{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/13.2","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"13.2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13.2. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nTangens kąta o mierze 𝛼 jest równy\nA. (-3\n2)\nB. (-2\n3)\nC. 2\n3\nD. 3\n2\n\nMMAP-P0_100","answer":"A","answer_text":"Zadanie 13.2. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.11) wykorzystuje własności funkcji\nliniowej […] do interpretacji zagadnień\ngeometrycznych […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nA\nD","solution":"**A** — $\\tan \\alpha = -\\frac{3}{2}$.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-13.2.webp","solution_image":null,"topics":"funkcja liniowa, współczynnik kierunkowy, tangens kąta, funkcje","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 13.2. (0-1)<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Tangens kąta o mierze 𝛼 jest równy<br>A. (-3<br>2)<br>B. (-2<br>3)<br>C. 2<br>3<br>D. 3<br>2</p>\n<p>MMAP-P0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 13.2. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.</p>\n<ol><li>Interpretowanie i operowanie</li></ol>\n<p>informacjami przedstawionymi w tekście,<br>zarówno matematycznym, jak<br>i popularnonaukowym, a także w formie<br>wykresów, diagramów, tabel.<br>Zdający:<br>V.11) wykorzystuje własności funkcji<br>liniowej […] do interpretacji zagadnień<br>geometrycznych […].<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>Wersja A<br>Wersja B<br>A<br>D</p>","solutions":[{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p><strong>A</strong> — $\\tan \\alpha = -\\frac{3}{2}$.</p>"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedz: A</h4>\n<p>Tangens kąta nachylenia wykresu funkcji liniowej do osi \\(Ox\\) jest równy współczynnikowi kierunkowemu \\(a\\). Z rysunku odczytujemy całkowite punkty przecięcia z osiami, wyznaczamy \\(a\\) i otrzymujemy:</p>\n<p>\\[<br>\\operatorname{tg}\\alpha = a = -\\dfrac{3}{2}.<br>\\]</p>\n<h4>Sposob 1 - odczyt punktow z wykresu i wzor na wspolczynnik kierunkowy</h4>\n<p><strong>Krok 1. Kluczowa wlasnosc.</strong><br>Dla funkcji liniowej \\(f(x) = ax + b\\) współczynnik kierunkowy \\(a\\) jest równy tangensowi kąta \\(\\alpha\\), pod jakim wykres jest nachylony do osi \\(Ox\\):<br>\\[<br>a = \\operatorname{tg}\\alpha.<br>\\]<br>(Karta wzorów CKE EM2023, dział &quot;Geometria analityczna / Funkcja liniowa&quot; - równanie kierunkowe prostej \\(y = ax + b\\), gdzie \\(a\\) to współczynnik kierunkowy.)</p>\n<p><strong>Krok 2. Odczytanie punktow przeciecia z osiami.</strong><br>Treść mówi, że oba punkty przecięcia wykresu z osiami mają współrzędne całkowite, więc można je dokładnie odczytać z rysunku:</p>\n<ul><li>przecięcie z osią \\(Ox\\): punkt \\(P = (-2,\\ 0)\\),</li><li>przecięcie z osią \\(Oy\\): punkt \\(Q = (0,\\ -3)\\).</li></ul>\n<p><strong>Krok 3. Obliczenie wspolczynnika kierunkowego.</strong><br>Korzystamy ze wzoru na współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty \\((x_1,y_1)\\) i \\((x_2,y_2)\\):<br>\\[<br>a = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.<br>\\]<br>Podstawiamy \\(P = (-2,0)\\) oraz \\(Q = (0,-3)\\):<br>\\[<br>a = \\frac{-3 - 0}{0 - (-2)} = \\frac{-3}{2} = -\\frac{3}{2}.<br>\\]</p>\n<p><strong>Krok 4. Wniosek.</strong><br>Ponieważ \\(\\operatorname{tg}\\alpha = a\\), to<br>\\[<br>\\operatorname{tg}\\alpha = -\\frac{3}{2}.<br>\\]<br>To odpowiada wariantowi <strong>A</strong>.</p>\n<p><strong>Sprawdzenie znaku (spojnosc z rysunkiem).</strong><br>Wykres jest malejący (opada od lewej do prawej), więc \\(a &lt; 0\\). Kąt \\(\\alpha\\) zaznaczony na rysunku między dodatnią półosią \\(Ox\\) a prostą jest kątem rozwartym (\\(90^\\circ &lt; \\alpha &lt; 180^\\circ\\)), a dla takiego kąta \\(\\operatorname{tg}\\alpha &lt; 0\\). Wynik \\(-\\tfrac{3}{2}\\) jest więc zgodny z rysunkiem.</p>\n<h4>Dlaczego pozostale sa bledne</h4>\n<ul><li><strong>B. \\(-\\dfrac{2}{3}\\)</strong> - to odwrotność wartości bezwzględnej współczynnika. Błąd powstaje przy odwróceniu ułamka \\(\\dfrac{\\Delta y}{\\Delta x}\\) na \\(\\dfrac{\\Delta x}{\\Delta y}\\) (pomylenie, co jest licznikiem, a co mianownikiem). Poprawny iloraz to wzrost \\(y\\) przez wzrost \\(x\\), czyli \\(\\dfrac{-3}{2}\\).</li><li><strong>C. \\(\\dfrac{2}{3}\\)</strong> - wartość zarówno odwrócona, jak i z błędnym (dodatnim) znakiem; ignoruje to, że prosta maleje.</li><li><strong>D. \\(\\dfrac{3}{2}\\)</strong> - poprawna wartość bezwzględna nachylenia, ale z błędnym znakiem. Odpowiadałaby prostej rosnącej, a wykres na rysunku opada.</li></ul>\n<h4>Typowe pulapki</h4>\n<ol><li><strong>Znak współczynnika.</strong> Wykres jest malejący, więc \\(a\\) (a tym samym \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\)) musi być ujemny. Odrzucenie znaku to najczęstszy błąd - od razu eliminuje warianty C i D.</li><li><strong>Kolejność w ilorazie różnicowym.</strong> \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\Delta y}{\\Delta x}\\) (zmiana \\(y\\) na zmianę \\(x\\)), a nie odwrotnie. Odwrócenie ułamka daje błędne \\(\\pm\\tfrac{2}{3}\\) (warianty B i C).</li></ol>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Z wykresu odczytujemy dwa punkty należące do prostej, na przykład:</p>\n<p>(-2,0) oraz (0,-3)</p>\n<p>Współczynnik kierunkowy prostej jest równy tangensowi kąta nachylenia prostej do osi OX :</p>\n<p>a=(-3-0)/(0-(-2))</p>\n<p>a=(-3)/(2)</p>\n<p>Zatem:</p>\n<p>tgα=-(3)/(2)</p>\n<p>Odpowiedź: A. (-(3)/(2) )</p>"}]}