{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"12","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12.\nFunkcja 𝑓 jest określona następująco:\n𝑓(𝑥) = {\n𝑥+ 2\ndla 𝑥∈[-4, 2]\n-𝑥+ 5\ndla 𝑥∈(2, 5)\nWykres funkcji 𝑦= 𝑓(𝑥) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦)\nna rysunku poniżej.\nFunkcja f jest określona następująco: f(x) = {x+2 dla x∈<-4,-2>; -x+5 dla x∈(2,5). Wykres funkcji y=f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) na rysunku poniżej. [rysunek] Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Rozwiązaniem równania f(x)=3 jest liczba ............ . 2. Największa wartość funkcji f w przedziale <2,3> jest równa ............ .","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Odpowiedź: **12.1.** $x = 1$; największa wartość = $4$. **12.2.** Zbiór wartości: $\\langle -2, 4 \\rangle$. Argumenty z $f(x) > 1$: $(-1, 4)$.\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\n12.1. — równanie $f(x) = 3$ i max na $[2, 3]$\n\nPierwsza gałąź: $x + 2 = 3 \\implies x = 1$. Sprawdź: $1 \\in [-4, 2]$ ✓.\n\nDruga gałąź: $-x + 5 = 3 \\implies x = 2$. Sprawdź: $2 \\notin (2, 5)$ ✗ (kółko otwarte).\n\nWynik: $x = 1$.\n\nMax na $[2, 3]$.\n- $x = 2$ należy do pierwszej gałęzi (przedział domknięty $[-4, 2]$): $f(2) = 2 + 2 = 4$.\n- $x \\in (2, 3]$ — druga gałąź $-x + 5$, malejąca. Wartości: $\\lim_{x \\to 2^+} = 3$ (nieosiągnięta), $f(3) = 2$.\n\nNajwiększa wartość = $4$ (przy $x = 2$).\n\n12.2. — zbiór wartości i argumenty $f(x) > 1$\n\nZbiór wartości.\n- Pierwsza gałąź ($x+2$, $x \\in [-4, 2]$): od $f(-4) = -2$ do $f(2) = 4$, czyli $\\langle -2, 4 \\rangle$.\n- Druga gałąź ($-x+5$, $x \\in (2, 5)$): od $f(2^+) = 3$ do $f(5^-) = 0$, czyli $(0, 3)$.\n\nSuma: $\\langle -2, 4 \\rangle \\cup (0, 3) = \\langle -2, 4 \\rangle$ (druga gałąź daje tylko wartości już zawarte w pierwszej).\n\nArgumenty z $f(x) > 1$.\n- Pierwsza gałąź: $x + 2 > 1 \\implies x > -1$, w $[-4, 2]$ daje $(-1, 2\\rangle$.\n- Druga gałąź: $-x + 5 > 1 \\implies x < 4$, w $(2, 5)$ daje $(2, 4)$.\n\nSuma: $(-1, 2\\rangle \\cup (2, 4) = (-1, 4)$ (w $x = 2$ wartość $4 > 1$, więc nie ma dziury).\n\nPo co to umieć\n\nFunkcja kawałkami: zawsze patrz na typ nawiasów w definicji ($[$ vs $($). To one decydują, do której gałęzi należy punkt graniczny. Wykres pomaga zwizualizować, ale rachunek robisz na definicji.\n\nTypowy błąd: Pułapka: w punkcie $x = 2$ funkcja przyjmuje wartość z **pierwszej** gałęzi ($x+2 = 4$), bo $2 \\in [-4, 2]$ (przedział domknięty). Druga gałąź $(2, 5)$ nie obejmuje $x=2$ (kółko otwarte).","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-12.svg","topics":"funkcja kawałkami, odczyt z wykresu, zbiór wartości","page_from":12,"source":"maturaonline","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 12.<br>Funkcja 𝑓 jest określona następująco:<br>𝑓(𝑥) = {<br>𝑥+ 2<br>dla 𝑥∈[-4, 2]<br>-𝑥+ 5<br>dla 𝑥∈(2, 5)<br>Wykres funkcji 𝑦= 𝑓(𝑥) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦)<br>na rysunku poniżej.<br>Funkcja f jest określona następująco: f(x) = {x+2 dla x∈&lt;-4,-2&gt;; -x+5 dla x∈(2,5). Wykres funkcji y=f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) na rysunku poniżej. [rysunek] Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Rozwiązaniem równania f(x)=3 jest liczba ............ . 2. Największa wartość funkcji f w przedziale &lt;2,3&gt; jest równa ............ .</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-12.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: <strong>12.1.</strong> $x = 1$; największa wartość = $4$. <strong>12.2.</strong> Zbiór wartości: $\\langle -2, 4 \\rangle$. Argumenty z $f(x) &gt; 1$: $(-1, 4)$.</p>\n<p>Strona arkusza CKE z trescia zadania</p>\n<p>Co zrobić?</p>\n<p>12.1. — równanie $f(x) = 3$ i max na $[2, 3]$</p>\n<p>Pierwsza gałąź: $x + 2 = 3 \\implies x = 1$. Sprawdź: $1 \\in [-4, 2]$ ✓.</p>\n<p>Druga gałąź: $-x + 5 = 3 \\implies x = 2$. Sprawdź: $2 \\notin (2, 5)$ ✗ (kółko otwarte).</p>\n<p>Wynik: $x = 1$.</p>\n<p>Max na $[2, 3]$.</p>\n<ul><li>$x = 2$ należy do pierwszej gałęzi (przedział domknięty $[-4, 2]$): $f(2) = 2 + 2 = 4$.</li><li>$x \\in (2, 3]$ — druga gałąź $-x + 5$, malejąca. Wartości: $\\lim_{x \\to 2^+} = 3$ (nieosiągnięta), $f(3) = 2$.</li></ul>\n<p>Największa wartość = $4$ (przy $x = 2$).</p>\n<p>12.2. — zbiór wartości i argumenty $f(x) &gt; 1$</p>\n<p>Zbiór wartości.</p>\n<ul><li>Pierwsza gałąź ($x+2$, $x \\in [-4, 2]$): od $f(-4) = -2$ do $f(2) = 4$, czyli $\\langle -2, 4 \\rangle$.</li><li>Druga gałąź ($-x+5$, $x \\in (2, 5)$): od $f(2^+) = 3$ do $f(5^-) = 0$, czyli $(0, 3)$.</li></ul>\n<p>Suma: $\\langle -2, 4 \\rangle \\cup (0, 3) = \\langle -2, 4 \\rangle$ (druga gałąź daje tylko wartości już zawarte w pierwszej).</p>\n<p>Argumenty z $f(x) &gt; 1$.</p>\n<ul><li>Pierwsza gałąź: $x + 2 &gt; 1 \\implies x &gt; -1$, w $[-4, 2]$ daje $(-1, 2\\rangle$.</li><li>Druga gałąź: $-x + 5 &gt; 1 \\implies x &lt; 4$, w $(2, 5)$ daje $(2, 4)$.</li></ul>\n<p>Suma: $(-1, 2\\rangle \\cup (2, 4) = (-1, 4)$ (w $x = 2$ wartość $4 &gt; 1$, więc nie ma dziury).</p>\n<p>Po co to umieć</p>\n<p>Funkcja kawałkami: zawsze patrz na typ nawiasów w definicji ($[$ vs $($). To one decydują, do której gałęzi należy punkt graniczny. Wykres pomaga zwizualizować, ale rachunek robisz na definicji.</p>\n<p>Typowy błąd: Pułapka: w punkcie $x = 2$ funkcja przyjmuje wartość z <strong>pierwszej</strong> gałęzi ($x+2 = 4$), bo $2 \\in [-4, 2]$ (przedział domknięty). Druga gałąź $(2, 5)$ nie obejmuje $x=2$ (kółko otwarte).</p>"}]}