2 -4 ⋅3 ⋅(-8) = 100
Stąd:
𝑥1 = -(-2) -√100
2 ⋅3
= -4
3
𝑥2 = -(-2) + √100
2 ⋅3
= 2
Szkicujemy wykres funkcji kwadratowej 𝑦= 3𝑥2 -2𝑥-8.
Odczytujemy argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości nieujemne.
Zbiorem rozwiązań nierówności jest (-∞, -4
3] ∪[2, +∞).
-4
3
2
𝑥
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Sposób II
Przekształcamy nierówność równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:
3𝑥2 + 4𝑥≥6𝑥+ 8
𝑥(3𝑥+ 4) ≥2(3𝑥+ 4)
𝑥(3𝑥+ 4) -2(3𝑥+ 4) ≥0
(3𝑥+ 4)(𝑥-2) ≥0
Obliczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej 𝑦= (3𝑥+ 4)(𝑥-2):
(3𝑥+ 4)(𝑥-2) = 0
3𝑥+ 4 = 0 lub 𝑥-2 = 0
𝑥= -4
3 lub 𝑥= 2
Miejscami zerowymi funkcji 𝑦= (3𝑥+ 4)(𝑥-2) są liczby: 𝑥1 = -4
3 , 𝑥2 = 2.
Szkicujemy wykres funkcji kwadratowej 𝑦= (3𝑥+ 4)(𝑥-2).
Odczytujemy argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości nieujemne.
Zbiorem rozwiązań nierówności jest (-∞, -4
3] ∪[2, +∞).
Sposób III
Przekształcamy nierówność równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:
3𝑥2 + 4𝑥≥6𝑥+ 8
𝑥(3𝑥+ 4) ≥2(3𝑥+ 4)
𝑥(3𝑥+ 4) -2(3𝑥+ 4) ≥0
(3𝑥+ 4)(𝑥-2) ≥0
-4
3
2
𝑥
Dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑏 prawdziwa jest
równoważność:
𝑎⋅𝑏≥0 wtedy i tylko wtedy, gdy (𝑎≤0 i 𝑏≤0) lub (𝑎≥0 i 𝑏≥0)
Przekształcamy nierówność (3𝑥+ 4)(𝑥-2) ≥0, na podstawie powyższej równoważności:
(3𝑥+ 4 ≤0 i 𝑥-2 ≤0) lub (3𝑥+ 4 ≥0 i 𝑥-2 ≥0)
(𝑥≤-4
3 i 𝑥≤2) lub (𝑥≥-4
3 i 𝑥≥2)
𝑥∈(-∞, -4
3] lub 𝑥∈[2, +∞)
Zatem zbiorem rozwiązań nierówności 3𝑥2 + 4𝑥≥6𝑥+ 8 jest (-∞, -4
3] ∪[2, +∞).
Sposób IV
Przekształcamy nierówność równoważnie:
3𝑥2 + 4𝑥≥6𝑥+ 8
𝑥(3𝑥+ 4) ≥2(3𝑥+ 4)
Rozważmy trzy przypadki.
Przypadek 1. (gdy 3𝑥+ 4 = 0)
Rozwiązaniem równania 3𝑥+ 4 = 0 jest liczba (-4
3).
Dla 𝑥= -4
3 nierówność 𝑥(3𝑥+ 4) ≥2(3𝑥+ 4) jest prawdziwa.
Przypadek 2. (gdy 3𝑥+ 4 > 0)
Zbiorem rozwiązań nierówności 3𝑥+ 4 > 0 jest przedział (-4
3 , +∞).
Dzielimy stronami nierówność 𝑥(3𝑥+ 4) ≥2(3𝑥+ 4) przez dwumian 3𝑥+ 4
i otrzymujemy 𝑥≥2.
Zatem 𝑥∈(-4
3 , +∞) i 𝑥∈[2, +∞). Stąd otrzymujemy 𝑥∈[2, +∞).
Przypadek 3. (gdy 3𝑥+ 4 < 0)
Zbiorem rozwiązań nierówności 3𝑥+ 4 < 0 jest przedział (-∞, -4
3).
Dzielimy stronami nierówność 𝑥(3𝑥+ 4) ≥2(3𝑥+ 4) przez dwumian 3𝑥+ 4
i otrzymujemy 𝑥≤2.
Zatem 𝑥∈(-∞, -4
3).
Zatem zbiorem rozwiązań nierówności 3𝑥2 + 4𝑥≥6𝑥+ 8 jest
{-4
3} ∪[2, +∞) ∪(-∞, -4
3), czyli (-∞, -4
3] ∪[2, +∞).
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Odpowiedź: $x \\in \\left(-\\infty, -\\frac{4}{3}\\right\\rangle \\cup \\langle 2, +\\infty)$
\nStrona arkusza CKE z trescia zadania
\nCo zrobić?
\nPrzenieś wszystko na lewą stronę:
\n$$3x^2 + 4x - 6x - 8 \\geq 0$$
\n$$3x^2 - 2x - 8 \\geq 0$$
\nWyróżnik:
\n$$\\Delta = (-2)^2 - 4 \\cdot 3 \\cdot (-8) = 4 + 96 = 100$$
\n$$\\sqrt{\\Delta} = 10$$
\nMiejsca zerowe:
\n$$x_1 = \\frac{2 - 10}{6} = -\\frac{8}{6} = -\\frac{4}{3}$$
\n$$x_2 = \\frac{2 + 10}{6} = \\frac{12}{6} = 2$$
\nZnak paraboli. $a = 3 > 0$ → ramiona do góry. Nierówność $\\geq 0$ — szukamy gdzie parabola jest nad osią lub na niej:
\n$$x \\in \\left(-\\infty, -\\frac{4}{3}\\right\\rangle \\cup \\langle 2, +\\infty)$$
\nPo co to umieć
\nAlgorytm: 1) Wszystko na lewą stronę. 2) $\\Delta$. 3) Miejsca zerowe. 4) Naszkicuj parabolę i wybierz przedziały zgodne z nierównością.
\nTypowy błąd: Częsty błąd: $\\geq 0$ przy paraboli w górę → przedział na zewnątrz miejsc zerowych, nie między.
"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"Krok 1. Przenosimy wszystkie wyrazy na lewa strone.
\nMamy nierownosc:
\\[ 3x^2 + 4x \\ge 6x + 8 \\]
Odejmujemy \\( 6x \\) i \\( 8 \\) od obu stron:
\\[ 3x^2 + 4x - 6x - 8 \\ge 0 \\]
Krok 2. Redukujemy wyrazy podobne.
\\[ 3x^2 - 2x - 8 \\ge 0 \\]
Otrzymalismy nierownosc kwadratowa z trojmianem \\( f(x) = 3x^2 - 2x - 8 \\), gdzie:
\\[ a = 3,\\quad b = -2,\\quad c = -8 \\]
Krok 3. Obliczamy wyroznik (delte).
\nKorzystamy ze wzoru z karty wzorow CKE EM2023 (dzial: Funkcja kwadratowa - wyroznik trojmianu kwadratowego):
\\[ \\Delta = b^2 - 4ac \\]
\\[ \\Delta = (-2)^2 - 4 \\cdot 3 \\cdot (-8) = 4 + 96 = 100 \\]
Poniewaz \\( \\Delta = 100 > 0 \\), trojmian ma dwa rozne pierwiastki.
\nKrok 4. Obliczamy miejsca zerowe.
\nKorzystamy ze wzorow (karta wzorow CKE EM2023, Funkcja kwadratowa - pierwiastki trojmianu):
\\[ x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\qquad x_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a} \\]
Liczymy \\( \\sqrt{\\Delta} = \\sqrt{100} = 10 \\), zatem:
\\[ x_1 = \\frac{2 - 10}{2 \\cdot 3} = \\frac{-8}{6} = -\\frac{4}{3} \\]
\\[ x_2 = \\frac{2 + 10}{2 \\cdot 3} = \\frac{12}{6} = 2 \\]
Krok 5. Analizujemy znak trojmianu (metoda paraboli).
\nWspolczynnik \\( a = 3 > 0 \\), wiec ramiona paraboli skierowane sa do gory. Parabola przyjmuje wartosci:
\nSchematyczny wykres (parabola z ramionami w gore, przecinajaca os OX w punktach \\( -\\tfrac{4}{3} \\) oraz \\( 2 \\)):
\n\\[ \\underset{+}{\\diagdown\\;\\diagup}\\; \\overset{-4/3}{\\bullet} \\;\\underset{-}{\\diagdown\\diagup}\\; \\overset{2}{\\bullet}\\; \\underset{+}{\\diagdown\\diagup} \\]
\nKrok 6. Odczytujemy rozwiazanie.
\nSzukamy \\( f(x) \\ge 0 \\), czyli wartosci dodatnich oraz rownych zero (nierownosc nieostra - miejsca zerowe wlaczamy do rozwiazania):
\\[ x \\le -\\frac{4}{3} \\quad \\text{lub} \\quad x \\ge 2 \\]
Odpowiedz:
\\[ x \\in \\left(-\\infty,\\, -\\tfrac{4}{3}\\right\\rangle \\cup \\left\\langle 2,\\, +\\infty\\right) \\]
Przenosimy wszystko na lewą stronę nierówności:
\n3x^2+4x≥ 6x+8
\n3x^2-2x-8≥0
\nWyznaczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej:
\n3x^2-2x-8=0
\nΔ=(-2)^2-4·3·(-8)=4+96=100
\n√(Δ)=10
\nx_1=(2-10)/(6)=-(8)/(6)=-(4)/(3)
\nx_2=(2+10)/(6)=(12)/(6)=2
\nParabola ma ramiona skierowane do góry, więc nierówność jest spełniona na zewnątrz przedziału między miejscami zerowymi.
\nx∈ (-∞,-(4)/(3) ]∪[2,∞)
\nOdpowiedź: (-∞,-(4)/(3) ]∪[2,∞)
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"$x\\in(-\\infty,-\\frac{4}{3}]\\cup[2,\\infty)$
"}]}