{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"11","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-2)\nNa przedstawienie w pewnym teatrze sprzedawano bilety według poniższego cennika.\nCENNIK BILETÓW\nRodzaj biletu\nCena w złotych\nNormalny\n35\nUlgowy\n25\nNa to przedstawienie sprzedano łącznie 200 biletów.\nPo opłaceniu kosztów związanych z organizacją przedstawienia w wysokości 25% wpływów\nze sprzedaży biletów organizatorom pozostało 4665 zł.\nOblicz liczbę biletów ulgowych sprzedanych na to przedstawienie. Zapisz obliczenia.\n11.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\nNa przedstawienie w pewnym teatrze sprzedawano bilety według poniższego cennika. | CENNIK BILETÓW | Rodzaj biletu | Cena w złotych | Normalny | 35 | Ulgowy | 25 | Na to przedstawienie sprzedano łącznie 200 biletów. Po opłaceniu kosztów związanych z organizacją przedstawienia w wysokości 25% wpływów ze sprzedaży biletów organizatorom pozostało 4665 zł. Oblicz liczbę biletów ulgowych sprzedanych na to przedstawienie.","answer":"78","answer_text":"Zadanie 11. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nIV.2) stosuje układy równań do\nrozwiązywania zadań tekstowych.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 78.\n1 pkt - zapisanie układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi pozwalającego obliczyć\nliczbę biletów ulgowych i liczbę biletów normalnych sprzedanych na przedstawienie,\nnp.\n𝑥+ 𝑦= 200 oraz 0,75 ⋅(35𝑥+ 25𝑦) = 4665\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego obliczyć liczbę biletów\nulgowych sprzedanych na przedstawienie, np.\n35(200 -𝑦) + 25𝑦= 4665\n0,75 ,\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego obliczyć liczbę biletów\nnormalnych sprzedanych na przedstawienie, np.\n35𝑥+ 25(200 -𝑥) = 4665\n0,75 ,\nALBO\n- zapisanie różnicy 4665\n0,75 -25 ⋅200 oraz zapisanie różnicy 35 -25,\nALBO\n- zapisanie różnicy 35 ⋅200 -4665\n0,75 oraz zapisanie różnicy 35 -25,\nALBO\n- zapisanie różnicy 4665\n0,75 -(25 ⋅100 + 35 ⋅100) oraz zapisanie różnicy 35 -25.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający sprawdza warunki zadania dla wybranych par liczb 𝑥 oraz 𝑦 i wskaże\nwłaściwą odpowiedź, ale nie uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie zadania, to otrzymuje\n1 punkt za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nOznaczmy:\n𝑥 - liczba biletów normalnych sprzedanych na przedstawienie,\n𝑦 - liczba biletów ulgowych sprzedanych na przedstawienie.\nPo uwzględnieniu warunków zadania otrzymujemy:\n𝑥+ 𝑦= 200 oraz 0,75 ⋅(35𝑥+ 25𝑦) = 4665\nZ pierwszego z tych równań wyznaczamy 𝑥= 200 -𝑦 i podstawiamy w miejsce 𝑥 do\ndrugiego z równań, w wyniku czego otrzymujemy:\n0,75 ⋅[35(200 -𝑦) + 25𝑦] = 4665 /∶0,75\n35(200 -𝑦) + 25𝑦= 6220\n7000 -35𝑦+ 25𝑦= 6220\n-10𝑦= -780\n𝑦= 78\nNa przedstawienie sprzedano 78 biletów ulgowych.\nSposób II\nPrzychód organizatorów ze sprzedaży biletów jest równy:\n4665\n0,75 = 6220\nGdyby organizatorzy sprzedali wszystkie bilety po 35 złotych, to uzyskaliby przychód\nw wysokości 35 ⋅200 = 7000 złotych, a więc o 7000 -6220 = 780 złotych więcej niż\nw rzeczywistości.\nBilet normalny kosztuje o 10 złotych więcej niż bilet ulgowy.\nZatem organizatorzy sprzedali 780 ∶10 = 78 biletów ulgowych.\nUwaga.\nMetodę zaprezentowaną w sposobie II można wykorzystać również dla dowolnej konfiguracji\nliczby biletów ulgowych i normalnych dających łącznie 200 biletów; np. gdyby organizatorzy\nsprzedali 30 biletów normalnych i 170 biletów ulgowych, to uzyskaliby przychód\nw wysokości 30 ⋅35 + 170 ⋅25 = 5300 złotych, a więc o 6220 -5300 = 920 złotych\nmniej niż w rzeczywistości.\nBilet normalny kosztuje o 10 złotych więcej niż bilet ulgowy.\nZatem organizatorzy w rzeczywistości sprzedali o 920 ∶10 = 92 bilety ulgowe mniej -\na więc sprzedali 170 -92 = 78 biletów ulgowych.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: 78 biletów ulgowych\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nOdzyskaj całkowite wpływy. Koszty = 25% wpływów, czyli organizatorom zostało 75%:\n\n$$0{,}75 \\cdot W = 4665$$\n\n$$W = \\frac{4665}{0{,}75} = 6220 \\text{ zł}$$\n\nWprowadź niewiadome. Niech $n$ = liczba biletów normalnych, $u$ = ulgowych.\n\n$$\\begin{cases} n + u = 200 \\\\ 35n + 25u = 6220 \\end{cases}$$\n\nRozwiąż przez podstawienie. $n = 200 - u$:\n\n$$35(200 - u) + 25u = 6220$$\n\n$$7000 - 35u + 25u = 6220$$\n\n$$7000 - 10u = 6220$$\n\n$$10u = 780$$\n\n$$u = 78$$\n\nSprawdzenie. $n = 200 - 78 = 122$. Wpływy: $35 \\cdot 122 + 25 \\cdot 78 = 4270 + 1950 = 6220$ zł ✓. Po 25% kosztach: $6220 \\cdot 0{,}75 = 4665$ zł ✓.\n\nPo co to umieć\n\nZadania tekstowe z procentami: zawsze najpierw odzyskaj wielkość bazową (wpływy, cena przed promocją), potem układ równań. Bez tego dane nie pasują.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: 4665 zł to **już po** odjęciu kosztów. Wpływy całkowite to $\\frac{4665}{0,75} = 6220$ zł, nie 4665.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-11.svg","topics":"zadanie tekstowe, układ równań, procenty, Układy równań, rownania_i_nierownosci","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 11. (0-2)<br>Na przedstawienie w pewnym teatrze sprzedawano bilety według poniższego cennika.<br>CENNIK BILETÓW<br>Rodzaj biletu<br>Cena w złotych<br>Normalny<br>35<br>Ulgowy<br>25<br>Na to przedstawienie sprzedano łącznie 200 biletów.<br>Po opłaceniu kosztów związanych z organizacją przedstawienia w wysokości 25% wpływów<br>ze sprzedaży biletów organizatorom pozostało 4665 zł.<br>Oblicz liczbę biletów ulgowych sprzedanych na to przedstawienie. Zapisz obliczenia.<br>11.<br>0-1-2</p>\n<p>MMAP-P0_100</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Na przedstawienie w pewnym teatrze sprzedawano bilety według poniższego cennika. | CENNIK BILETÓW | Rodzaj biletu | Cena w złotych | Normalny | 35 | Ulgowy | 25 | Na to przedstawienie sprzedano łącznie 200 biletów. Po opłaceniu kosztów związanych z organizacją przedstawienia w wysokości 25% wpływów ze sprzedaży biletów organizatorom pozostało 4665 zł. Oblicz liczbę biletów ulgowych sprzedanych na to przedstawienie.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 11. (0-2)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Dobieranie i tworzenie modeli</li></ol>\n<p>matematycznych przy rozwiązywaniu<br>problemów praktycznych i teoretycznych.<br>Zdający:<br>IV.2) stosuje układy równań do<br>rozwiązywania zadań tekstowych.<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 78.<br>1 pkt - zapisanie układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi pozwalającego obliczyć<br>liczbę biletów ulgowych i liczbę biletów normalnych sprzedanych na przedstawienie,<br>np.<br>𝑥+ 𝑦= 200 oraz 0,75 ⋅(35𝑥+ 25𝑦) = 4665<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego obliczyć liczbę biletów</li></ul>\n<p>ulgowych sprzedanych na przedstawienie, np.<br>35(200 -𝑦) + 25𝑦= 4665<br>0,75 ,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego obliczyć liczbę biletów</li></ul>\n<p>normalnych sprzedanych na przedstawienie, np.<br>35𝑥+ 25(200 -𝑥) = 4665<br>0,75 ,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie różnicy 4665</li></ul>\n<p>0,75 -25 ⋅200 oraz zapisanie różnicy 35 -25,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie różnicy 35 ⋅200 -4665</li></ul>\n<p>0,75 oraz zapisanie różnicy 35 -25,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie różnicy 4665</li></ul>\n<p>0,75 -(25 ⋅100 + 35 ⋅100) oraz zapisanie różnicy 35 -25.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwaga:<br>Jeżeli zdający sprawdza warunki zadania dla wybranych par liczb 𝑥 oraz 𝑦 i wskaże<br>właściwą odpowiedź, ale nie uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie zadania, to otrzymuje<br>1 punkt za całe rozwiązanie.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Oznaczmy:<br>𝑥 - liczba biletów normalnych sprzedanych na przedstawienie,<br>𝑦 - liczba biletów ulgowych sprzedanych na przedstawienie.<br>Po uwzględnieniu warunków zadania otrzymujemy:<br>𝑥+ 𝑦= 200 oraz 0,75 ⋅(35𝑥+ 25𝑦) = 4665<br>Z pierwszego z tych równań wyznaczamy 𝑥= 200 -𝑦 i podstawiamy w miejsce 𝑥 do<br>drugiego z równań, w wyniku czego otrzymujemy:<br>0,75 ⋅[35(200 -𝑦) + 25𝑦] = 4665 /∶0,75<br>35(200 -𝑦) + 25𝑦= 6220<br>7000 -35𝑦+ 25𝑦= 6220<br>-10𝑦= -780<br>𝑦= 78<br>Na przedstawienie sprzedano 78 biletów ulgowych.<br>Sposób II<br>Przychód organizatorów ze sprzedaży biletów jest równy:<br>4665<br>0,75 = 6220<br>Gdyby organizatorzy sprzedali wszystkie bilety po 35 złotych, to uzyskaliby przychód<br>w wysokości 35 ⋅200 = 7000 złotych, a więc o 7000 -6220 = 780 złotych więcej niż<br>w rzeczywistości.<br>Bilet normalny kosztuje o 10 złotych więcej niż bilet ulgowy.<br>Zatem organizatorzy sprzedali 780 ∶10 = 78 biletów ulgowych.<br>Uwaga.<br>Metodę zaprezentowaną w sposobie II można wykorzystać również dla dowolnej konfiguracji<br>liczby biletów ulgowych i normalnych dających łącznie 200 biletów; np. gdyby organizatorzy<br>sprzedali 30 biletów normalnych i 170 biletów ulgowych, to uzyskaliby przychód<br>w wysokości 30 ⋅35 + 170 ⋅25 = 5300 złotych, a więc o 6220 -5300 = 920 złotych<br>mniej niż w rzeczywistości.<br>Bilet normalny kosztuje o 10 złotych więcej niż bilet ulgowy.<br>Zatem organizatorzy w rzeczywistości sprzedali o 920 ∶10 = 92 bilety ulgowe mniej -<br>a więc sprzedali 170 -92 = 78 biletów ulgowych.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-11.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: 78 biletów ulgowych</p>\n<p>Strona arkusza CKE z trescia zadania</p>\n<p>Co zrobić?</p>\n<p>Odzyskaj całkowite wpływy. Koszty = 25% wpływów, czyli organizatorom zostało 75%:</p>\n<p>$$0{,}75 \\cdot W = 4665$$</p>\n<p>$$W = \\frac{4665}{0{,}75} = 6220 \\text{ zł}$$</p>\n<p>Wprowadź niewiadome. Niech $n$ = liczba biletów normalnych, $u$ = ulgowych.</p>\n<p>$$\\begin{cases} n + u = 200 \\\\ 35n + 25u = 6220 \\end{cases}$$</p>\n<p>Rozwiąż przez podstawienie. $n = 200 - u$:</p>\n<p>$$35(200 - u) + 25u = 6220$$</p>\n<p>$$7000 - 35u + 25u = 6220$$</p>\n<p>$$7000 - 10u = 6220$$</p>\n<p>$$10u = 780$$</p>\n<p>$$u = 78$$</p>\n<p>Sprawdzenie. $n = 200 - 78 = 122$. Wpływy: $35 \\cdot 122 + 25 \\cdot 78 = 4270 + 1950 = 6220$ zł ✓. Po 25% kosztach: $6220 \\cdot 0{,}75 = 4665$ zł ✓.</p>\n<p>Po co to umieć</p>\n<p>Zadania tekstowe z procentami: zawsze najpierw odzyskaj wielkość bazową (wpływy, cena przed promocją), potem układ równań. Bez tego dane nie pasują.</p>\n<p>Typowy błąd: Najczęstszy błąd: 4665 zł to <strong>już po</strong> odjęciu kosztów. Wpływy całkowite to $\\frac{4665}{0,75} = 6220$ zł, nie 4665.</p>"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedz: 78 biletów ulgowych (oraz 122 normalne)</h4>\n<h4>Sposob 1 - Rownanie z jedna niewiadoma</h4>\n<p><strong>Krok 1. Wprowadzenie zmiennej i drugiej liczby biletow.</strong><br>Niech \\( u \\) oznacza liczbe sprzedanych biletow ulgowych. Skoro sprzedano lacznie \\( 200 \\) biletow, to liczba biletow normalnych wynosi \\( 200 - u \\).</p>\n<p>Naturalne zalozenie: \\( u \\) jest liczba calkowita oraz \\( 0 \\le u \\le 200 \\).</p>\n<p><strong>Krok 2. Zapisanie wplywow ze sprzedazy.</strong><br>Bilet normalny kosztuje \\( 35 \\) zl, a ulgowy \\( 25 \\) zl. Wplywy ze sprzedazy (przed kosztami) to:<br>\\[<br>W = 35\\cdot(200 - u) + 25\\cdot u .<br>\\]</p>\n<p><strong>Krok 3. Wykorzystanie informacji o kosztach.</strong><br>Koszty organizacji to \\( 25\\% \\) wplywow, wiec organizatorom pozostalo \\( 100\\% - 25\\% = 75\\% \\) wplywow. Z tresci wynika:<br>\\[<br>0{,}75 \\cdot W = 4665 .<br>\\]<br>Stad wplywy wynosza:<br>\\[<br>W = \\frac{4665}{0{,}75} = 6220 \\text{ zl}.<br>\\]</p>\n<p><strong>Krok 4. Ulozenie i rozwiazanie rownania.</strong><br>\\[<br>35\\cdot(200 - u) + 25\\cdot u = 6220 .<br>\\]<br>Wymnazamy nawias:<br>\\[<br>7000 - 35u + 25u = 6220 ,<br>\\]<br>\\[<br>7000 - 10u = 6220 ,<br>\\]<br>\\[<br>-10u = 6220 - 7000 = -780 ,<br>\\]<br>\\[<br>u = \\frac{-780}{-10} = 78 .<br>\\]</p>\n<p><strong>Krok 5. Obliczenie liczby biletow normalnych i sprawdzenie.</strong><br>Biletow normalnych: \\( 200 - 78 = 122 \\).<br>Sprawdzenie wplywow:<br>\\[<br>35\\cdot 122 + 25\\cdot 78 = 4270 + 1950 = 6220 \\text{ zl}.<br>\\]<br>Pozostalo po odjeciu \\( 25\\% \\) kosztow:<br>\\[<br>0{,}75 \\cdot 6220 = 4665 \\text{ zl}. \\checkmark<br>\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedz:</strong> Sprzedano \\( \\boxed{78} \\) biletow ulgowych.</p>\n<h4>Sposob 2 - Uklad dwoch rownan</h4>\n<p>Niech \\( n \\) - liczba biletow normalnych, \\( u \\) - liczba biletow ulgowych.<br>\\[<br>\\begin{cases} n + u = 200 \\\\ 0{,}75\\cdot(35n + 25u) = 4665 \\end{cases}<br>\\]<br>Z drugiego rownania, dzielac obustronnie przez \\( 0{,}75 \\):<br>\\[<br>35n + 25u = 6220 .<br>\\]<br>Z pierwszego rownania \\( n = 200 - u \\). Podstawiajac:<br>\\[<br>35(200 - u) + 25u = 6220 \\;\\Rightarrow\\; 7000 - 10u = 6220 \\;\\Rightarrow\\; u = 78 .<br>\\]<br>Czyli \\( n = 122 \\), \\( u = 78 \\) - taki sam wynik.</p>\n<h4>Uwaga o karcie wzorow</h4>\n<p>Zadanie opiera sie na podstawowych dzialaniach (procent jako czesc calosci, rownanie liniowe), wiec nie wymaga wzorow z karty wzorow CKE EM2023. Kluczowa idea: &quot;po odjeciu \\( 25\\% \\) zostaje \\( 75\\% \\)&quot;, czyli \\( 75\\% = 0{,}75 \\) calosci wplywow.</p>\n<h4>Typowe pulapki</h4>\n<ul><li><strong>Blad z procentem:</strong> kwota \\( 4665 \\) zl to NIE sa pelne wplywy, lecz \\( 75\\% \\) wplywow. Czeste jest mylne ulozenie rownania \\( 35n + 25u = 4665 \\) (pominiecie kosztow). Najpierw trzeba odzyskac pelne wplywy: \\( W = 4665 : 0{,}75 = 6220 \\) zl.</li><li><strong>Pomylenie biletow:</strong> uwazaj, ktora niewiadoma liczysz. Pytanie dotyczy biletow ULGOWYCH (\\( u = 78 \\)), a nie normalnych (\\( 122 \\)) - latwo podac wynik dla zlej grupy, zwlaszcza jesli zmienna oznaczono jako liczbe biletow normalnych.</li></ul>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Oznaczmy:</p>\n<p>x - liczba biletów normalnych</p>\n<p>y - liczba biletów ulgowych</p>\n<p>Sprzedano łącznie 200 biletów, więc:</p>\n<p>x+y=200</p>\n<p>Po opłaceniu kosztów organizatorom zostało 75% wpływów ze sprzedaży biletów.</p>\n<p>75%· W=4665</p>\n<p>0 , 75W=4665</p>\n<p>W=6220</p>\n<p>Wpływy ze sprzedaży biletów wyniosły więc 6220 zł.</p>\n<p>35x+25y=6220</p>\n<p>Podstawiamy x=200-y :</p>\n<p>35(200-y)+25y=6220</p>\n<p>7000-35y+25y=6220</p>\n<p>7000-10y=6220</p>\n<p>10y=780</p>\n<p>y=78</p>\n<p>Odpowiedź: sprzedano 78 biletów ulgowych.</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$78$</p>"}]}