{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/13.1","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"13.1","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13.1. (0-1)\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nWspółczynnik 𝑎 we wzorze funkcji 𝑓 jest liczbą dodatnią.\nP\nF\nWspółczynnik 𝑏 we wzorze funkcji 𝑓 jest liczbą dodatnią.\nP\nF\n1\n2\n3\n4\n𝑦\n5\n-1\n-2\n-3\n-4\n-5\n1 2 3 4\n-1\n-2\n5\n0\n𝑥\n-5 -4 -3\n𝑦= 𝑓(𝑥)\n𝛼\n\nMMAP-P0_100\nFunkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=ax+b, gdzie a i b są pewnymi liczbami rzeczywistymi. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment wykresu funkcji f. Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji f z osiami układu współrzędnych ma obie współrzędne całkowite. Wykres funkcji f jest nachylony do osi Ox układu współrzędnych pod kątem o mierze α (zobacz rysunek). [rysunek] Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Współczynnik a we wzorze funkcji f jest liczbą dodatnią. | P | F | Współczynnik b we wzorze funkcji f jest liczbą dodatnią. | P | F |","answer":"FF","answer_text":"Zadanie 13.1. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.5) interpretuje współczynniki występujące\nwe wzorze funkcji liniowej.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nFF\nFF","solution":"## Poprawna odpowiedz: 1 - F (Fałsz), 2 - P (Prawda)\n\nFunkcja liniowa ma wzór \\( f(x) = ax + b \\), gdzie:\n- \\( a \\) to **współczynnik kierunkowy** (decyduje o nachyleniu prostej),\n- \\( b \\) to **wyraz wolny** = rzędna punktu przecięcia wykresu z osią \\( Oy \\).\n\nNa rysunku wykres funkcji \\( f \\) jest prostą **malejącą** (opada od lewej do prawej strony), która przecina oś \\( Oy \\) **powyżej** początku układu (w punkcie o dodatniej, całkowitej rzędnej). Kąt \\( \\alpha \\) nachylenia do osi \\( Ox \\) jest kątem **rozwartym** (między \\( 90^\\circ \\) a \\( 180^\\circ \\)) - tak CKE zaznacza nachylenie prostej malejącej.\n\n## Sposob 1 - interpretacja geometryczna współczynników \\( a \\) i \\( b \\)\n\n### Krok 1. Znak współczynnika \\( a \\) (stwierdzenie 1)\n\nWspółczynnik kierunkowy \\( a \\) jest związany z kątem nachylenia \\( \\alpha \\) wzorem:\n\\[\na = \\operatorname{tg}\\alpha\n\\]\n(KARTA WZORÓW CKE EM2023, dział **Geometria analityczna - prosta**: współczynnik kierunkowy prostej nachylonej do osi \\( Ox \\) pod kątem \\( \\alpha \\) wynosi \\( a = \\operatorname{tg}\\alpha \\)).\n\nProsta jest **malejąca**, czyli ze wzrostem argumentu \\( x \\) wartości \\( f(x) \\) **maleją**. Dla funkcji malejącej współczynnik kierunkowy jest **ujemny**:\n\\[\nf \\text{ malejąca} \\iff a < 0.\n\\]\n\nMożna to też uzasadnić przez kąt: dla prostej malejącej kąt \\( \\alpha \\) jest rozwarty (\\( 90^\\circ < \\alpha < 180^\\circ \\)), a wtedy:\n\\[\na = \\operatorname{tg}\\alpha < 0.\n\\]\n\nZatem współczynnik \\( a \\) **nie jest** liczbą dodatnią (jest ujemny).\n\n**Stwierdzenie 1 jest FAŁSZYWE → F.**\n\n### Krok 2. Znak współczynnika \\( b \\) (stwierdzenie 2)\n\nWyraz wolny \\( b \\) to **rzędna punktu przecięcia wykresu z osią \\( Oy \\)**, bo:\n\\[\nf(0) = a\\cdot 0 + b = b,\n\\]\nwięc wykres przecina oś \\( Oy \\) w punkcie \\( (0,\\, b) \\).\n\nZ rysunku wykres przecina oś \\( Oy \\) **powyżej** osi \\( Ox \\) (w punkcie o dodatniej współrzędnej całkowitej), zatem:\n\\[\nb > 0.\n\\]\n\n**Stwierdzenie 2 jest PRAWDZIWE → P.**\n\n## Podsumowanie\n\n| Stwierdzenie | Treść | Ocena |\n| 1 | \\( a \\) jest dodatni | **F** (bo prosta malejąca, \\( a<0 \\)) |\n| 2 | \\( b \\) jest dodatni | **P** (bo wykres tnie oś \\( Oy \\) powyżej zera) |\n\n## Typowe pulapki\n\n- **Mylenie \\( a \\) z \\( b \\).** \\( a \\) odpowiada za nachylenie (rośnie/maleje), a \\( b \\) za punkt przecięcia z osią \\( Oy \\). Nie czytaj znaku \\( a \\) z miejsca przecięcia z osią \\( Oy \\).\n- **Kąt rozwarty a znak tangensa.** Gdy prosta jest malejąca, kąt \\( \\alpha \\) jest rozwarty i \\( \\operatorname{tg}\\alpha < 0 \\) - wielu uczniów błędnie przyjmuje \\( a > 0 \\), bo \"widzą\" kąt. Pamiętaj: prosta opadająca zawsze ma \\( a < 0 \\), niezależnie od tego, jak narysowano kąt.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-13.1.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-13.1.svg","topics":"funkcja liniowa, współczynnik kierunkowy, tangens kąta, funkcje","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 13.1. (0-1)
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest
prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.
Współczynnik 𝑎 we wzorze funkcji 𝑓 jest liczbą dodatnią.
P
F
Współczynnik 𝑏 we wzorze funkcji 𝑓 jest liczbą dodatnią.
P
F
1
2
3
4
𝑦
5
-1
-2
-3
-4
-5
1 2 3 4
-1
-2
5
0
𝑥
-5 -4 -3
𝑦= 𝑓(𝑥)
𝛼

\n

MMAP-P0_100
Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=ax+b, gdzie a i b są pewnymi liczbami rzeczywistymi. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment wykresu funkcji f. Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji f z osiami układu współrzędnych ma obie współrzędne całkowite. Wykres funkcji f jest nachylony do osi Ox układu współrzędnych pod kątem o mierze α (zobacz rysunek). [rysunek] Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Współczynnik a we wzorze funkcji f jest liczbą dodatnią. | P | F | Współczynnik b we wzorze funkcji f jest liczbą dodatnią. | P | F |

","answer_text_html":"

Zadanie 13.1. (0-1)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.

\n
  1. Interpretowanie i operowanie
\n

informacjami przedstawionymi w tekście,
zarówno matematycznym, jak
i popularnonaukowym, a także w formie
wykresów, diagramów, tabel.
Zdający:
V.5) interpretuje współczynniki występujące
we wzorze funkcji liniowej.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A
Wersja B
FF
FF

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-13.1.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedz: 1 - F (Fałsz), 2 - P (Prawda)

\n

Funkcja liniowa ma wzór \\( f(x) = ax + b \\), gdzie:

\n\n

Na rysunku wykres funkcji \\( f \\) jest prostą malejącą (opada od lewej do prawej strony), która przecina oś \\( Oy \\) powyżej początku układu (w punkcie o dodatniej, całkowitej rzędnej). Kąt \\( \\alpha \\) nachylenia do osi \\( Ox \\) jest kątem rozwartym (między \\( 90^\\circ \\) a \\( 180^\\circ \\)) - tak CKE zaznacza nachylenie prostej malejącej.

\n

Sposob 1 - interpretacja geometryczna współczynników \\( a \\) i \\( b \\)

\n
Krok 1. Znak współczynnika \\( a \\) (stwierdzenie 1)
\n

Współczynnik kierunkowy \\( a \\) jest związany z kątem nachylenia \\( \\alpha \\) wzorem:
\\[
a = \\operatorname{tg}\\alpha
\\]
(KARTA WZORÓW CKE EM2023, dział Geometria analityczna - prosta: współczynnik kierunkowy prostej nachylonej do osi \\( Ox \\) pod kątem \\( \\alpha \\) wynosi \\( a = \\operatorname{tg}\\alpha \\)).

\n

Prosta jest malejąca, czyli ze wzrostem argumentu \\( x \\) wartości \\( f(x) \\) maleją. Dla funkcji malejącej współczynnik kierunkowy jest ujemny:
\\[
f \\text{ malejąca} \\iff a < 0.
\\]

\n

Można to też uzasadnić przez kąt: dla prostej malejącej kąt \\( \\alpha \\) jest rozwarty (\\( 90^\\circ < \\alpha < 180^\\circ \\)), a wtedy:
\\[
a = \\operatorname{tg}\\alpha < 0.
\\]

\n

Zatem współczynnik \\( a \\) nie jest liczbą dodatnią (jest ujemny).

\n

Stwierdzenie 1 jest FAŁSZYWE → F.

\n
Krok 2. Znak współczynnika \\( b \\) (stwierdzenie 2)
\n

Wyraz wolny \\( b \\) to rzędna punktu przecięcia wykresu z osią \\( Oy \\), bo:
\\[
f(0) = a\\cdot 0 + b = b,
\\]
więc wykres przecina oś \\( Oy \\) w punkcie \\( (0,\\, b) \\).

\n

Z rysunku wykres przecina oś \\( Oy \\) powyżej osi \\( Ox \\) (w punkcie o dodatniej współrzędnej całkowitej), zatem:
\\[
b > 0.
\\]

\n

Stwierdzenie 2 jest PRAWDZIWE → P.

\n

Podsumowanie

\n

| Stwierdzenie | Treść | Ocena |
| 1 | \\( a \\) jest dodatni | F (bo prosta malejąca, \\( a<0 \\)) |
| 2 | \\( b \\) jest dodatni | P (bo wykres tnie oś \\( Oy \\) powyżej zera) |

\n

Typowe pulapki

\n"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Z wykresu widać, że funkcja jest malejąca.

\n

Oznacza to, że współczynnik kierunkowy a jest ujemny.

\n

Pierwsze zdanie: fałsz.

\n

Punkt przecięcia wykresu z osią OY leży poniżej osi OX .

\n

Oznacza to, że współczynnik b jest ujemny.

\n

Drugie zdanie: fałsz.

\n

Odpowiedź: F, F

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"
  1. FAŁSZ 2) FAŁSZ
"}]}