{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"14","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-4)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) wykresem funkcji kwadratowej 𝑓 jest\nparabola o wierzchołku w punkcie 𝑊= (3, -2).\nFunkcja kwadratowa 𝑔 jest określona za pomocą funkcji 𝑓 wzorem 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥+ 1).\nJednym z miejsc zerowych funkcji 𝑔 jest liczba 0.\nWyznacz wzór funkcji 𝒇 w postaci ogólnej. Zapisz obliczenia.\n14.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w punkcie W = (3,-2). Funkcja kwadratowa g jest określona za pomocą funkcji f wzorem g(x) = f(x+1). Jednym z miejsc zerowych funkcji g jest liczba 0. Wyznacz wzór funkcji f w postaci ogólnej.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 14. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nV.9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na\npodstawie informacji o tej funkcji lub o jej\nwykresie.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑓(𝑥) = 1\n2 𝑥2 -3𝑥+ 5\n2\n3 pkt - spełnienie jednego z kryteriów za 2 punkty oraz obliczenie wartości jednego ze\nwspółczynników 𝑎, 𝑏 lub 𝑐 funkcji 𝑓: 𝑎= 1\n2 lub 𝑏= -3, lub 𝑐= 5\n2 .\n2 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-3)2 -2 oraz zapisanie, że\njednym z miejsc zerowych funkcji 𝑓 jest liczba 1\nALBO\n- zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-1)(𝑥-5) lub\n𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-1)2 -4𝑎(𝑥-1),\nALBO\n- wykorzystanie wzoru funkcji 𝑔 w postaci kanonicznej (lub iloczynowej) i zapisanie\nrównania z jedną niewiadomą 𝑎, np. 0 = 𝑎(0 -2)2 -2, 0 = 𝑎(4 -2)2 -2,\n-2 = 𝑎⋅2 ⋅(2 -4),\nALBO\n- zapisanie układu trzech niezależnych równań z trzema niewiadomymi 𝑎, 𝑏, 𝑐\nprowadzącego do obliczenia wartości współczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐, np.:\n𝑎⋅12 + 𝑏⋅1 + 𝑐= 0 oraz -𝑏\n2𝑎= 3 oraz -(𝑏2 - 4𝑎𝑐)\n4𝑎\n= -2\nlub\n𝑎⋅12 + 𝑏⋅1 + 𝑐= 0 oraz -𝑏\n2𝑎= 3 oraz 𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= -2.\n1 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-3)2 -2\nALBO\n- zapisanie, że jednym z miejsc zerowych funkcji 𝑓 jest liczba 1,\nALBO\n- zapisanie, że wierzchołkiem wykresu funkcji 𝑔 jest punkt o współrzędnych (2, -2),\nALBO\n- zapisanie, że drugim miejscem zerowym funkcji 𝑔 jest liczba 4,\nALBO\n- zapisanie układu dwóch niezależnych równań z trzema niewiadomymi 𝑎, 𝑏, 𝑐, np.:\n-𝑏\n2𝑎= 3 oraz -(𝑏2 - 4𝑎𝑐)\n4𝑎\n= -2\nlub\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n-𝑏\n2𝑎= 3 oraz 𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= -2,\nlub\n𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0 oraz 𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= -2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający obliczy poprawnie wartości współczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐 we wzorze\nfunkcji 𝑓, to może otrzymać 4 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający poprawnie obliczy/poda\na) miejsce zerowe funkcji 𝑓, ale zapisze błędne równanie\n0 = 𝑎(1 + 3)2 -2 lub\n0 = 𝑎(5 + 3)2 -2, lub\n0 = 𝑎(1 -3) -2, lub\n0 = 𝑎(5 -3) -2,\nb) miejsca zerowe funkcji 𝑓, ale zapisze błędne równanie\n-2 = 𝑎(3 + 1)(3 + 5) lub\n-2 = 𝑎(3 + 1)(3 -5), lub\n-2 = 𝑎(3 -1)(3 + 5),\na następnie konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to może\notrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający błędnie zidentyfikuje miejsce zerowe funkcji 𝑓 jako (-1) lub 0,\na następnie konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to może\notrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\n4. Jeżeli zdający poprawnie obliczy/poda\na) współrzędne wierzchołka wykresu funkcji 𝑔, ale zapisze błędne równanie\n0 = 𝑎(0 + 2)2 -2,\nb) współrzędne wierzchołka wykresu funkcji 𝑔 oraz drugie miejsce zerowe tej funkcji,\nale zapisze błędne równanie -2 = 𝑎⋅2 ⋅(2 + 4) lub 4 = 𝑎(0 -2)2 -2,\na następnie konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to może\notrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\n5. Jeżeli zdający błędnie zidentyfikuje wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji 𝑔,\njako punkt (4, -2) albo (3, -1), albo (3, -3), a następnie konsekwentnie do\npopełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty\nza całe rozwiązanie.\n6. Jeżeli zdający obliczy poprawnie wartość współczynnika 𝑎 we wzorze funkcji 𝑔, lecz do\nwzoru funkcji 𝑓 wstawia inną wartość tego współczynnika, to otrzymuje 2 punkty za całe\nrozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nKorzystamy ze wzoru na postać kanoniczną funkcji kwadratowej i zapisujemy:\n𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-3)2 -2, gdzie 𝑎≠0.\nPonieważ liczba 0 jest jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej 𝑔 określonej\nwzorem 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥+ 1), więc:\n𝑔(0) = 0\nStąd:\n𝑓(0 + 1) = 0\n𝑓(1) = 0\nZatem:\n𝑎(1 -3)2 -2 = 0\n4𝑎-2 = 0\n𝑎= 1\n2\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej:\n𝑓(𝑥) = 1\n2 (𝑥-3)2 -2\nPrzekształcamy wzór funkcji 𝑓 do postaci ogólnej:\n𝑓(𝑥) = 1\n2 (𝑥-3)2 -2 = 1\n2 (𝑥2 -6𝑥+ 9) -2 = 1\n2 𝑥2 -3𝑥+ 5\n2\nSposób II\nPonieważ liczba 0 jest jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej 𝑔 określonej\nwzorem 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥+ 1), więc:\n𝑔(0) = 0\nStąd:\n𝑓(0 + 1) = 0\n𝑓(1) = 0\nTo oznacza, że jednym z miejsc zerowych funkcji 𝑓 jest liczba 1.\nWykres funkcji 𝑓 jest symetryczny względem prostej o równaniu 𝑥= 3, zatem drugim\nmiejscem zerowym funkcji 𝑓 jest liczba 5.\nKorzystamy ze wzoru na postać iloczynową funkcji kwadratowej i zapisujemy:\n𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-1)(𝑥-5), gdzie 𝑎≠0.\nPunkt (3, -2) leży na wykresie funkcji 𝑓, więc:\n𝑓(3) = -2\n𝑎(3 -1)(3 -5) = -2\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n-4𝑎= -2\n𝑎= 1\n2\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci iloczynowej:\n𝑓(𝑥) = 1\n2 (𝑥-1)(𝑥-5)\nPrzekształcamy wzór funkcji 𝑓 do postaci ogólnej:\n𝑓(𝑥) = 1\n2 (𝑥-1)(𝑥-5) = 1\n2 (𝑥2 -6𝑥+ 5) = 1\n2 𝑥2 -3𝑥+ 5\n2\nSposób III\nKorzystamy ze wzoru na postać ogólną funkcji kwadratowej i zapisujemy:\n𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐, gdzie 𝑎≠0.\nOdcięta wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓 jest równa 3. Zatem:\n-𝑏\n2𝑎= 3\n𝑏= -6𝑎\nRzędna wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓 jest równa (-2). Zatem:\n-∆\n4𝑎= -2\n-(𝑏2 -4𝑎𝑐)\n4𝑎\n= -2\nPodstawiamy do ostatniego równania w miejsce 𝑏 wyrażenie (-6𝑎) i otrzymujemy:\n-((-6𝑎)2 -4𝑎𝑐)\n4𝑎\n= -2\n4𝑎⋅(-9𝑎+ 𝑐)\n4𝑎\n= -2\n-9𝑎+ 𝑐= -2\n𝑐= 9𝑎-2\nPonieważ liczba 0 jest jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej 𝑔 określonej\nwzorem 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥+ 1), więc:\n𝑔(0) = 0\nZatem:\n𝑓(0 + 1) = 0\n𝑓(1) = 0\n𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0\nStąd i z uzyskanych wcześniej równań obliczamy wartości współczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐:\n𝑎+ (-6𝑎) + (9𝑎-2) = 0\n4𝑎= 2\n𝑎= 1\n2\n𝑏= -6𝑎= -6 ⋅1\n2 = -3\n𝑐= 9𝑎-2 = 9 ⋅1\n2 -2 = 5\n2\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci ogólnej:\n𝑓(𝑥) = 1\n2 𝑥2 -3𝑥+ 5\n2\nSposób IV\nKorzystamy ze wzoru na postać ogólną funkcji kwadratowej i zapisujemy:\n𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐, gdzie 𝑎≠0.\nWykres funkcji 𝑔 powstaje w wyniku przesunięcia wykresu funkcji 𝑓 wzdłuż osi 𝑂𝑥\no 1 jednostkę w lewo. Zatem miejscem zerowym funkcji 𝑓 jest liczba 1.\nWykres funkcji 𝑓 jest symetryczny względem prostej o równaniu 𝑥= 3, więc drugim\nmiejscem zerowym funkcji 𝑓 jest liczba 5. Stąd i z tego, że punkt (3, -2) leży na wykresie\nfunkcji 𝑓, otrzymujemy układ równań:\n{\n𝑓(1) = 0\n𝑓(5) = 0\n𝑓(3) = -2\n{\n𝑎⋅12 + 𝑏⋅1 + 𝑐= 0\n𝑎⋅52 + 𝑏⋅5 + 𝑐= 0\n𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= -2\n{\n𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0\n25𝑎+ 5𝑏+ 𝑐= 0\n9𝑎+ 3𝑏+ 𝑐= -2\n{\n𝑐= -𝑎-𝑏\n25𝑎+ 5𝑏+ 𝑐= 0\n9𝑎+ 3𝑏+ 𝑐= -2\n{ 25𝑎+ 5𝑏-𝑎-𝑏= 0\n9𝑎+ 3𝑏-𝑎-𝑏= -2\n{ 24𝑎+ 4𝑏= 0 /: 4\n8𝑎+ 2𝑏= -2 /: 2\n{ 6𝑎+ 𝑏= 0\n4𝑎+ 𝑏= -1\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nOdejmując równania stronami, otrzymujemy:\n(6𝑎+ 𝑏) -(4𝑎+ 𝑏) = 0 -(-1)\n2𝑎= 1\n𝑎= 1\n2\nStąd:\n𝑏= -6𝑎= -6 ⋅1\n2 = -3 oraz 𝑐= -𝑎-𝑏= -1\n2 -(-3) = 5\n2\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci ogólnej:\n𝑓(𝑥) = 1\n2 𝑥2 -3𝑥+ 5\n2\nSposób V\nWykres funkcji 𝑔 powstaje w wyniku przesunięcia wykresu funkcji 𝑓 wzdłuż osi 𝑂𝑥\no 1 jednostkę w lewo. Zatem wykresem funkcji 𝑔 jest parabola o wierzchołku w punkcie\n(2, -2).\nKorzystamy ze wzoru na postać kanoniczną funkcji kwadratowej i zapisujemy:\n𝑔(𝑥) = 𝑎(𝑥-2)2 -2, gdzie 𝑎≠0.\nPonieważ liczba 0 jest jednym z miejsc zerowych funkcji 𝑔, więc:\n𝑔(0) = 0\nStąd:\n𝑎(0 -2)2 -2 = 0\n4𝑎= 2\n𝑎= 1\n2\nZapisujemy wzór funkcji 𝑔 w postaci kanonicznej:\n𝑔(𝑥) = 1\n2 (𝑥-2)2 -2\nPonieważ 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥+ 1), więc 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥-1).\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej:\n𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥-1) = 1\n2 (𝑥-1 -2)2 -2 = 1\n2 (𝑥-3)2 -2\nPrzekształcamy wzór funkcji 𝑓 do postaci ogólnej:\n𝑓(𝑥) = 1\n2 (𝑥-3)2 -2 = 1\n2 (𝑥2 -6𝑥+ 9) -2 = 1\n2 𝑥2 -3𝑥+ 5\n2","solution":"Odpowiedź: $f(x) = \\frac{1}{2}x^2 - 3x + \\frac{5}{2}$\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nPostać kanoniczna $f$. Wierzchołek $(3, -2)$ → $f(x) = a(x-3)^2 - 2$.\n\nWykorzystaj informację o $g$. $g(x) = f(x+1)$, więc:\n\n$$g(0) = f(0+1) = f(1) = 0$$\n\nCzyli $f(1) = 0$.\n\nWyznacz $a$. Podstaw $x = 1$:\n\n$$a(1-3)^2 - 2 = 0$$\n\n$$4a = 2$$\n\n$$a = \\frac{1}{2}$$\n\nRozwiń do postaci ogólnej.\n\n$$f(x) = \\frac{1}{2}(x-3)^2 - 2 = \\frac{1}{2}(x^2 - 6x + 9) - 2$$\n\n$$f(x) = \\frac{1}{2}x^2 - 3x + \\frac{9}{2} - 2 = \\frac{1}{2}x^2 - 3x + \\frac{5}{2}$$\n\nSprawdzenie.\n- Wierzchołek $x_W = -\\frac{-3}{2 \\cdot \\frac{1}{2}} = 3$ ✓\n- $f(3) = \\frac{9}{2} - 9 + \\frac{5}{2} = 7 - 9 = -2$ ✓\n- $f(1) = \\frac{1}{2} - 3 + \\frac{5}{2} = 0$ ✓\n\nPo co to umieć\n\nDwa rodzaje informacji o paraboli:\n- Wierzchołek $(p, q)$ → postać kanoniczna $a(x-p)^2 + q$.\n- Miejsca zerowe $x_1, x_2$ → postać iloczynowa $a(x-x_1)(x-x_2)$.\n\nMając jedno + jeden punkt → wyznaczasz $a$. Rozwijasz do ogólnej tylko na końcu.\n\nPrzekształcenia: $f(x+k)$ → przesunięcie w lewo o $k$; $f(x-k)$ → w prawo.\n\nTypowy błąd: Pułapka: $g(x) = f(x+1)$ to **przesunięcie wykresu w lewo o 1**. Jeśli $0$ jest miejscem zerowym $g$, to $f(1) = 0$ — odpowiada miejscu zerowemu $f$ przesuniętemu w prawo o 1.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-14.svg","topics":"funkcja kwadratowa, postać kanoniczna, przesunięcie wykresu, funkcje","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 14. (0-4)
W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) wykresem funkcji kwadratowej 𝑓 jest
parabola o wierzchołku w punkcie 𝑊= (3, -2).
Funkcja kwadratowa 𝑔 jest określona za pomocą funkcji 𝑓 wzorem 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥+ 1).
Jednym z miejsc zerowych funkcji 𝑔 jest liczba 0.
Wyznacz wzór funkcji 𝒇 w postaci ogólnej. Zapisz obliczenia.
14.
0-1-
2-3-4

\n

MMAP-P0_100

\n

MMAP-P0_100
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w punkcie W = (3,-2). Funkcja kwadratowa g jest określona za pomocą funkcji f wzorem g(x) = f(x+1). Jednym z miejsc zerowych funkcji g jest liczba 0. Wyznacz wzór funkcji f w postaci ogólnej.

","answer_text_html":"

Zadanie 14. (0-4)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.

\n
  1. Stosowanie i tworzenie strategii przy
\n

rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach
nietypowych.
Zdający:
V.9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na
podstawie informacji o tej funkcji lub o jej
wykresie.
Zasady oceniania
4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑓(𝑥) = 1
2 𝑥2 -3𝑥+ 5
2
3 pkt - spełnienie jednego z kryteriów za 2 punkty oraz obliczenie wartości jednego ze
współczynników 𝑎, 𝑏 lub 𝑐 funkcji 𝑓: 𝑎= 1
2 lub 𝑏= -3, lub 𝑐= 5
2 .
2 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-3)2 -2 oraz zapisanie, że
jednym z miejsc zerowych funkcji 𝑓 jest liczba 1
ALBO

\n\n

𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-1)2 -4𝑎(𝑥-1),
ALBO

\n\n

równania z jedną niewiadomą 𝑎, np. 0 = 𝑎(0 -2)2 -2, 0 = 𝑎(4 -2)2 -2,
-2 = 𝑎⋅2 ⋅(2 -4),
ALBO

\n\n

prowadzącego do obliczenia wartości współczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐, np.:
𝑎⋅12 + 𝑏⋅1 + 𝑐= 0 oraz -𝑏
2𝑎= 3 oraz -(𝑏2 - 4𝑎𝑐)
4𝑎
= -2
lub
𝑎⋅12 + 𝑏⋅1 + 𝑐= 0 oraz -𝑏
2𝑎= 3 oraz 𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= -2.
1 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-3)2 -2
ALBO

\n\n

ALBO

\n\n

ALBO

\n\n

ALBO

\n\n

-𝑏
2𝑎= 3 oraz -(𝑏2 - 4𝑎𝑐)
4𝑎
= -2
lub
Zasady oceniania rozwiązań zadań
-𝑏
2𝑎= 3 oraz 𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= -2,
lub
𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0 oraz 𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= -2.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający obliczy poprawnie wartości współczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐 we wzorze
\n

funkcji 𝑓, to może otrzymać 4 punkty za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający poprawnie obliczy/poda
\n

a) miejsce zerowe funkcji 𝑓, ale zapisze błędne równanie
0 = 𝑎(1 + 3)2 -2 lub
0 = 𝑎(5 + 3)2 -2, lub
0 = 𝑎(1 -3) -2, lub
0 = 𝑎(5 -3) -2,
b) miejsca zerowe funkcji 𝑓, ale zapisze błędne równanie
-2 = 𝑎(3 + 1)(3 + 5) lub
-2 = 𝑎(3 + 1)(3 -5), lub
-2 = 𝑎(3 -1)(3 + 5),
a następnie konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to może
otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający błędnie zidentyfikuje miejsce zerowe funkcji 𝑓 jako (-1) lub 0,
\n

a następnie konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to może
otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający poprawnie obliczy/poda
\n

a) współrzędne wierzchołka wykresu funkcji 𝑔, ale zapisze błędne równanie
0 = 𝑎(0 + 2)2 -2,
b) współrzędne wierzchołka wykresu funkcji 𝑔 oraz drugie miejsce zerowe tej funkcji,
ale zapisze błędne równanie -2 = 𝑎⋅2 ⋅(2 + 4) lub 4 = 𝑎(0 -2)2 -2,
a następnie konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to może
otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający błędnie zidentyfikuje wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji 𝑔,
\n

jako punkt (4, -2) albo (3, -1), albo (3, -3), a następnie konsekwentnie do
popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty
za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający obliczy poprawnie wartość współczynnika 𝑎 we wzorze funkcji 𝑔, lecz do
\n

wzoru funkcji 𝑓 wstawia inną wartość tego współczynnika, to otrzymuje 2 punkty za całe
rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Korzystamy ze wzoru na postać kanoniczną funkcji kwadratowej i zapisujemy:
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-3)2 -2, gdzie 𝑎≠0.
Ponieważ liczba 0 jest jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej 𝑔 określonej
wzorem 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥+ 1), więc:
𝑔(0) = 0
Stąd:
𝑓(0 + 1) = 0
𝑓(1) = 0
Zatem:
𝑎(1 -3)2 -2 = 0
4𝑎-2 = 0
𝑎= 1
2
Zapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej:
𝑓(𝑥) = 1
2 (𝑥-3)2 -2
Przekształcamy wzór funkcji 𝑓 do postaci ogólnej:
𝑓(𝑥) = 1
2 (𝑥-3)2 -2 = 1
2 (𝑥2 -6𝑥+ 9) -2 = 1
2 𝑥2 -3𝑥+ 5
2
Sposób II
Ponieważ liczba 0 jest jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej 𝑔 określonej
wzorem 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥+ 1), więc:
𝑔(0) = 0
Stąd:
𝑓(0 + 1) = 0
𝑓(1) = 0
To oznacza, że jednym z miejsc zerowych funkcji 𝑓 jest liczba 1.
Wykres funkcji 𝑓 jest symetryczny względem prostej o równaniu 𝑥= 3, zatem drugim
miejscem zerowym funkcji 𝑓 jest liczba 5.
Korzystamy ze wzoru na postać iloczynową funkcji kwadratowej i zapisujemy:
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-1)(𝑥-5), gdzie 𝑎≠0.
Punkt (3, -2) leży na wykresie funkcji 𝑓, więc:
𝑓(3) = -2
𝑎(3 -1)(3 -5) = -2
Zasady oceniania rozwiązań zadań
-4𝑎= -2
𝑎= 1
2
Zapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci iloczynowej:
𝑓(𝑥) = 1
2 (𝑥-1)(𝑥-5)
Przekształcamy wzór funkcji 𝑓 do postaci ogólnej:
𝑓(𝑥) = 1
2 (𝑥-1)(𝑥-5) = 1
2 (𝑥2 -6𝑥+ 5) = 1
2 𝑥2 -3𝑥+ 5
2
Sposób III
Korzystamy ze wzoru na postać ogólną funkcji kwadratowej i zapisujemy:
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐, gdzie 𝑎≠0.
Odcięta wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓 jest równa 3. Zatem:
-𝑏
2𝑎= 3
𝑏= -6𝑎
Rzędna wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓 jest równa (-2). Zatem:
-∆
4𝑎= -2
-(𝑏2 -4𝑎𝑐)
4𝑎
= -2
Podstawiamy do ostatniego równania w miejsce 𝑏 wyrażenie (-6𝑎) i otrzymujemy:
-((-6𝑎)2 -4𝑎𝑐)
4𝑎
= -2
4𝑎⋅(-9𝑎+ 𝑐)
4𝑎
= -2
-9𝑎+ 𝑐= -2
𝑐= 9𝑎-2
Ponieważ liczba 0 jest jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej 𝑔 określonej
wzorem 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥+ 1), więc:
𝑔(0) = 0
Zatem:
𝑓(0 + 1) = 0
𝑓(1) = 0
𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0
Stąd i z uzyskanych wcześniej równań obliczamy wartości współczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐:
𝑎+ (-6𝑎) + (9𝑎-2) = 0
4𝑎= 2
𝑎= 1
2
𝑏= -6𝑎= -6 ⋅1
2 = -3
𝑐= 9𝑎-2 = 9 ⋅1
2 -2 = 5
2
Zapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci ogólnej:
𝑓(𝑥) = 1
2 𝑥2 -3𝑥+ 5
2
Sposób IV
Korzystamy ze wzoru na postać ogólną funkcji kwadratowej i zapisujemy:
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐, gdzie 𝑎≠0.
Wykres funkcji 𝑔 powstaje w wyniku przesunięcia wykresu funkcji 𝑓 wzdłuż osi 𝑂𝑥
o 1 jednostkę w lewo. Zatem miejscem zerowym funkcji 𝑓 jest liczba 1.
Wykres funkcji 𝑓 jest symetryczny względem prostej o równaniu 𝑥= 3, więc drugim
miejscem zerowym funkcji 𝑓 jest liczba 5. Stąd i z tego, że punkt (3, -2) leży na wykresie
funkcji 𝑓, otrzymujemy układ równań:
{
𝑓(1) = 0
𝑓(5) = 0
𝑓(3) = -2
{
𝑎⋅12 + 𝑏⋅1 + 𝑐= 0
𝑎⋅52 + 𝑏⋅5 + 𝑐= 0
𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= -2
{
𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0
25𝑎+ 5𝑏+ 𝑐= 0
9𝑎+ 3𝑏+ 𝑐= -2
{
𝑐= -𝑎-𝑏
25𝑎+ 5𝑏+ 𝑐= 0
9𝑎+ 3𝑏+ 𝑐= -2
{ 25𝑎+ 5𝑏-𝑎-𝑏= 0
9𝑎+ 3𝑏-𝑎-𝑏= -2
{ 24𝑎+ 4𝑏= 0 /: 4
8𝑎+ 2𝑏= -2 /: 2
{ 6𝑎+ 𝑏= 0
4𝑎+ 𝑏= -1
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Odejmując równania stronami, otrzymujemy:
(6𝑎+ 𝑏) -(4𝑎+ 𝑏) = 0 -(-1)
2𝑎= 1
𝑎= 1
2
Stąd:
𝑏= -6𝑎= -6 ⋅1
2 = -3 oraz 𝑐= -𝑎-𝑏= -1
2 -(-3) = 5
2
Zapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci ogólnej:
𝑓(𝑥) = 1
2 𝑥2 -3𝑥+ 5
2
Sposób V
Wykres funkcji 𝑔 powstaje w wyniku przesunięcia wykresu funkcji 𝑓 wzdłuż osi 𝑂𝑥
o 1 jednostkę w lewo. Zatem wykresem funkcji 𝑔 jest parabola o wierzchołku w punkcie
(2, -2).
Korzystamy ze wzoru na postać kanoniczną funkcji kwadratowej i zapisujemy:
𝑔(𝑥) = 𝑎(𝑥-2)2 -2, gdzie 𝑎≠0.
Ponieważ liczba 0 jest jednym z miejsc zerowych funkcji 𝑔, więc:
𝑔(0) = 0
Stąd:
𝑎(0 -2)2 -2 = 0
4𝑎= 2
𝑎= 1
2
Zapisujemy wzór funkcji 𝑔 w postaci kanonicznej:
𝑔(𝑥) = 1
2 (𝑥-2)2 -2
Ponieważ 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥+ 1), więc 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥-1).
Zapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej:
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥-1) = 1
2 (𝑥-1 -2)2 -2 = 1
2 (𝑥-3)2 -2
Przekształcamy wzór funkcji 𝑓 do postaci ogólnej:
𝑓(𝑥) = 1
2 (𝑥-3)2 -2 = 1
2 (𝑥2 -6𝑥+ 9) -2 = 1
2 𝑥2 -3𝑥+ 5
2

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-14.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Odpowiedź: $f(x) = \\frac{1}{2}x^2 - 3x + \\frac{5}{2}$

\n

Strona arkusza CKE z trescia zadania

\n

Co zrobić?

\n

Postać kanoniczna $f$. Wierzchołek $(3, -2)$ → $f(x) = a(x-3)^2 - 2$.

\n

Wykorzystaj informację o $g$. $g(x) = f(x+1)$, więc:

\n

$$g(0) = f(0+1) = f(1) = 0$$

\n

Czyli $f(1) = 0$.

\n

Wyznacz $a$. Podstaw $x = 1$:

\n

$$a(1-3)^2 - 2 = 0$$

\n

$$4a = 2$$

\n

$$a = \\frac{1}{2}$$

\n

Rozwiń do postaci ogólnej.

\n

$$f(x) = \\frac{1}{2}(x-3)^2 - 2 = \\frac{1}{2}(x^2 - 6x + 9) - 2$$

\n

$$f(x) = \\frac{1}{2}x^2 - 3x + \\frac{9}{2} - 2 = \\frac{1}{2}x^2 - 3x + \\frac{5}{2}$$

\n

Sprawdzenie.

\n\n

Po co to umieć

\n

Dwa rodzaje informacji o paraboli:

\n\n

Mając jedno + jeden punkt → wyznaczasz $a$. Rozwijasz do ogólnej tylko na końcu.

\n

Przekształcenia: $f(x+k)$ → przesunięcie w lewo o $k$; $f(x-k)$ → w prawo.

\n

Typowy błąd: Pułapka: $g(x) = f(x+1)$ to przesunięcie wykresu w lewo o 1. Jeśli $0$ jest miejscem zerowym $g$, to $f(1) = 0$ — odpowiada miejscu zerowemu $f$ przesuniętemu w prawo o 1.

"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedz: \\( f(x) = \\tfrac{1}{2}x^2 - 3x + \\tfrac{5}{2} \\)

\n

Sposob 1 - postac kanoniczna i przesuniecie wykresu

\n

Krok 1. Zapisz funkcje \\( f \\) w postaci kanonicznej.

\n

Wierzcholek paraboli to \\( W = (3, -2) \\), wiec \\( p = 3 \\) oraz \\( q = -2 \\). Z karty wzorow CKE EM2023 (dzial Funkcja kwadratowa - postac kanoniczna): jesli wierzcholek ma wspolrzedne \\( (p, q) \\), to

\n

\\[
f(x) = a(x - p)^2 + q = a(x - 3)^2 - 2,
\\]

\n

gdzie \\( a \\neq 0 \\) jest na razie nieznanym wspolczynnikiem.

\n

Krok 2. Zapisz wzor funkcji \\( g \\).

\n

Z tresci \\( g(x) = f(x+1) \\). Podstawiamy \\( x+1 \\) w miejsce argumentu we wzorze funkcji \\( f \\):

\n

\\[
g(x) = f(x+1) = a\\big((x+1) - 3\\big)^2 - 2 = a(x - 2)^2 - 2.
\\]

\n

Uwaga geometryczna: zlozenie \\( f(x+1) \\) przesuwa wykres \\( f \\) o 1 jednostke w lewo, wiec wierzcholek \\( g \\) jest w punkcie \\( (2, -2) \\) - przydatne do kontroli.

\n

Krok 3. Wykorzystaj informacje o miejscu zerowym funkcji \\( g \\).

\n

Liczba \\( 0 \\) jest miejscem zerowym funkcji \\( g \\), czyli \\( g(0) = 0 \\). Podstawiamy \\( x = 0 \\):

\n

\\[
g(0) = a(0 - 2)^2 - 2 = 4a - 2.
\\]

\n

Z warunku \\( g(0) = 0 \\):

\n

\\[
4a - 2 = 0 \\quad\\Longrightarrow\\quad a = \\tfrac{1}{2}.
\\]

\n

Krok 4. Wstaw \\( a \\) do wzoru \\( f \\) (postac kanoniczna).

\n

\\[
f(x) = \\tfrac{1}{2}(x - 3)^2 - 2.
\\]

\n

Krok 5. Przeksztalc do postaci ogolnej.

\n

Z karty wzorow CKE EM2023 (dzial Wzory skroconego mnozenia): \\( (x-3)^2 = x^2 - 6x + 9 \\). Zatem

\n

\\[
f(x) = \\tfrac{1}{2}\\big(x^2 - 6x + 9\\big) - 2 = \\tfrac{1}{2}x^2 - 3x + \\tfrac{9}{2} - 2.
\\]

\n

Sprowadzamy wyrazy wolne: \\( \\tfrac{9}{2} - 2 = \\tfrac{9}{2} - \\tfrac{4}{2} = \\tfrac{5}{2} \\). Ostatecznie

\n

\\[
\\boxed{f(x) = \\tfrac{1}{2}x^2 - 3x + \\tfrac{5}{2}.}
\\]

\n

Krok 6. Sprawdzenie.

\n\n

Oba warunki spelnione, wiec wzor jest poprawny.

\n

Typowe pulapki

\n
  1. Kierunek przesuniecia. \\( g(x) = f(x+1) \\) przesuwa wykres w lewo o 1 (nie w prawo). Argument funkcji \\( f \\) staje sie \\( x+1 \\), wiec we wzorze \\( a(x-3)^2-2 \\) podstawiamy \\( (x+1) \\), otrzymujac \\( a(x-2)^2-2 \\).
  2. Pominiecie wspolczynnika \\( a \\). Sama informacja o wierzcholku nie wyznacza paraboli jednoznacznie - trzeba uzyc warunku \\( g(0)=0 \\), zeby policzyc \\( a=\\tfrac12 \\). Bledne zalozenie \\( a=1 \\) daje falszywy wynik \\( x^2-6x+7 \\).
  3. Bledne sumowanie wyrazow wolnych przy zamianie na postac ogolna: \\( \\tfrac{9}{2}-2=\\tfrac{5}{2} \\), a nie \\( \\tfrac{7}{2} \\).
"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Wierzchołek paraboli ma współrzędne:

\n

W=(3,-2)

\n

Zapisujemy wzór funkcji f w postaci kanonicznej:

\n

f(x)=a(x-3)^2-2

\n

Dana jest funkcja:

\n

g(x)=f(x+1)

\n

Jednym z miejsc zerowych funkcji g jest liczba 0 , więc:

\n

g(0)=0

\n

f(0+1)=0

\n

f(1)=0

\n

Podstawiamy x=1 do wzoru funkcji f :

\n

a(1-3)^2-2=0

\n

4a-2=0

\n

4a=2

\n

a=(1)/(2)

\n

Zatem:

\n

f(x)=(1)/(2)(x-3)^2-2

\n

Przekształcamy do postaci ogólnej:

\n

f(x)=(1)/(2)(x^2-6x+9)-2

\n

f(x)=(1)/(2)x^2-3x+(9)/(2)-2

\n

f(x)=(1)/(2)x^2-3x+(5)/(2)

\n

Odpowiedź: f(x)=(1)/(2)x^2-3x+(5)/(2)

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$f(x)=\\frac{1}{2}x^2-3x+2\\frac{1}{2}$

"}]}