{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"13","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13.\nFunkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥+ 𝑏, gdzie 𝑎 i 𝑏 są pewnymi\nliczbami rzeczywistymi. W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) przedstawiono\nfragment wykresu funkcji 𝑓. Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji 𝑓 z osiami układu\nwspółrzędnych ma obie współrzędne całkowite. Wykres funkcji 𝑓 jest nachylony do osi 𝑂𝑥\nukładu współrzędnych pod kątem o mierze 𝛼 (zobacz rysunek).\nFunkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=ax+b, gdzie a i b są pewnymi liczbami rzeczywistymi. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment wykresu funkcji f. Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji f z osiami układu współrzędnych ma obie współrzędne całkowite. Wykres funkcji f jest nachylony do osi Ox układu współrzędnych pod kątem o mierze α (zobacz rysunek). [rysunek] Tangens kąta o mierze α jest równy A. (-3/2) B. (-2/3) C. 2/3 D. 3/2","answer":"A","answer_text":null,"solution":"Odpowiedź: **13.1.** FF. **13.2.** **A** — $\\tan \\alpha = -\\frac{3}{2}$.\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\n13.1. — znaki współczynników\n\nOdczyt z wykresu. Prosta przechodzi przez $(-2, 0)$ (miejsce zerowe) i $(0, -3)$ (przecięcie z osią $Oy$).\n\nWspółczynnik $a$ (kierunkowy):\n\n$$a = \\frac{-3 - 0}{0 - (-2)} = \\frac{-3}{2} < 0$$\n\nFunkcja maleje → $a < 0$. Stwierdzenie \"$a > 0$\" jest FAŁSZEM.\n\nWspółczynnik $b$ (wyraz wolny): $f(0) = b = -3 < 0$. Stwierdzenie \"$b > 0$\" jest FAŁSZEM.\n\n13.2. — tangens kąta $\\alpha$\n\nReguła: $\\tan \\alpha = a$ (tangens kąta nachylenia = współczynnik kierunkowy).\n\n$$\\tan \\alpha = -\\frac{3}{2}$$\n\n→ A.\n\nPo co to umieć\n\nKażda funkcja liniowa $f(x) = ax + b$:\n- $a$ = nachylenie = tangens kąta z osią $Ox$ (dodatni → rośnie, ujemny → maleje).\n- $b$ = przecięcie z osią $Oy$ (czyli $f(0)$).\n\nDwa punkty na wykresie → $a = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$, $b$ odczytujesz wprost lub podstawiasz.\n\nTypowy błąd: Tangens kąta nachylenia = współczynnik kierunkowy $a$. Mimo że na rysunku $\\alpha$ wygląda jak kąt rozwarty, formalnie tangens przyjmuje wartość ujemną dla funkcji malejącej.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-13.svg","topics":"funkcja liniowa, współczynnik kierunkowy, tangens kąta","page_from":14,"source":"maturaonline","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 13.<br>Funkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥+ 𝑏, gdzie 𝑎 i 𝑏 są pewnymi<br>liczbami rzeczywistymi. W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) przedstawiono<br>fragment wykresu funkcji 𝑓. Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji 𝑓 z osiami układu<br>współrzędnych ma obie współrzędne całkowite. Wykres funkcji 𝑓 jest nachylony do osi 𝑂𝑥<br>układu współrzędnych pod kątem o mierze 𝛼 (zobacz rysunek).<br>Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=ax+b, gdzie a i b są pewnymi liczbami rzeczywistymi. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment wykresu funkcji f. Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji f z osiami układu współrzędnych ma obie współrzędne całkowite. Wykres funkcji f jest nachylony do osi Ox układu współrzędnych pod kątem o mierze α (zobacz rysunek). [rysunek] Tangens kąta o mierze α jest równy A. (-3/2) B. (-2/3) C. 2/3 D. 3/2</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-13.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: <strong>13.1.</strong> FF. <strong>13.2.</strong> <strong>A</strong> — $\\tan \\alpha = -\\frac{3}{2}$.</p>\n<p>Strona arkusza CKE z trescia zadania</p>\n<p>Co zrobić?</p>\n<p>13.1. — znaki współczynników</p>\n<p>Odczyt z wykresu. Prosta przechodzi przez $(-2, 0)$ (miejsce zerowe) i $(0, -3)$ (przecięcie z osią $Oy$).</p>\n<p>Współczynnik $a$ (kierunkowy):</p>\n<p>$$a = \\frac{-3 - 0}{0 - (-2)} = \\frac{-3}{2} &lt; 0$$</p>\n<p>Funkcja maleje → $a &lt; 0$. Stwierdzenie &quot;$a &gt; 0$&quot; jest FAŁSZEM.</p>\n<p>Współczynnik $b$ (wyraz wolny): $f(0) = b = -3 &lt; 0$. Stwierdzenie &quot;$b &gt; 0$&quot; jest FAŁSZEM.</p>\n<p>13.2. — tangens kąta $\\alpha$</p>\n<p>Reguła: $\\tan \\alpha = a$ (tangens kąta nachylenia = współczynnik kierunkowy).</p>\n<p>$$\\tan \\alpha = -\\frac{3}{2}$$</p>\n<p>→ A.</p>\n<p>Po co to umieć</p>\n<p>Każda funkcja liniowa $f(x) = ax + b$:</p>\n<ul><li>$a$ = nachylenie = tangens kąta z osią $Ox$ (dodatni → rośnie, ujemny → maleje).</li><li>$b$ = przecięcie z osią $Oy$ (czyli $f(0)$).</li></ul>\n<p>Dwa punkty na wykresie → $a = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$, $b$ odczytujesz wprost lub podstawiasz.</p>\n<p>Typowy błąd: Tangens kąta nachylenia = współczynnik kierunkowy $a$. Mimo że na rysunku $\\alpha$ wygląda jak kąt rozwarty, formalnie tangens przyjmuje wartość ujemną dla funkcji malejącej.</p>"}]}