{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"15","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-3)\nCiąg (𝑎𝑛) jest określony wzorem 𝑎𝑛= 3𝑛+ 5 dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nTrzywyrazowy ciąg (𝑎1 , 𝑎9 , 𝑎𝑘) jest geometryczny.\nOblicz 𝒌. Zapisz obliczenia.\n15.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-P0_100\nCiąg (a_n) jest określony wzorem a_n=3n+5 dla każdej liczby naturalnej n≥1. Trzywyrazowy ciąg (a_1,a_9,a_k) jest geometryczny. Oblicz k.","answer":"$k = 41$","answer_text":"Zadanie 15. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVI.7) wykorzystuje własności ciągów, w tym\narytmetycznych i geometrycznych, do\nrozwiązywania zadań […].\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑘= 41.\n2 pkt - obliczenie wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego: (8, 32, 128)\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑘, wynikającego z własności ciągu\ngeometrycznego, np. 322 = 8 ⋅(3𝑘+ 5).\n1 pkt - obliczenie wyrazów 𝑎1 oraz 𝑎9: 𝑎1 = 8, 𝑎9 = 32\nALBO\n- wykorzystanie własności ciągu geometrycznego i zapisanie związku między\nwyrazami 𝑎1\n, 𝑎9\n, 𝑎𝑘\n, np. (𝑎9)2 = 𝑎1 ⋅𝑎𝑘 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający rozważa ciąg geometryczny (𝑎1, 𝑎𝑙, 𝑎𝑘), gdzie 𝑙 jest liczbą naturalną\nwiększą od 2 i różną od 9, oraz rozwiąże zadanie konsekwentnie do końca, to może\notrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za zapisanie wszystkich\nwyrazów tego ciągu lub zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑘 wynikającego\nz własności ciągu geometrycznego oraz 1 punkt za konsekwentne obliczenie 𝑘).\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nKorzystamy ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu (𝑎𝑛) i obliczamy wyrazy 𝑎1 oraz 𝑎9:\n𝑎1 = 3 ⋅1 + 5 = 8\n𝑎9 = 3 ⋅9 + 5 = 32\nZatem iloraz trzywyrazowego ciągu geometrycznego (8, 32, 𝑎𝑘) jest równy 32\n8 = 4.\nStąd:\n𝑎𝑘= 32 ⋅4 = 128\nObliczamy 𝑘:\n𝑎𝑘= 128\n3𝑘+ 5 = 128\n𝑘= 41\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób II\nKorzystamy ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu (𝑎𝑛) i zapisujemy:\n𝑎1 = 3 ⋅1 + 5 = 8\n𝑎9 = 3 ⋅9 + 5 = 32\n𝑎𝑘= 3𝑘+ 5\nZ warunków zadania wynika, że ciąg (8, 32, 3𝑘+ 5) jest geometryczny.\nZ własności ciągu geometrycznego otrzymujemy:\n322 = 8 ⋅(3𝑘+ 5)\n32 ⋅4 ⋅8 = 8 ⋅(3𝑘+ 5) /∶8\n128 = 3𝑘+ 5\n𝑘= 41","solution":"Odpowiedź: $k = 41$\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nOblicz $a_1$ i $a_9$.\n\n$$a_1 = 3 \\cdot 1 + 5 = 8$$\n\n$$a_9 = 3 \\cdot 9 + 5 = 32$$\n\nWyraź $a_k$.\n\n$$a_k = 3k + 5$$\n\nWarunek na ciąg geometryczny. Trzy kolejne wyrazy są geometryczne $\\iff$ kwadrat środkowego = iloczyn skrajnych:\n\n$$a_9^2 = a_1 \\cdot a_k$$\n\n$$32^2 = 8 \\cdot (3k + 5)$$\n\n$$1024 = 24k + 40$$\n\nRozwiąż.\n\n$$24k = 984$$\n\n$$k = 41$$\n\nSprawdzenie. $a_{41} = 3 \\cdot 41 + 5 = 128$. Iloraz $q = \\frac{a_9}{a_1} = \\frac{32}{8} = 4$. $a_9 \\cdot q = 32 \\cdot 4 = 128 = a_{41}$ ✓.\n\nPo co to umieć\n\nWzór $a_n = pn + q$ daje ciąg arytmetyczny (różnica = $p$). Wzór $a_n = c \\cdot q^n$ daje geometryczny (iloraz = $q$).\n\nTrzy liczby $a, b, c$ są geometryczne $\\iff b^2 = ac$. Z tego wzoru wyciągasz każdą z trzech jak masz dwie pozostałe.\n\nTypowy błąd: Warunek na ciąg geometryczny: $a_9^2 = a_1 \\cdot a_k$ (kwadrat środkowego = iloczyn skrajnych), nie iloraz wyrazów.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-15.svg","topics":"ciąg arytmetyczny, ciąg geometryczny, warunek na ciąg geometryczny, ciagi","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":"maturaonline","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 15. (0-3)<br>Ciąg (𝑎𝑛) jest określony wzorem 𝑎𝑛= 3𝑛+ 5 dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.<br>Trzywyrazowy ciąg (𝑎1 , 𝑎9 , 𝑎𝑘) jest geometryczny.<br>Oblicz 𝒌. Zapisz obliczenia.<br>15.<br>0-1-<br>2-3</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n=3n+5 dla każdej liczby naturalnej n≥1. Trzywyrazowy ciąg (a_1,a_9,a_k) jest geometryczny. Oblicz k.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 15. (0-3)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Stosowanie i tworzenie strategii przy</li></ol>\n<p>rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach<br>nietypowych.<br>Zdający:<br>VI.7) wykorzystuje własności ciągów, w tym<br>arytmetycznych i geometrycznych, do<br>rozwiązywania zadań […].<br>Zasady oceniania<br>3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑘= 41.<br>2 pkt - obliczenie wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego: (8, 32, 128)<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑘, wynikającego z własności ciągu</li></ul>\n<p>geometrycznego, np. 322 = 8 ⋅(3𝑘+ 5).<br>1 pkt - obliczenie wyrazów 𝑎1 oraz 𝑎9: 𝑎1 = 8, 𝑎9 = 32<br>ALBO</p>\n<ul><li>wykorzystanie własności ciągu geometrycznego i zapisanie związku między</li></ul>\n<p>wyrazami 𝑎1<br>, 𝑎9<br>, 𝑎𝑘<br>, np. (𝑎9)2 = 𝑎1 ⋅𝑎𝑘 .<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwaga:<br>Jeżeli zdający rozważa ciąg geometryczny (𝑎1, 𝑎𝑙, 𝑎𝑘), gdzie 𝑙 jest liczbą naturalną<br>większą od 2 i różną od 9, oraz rozwiąże zadanie konsekwentnie do końca, to może<br>otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za zapisanie wszystkich<br>wyrazów tego ciągu lub zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑘 wynikającego<br>z własności ciągu geometrycznego oraz 1 punkt za konsekwentne obliczenie 𝑘).<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Korzystamy ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu (𝑎𝑛) i obliczamy wyrazy 𝑎1 oraz 𝑎9:<br>𝑎1 = 3 ⋅1 + 5 = 8<br>𝑎9 = 3 ⋅9 + 5 = 32<br>Zatem iloraz trzywyrazowego ciągu geometrycznego (8, 32, 𝑎𝑘) jest równy 32<br>8 = 4.<br>Stąd:<br>𝑎𝑘= 32 ⋅4 = 128<br>Obliczamy 𝑘:<br>𝑎𝑘= 128<br>3𝑘+ 5 = 128<br>𝑘= 41<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Sposób II<br>Korzystamy ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu (𝑎𝑛) i zapisujemy:<br>𝑎1 = 3 ⋅1 + 5 = 8<br>𝑎9 = 3 ⋅9 + 5 = 32<br>𝑎𝑘= 3𝑘+ 5<br>Z warunków zadania wynika, że ciąg (8, 32, 3𝑘+ 5) jest geometryczny.<br>Z własności ciągu geometrycznego otrzymujemy:<br>322 = 8 ⋅(3𝑘+ 5)<br>32 ⋅4 ⋅8 = 8 ⋅(3𝑘+ 5) /∶8<br>128 = 3𝑘+ 5<br>𝑘= 41</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-15.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: $k = 41$</p>\n<p>Strona arkusza CKE z trescia zadania</p>\n<p>Co zrobić?</p>\n<p>Oblicz $a_1$ i $a_9$.</p>\n<p>$$a_1 = 3 \\cdot 1 + 5 = 8$$</p>\n<p>$$a_9 = 3 \\cdot 9 + 5 = 32$$</p>\n<p>Wyraź $a_k$.</p>\n<p>$$a_k = 3k + 5$$</p>\n<p>Warunek na ciąg geometryczny. Trzy kolejne wyrazy są geometryczne $\\iff$ kwadrat środkowego = iloczyn skrajnych:</p>\n<p>$$a_9^2 = a_1 \\cdot a_k$$</p>\n<p>$$32^2 = 8 \\cdot (3k + 5)$$</p>\n<p>$$1024 = 24k + 40$$</p>\n<p>Rozwiąż.</p>\n<p>$$24k = 984$$</p>\n<p>$$k = 41$$</p>\n<p>Sprawdzenie. $a_{41} = 3 \\cdot 41 + 5 = 128$. Iloraz $q = \\frac{a_9}{a_1} = \\frac{32}{8} = 4$. $a_9 \\cdot q = 32 \\cdot 4 = 128 = a_{41}$ ✓.</p>\n<p>Po co to umieć</p>\n<p>Wzór $a_n = pn + q$ daje ciąg arytmetyczny (różnica = $p$). Wzór $a_n = c \\cdot q^n$ daje geometryczny (iloraz = $q$).</p>\n<p>Trzy liczby $a, b, c$ są geometryczne $\\iff b^2 = ac$. Z tego wzoru wyciągasz każdą z trzech jak masz dwie pozostałe.</p>\n<p>Typowy błąd: Warunek na ciąg geometryczny: $a_9^2 = a_1 \\cdot a_k$ (kwadrat środkowego = iloczyn skrajnych), nie iloraz wyrazów.</p>"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedz: \\( k = 41 \\)</h4>\n<h4>Sposob 1 - warunek na ciag geometryczny (srednia geometryczna)</h4>\n<p><strong>Krok 1. Wyznaczamy potrzebne wyrazy ciagu \\( (a_n) \\).</strong></p>\n<p>Ciag dany jest wzorem \\( a_n = 3n + 5 \\) dla \\( n \\ge 1 \\). Obliczamy wyrazy wystepujace w warunku:</p>\n<p>\\[<br>a_1 = 3\\cdot 1 + 5 = 8, \\qquad a_9 = 3\\cdot 9 + 5 = 32.<br>\\]</p>\n<p>Trzeci wyraz zapisujemy ogolnie:</p>\n<p>\\[<br>a_k = 3k + 5.<br>\\]</p>\n<p><strong>Krok 2. Zapisujemy warunek na to, by ciag \\( (a_1, a_9, a_k) \\) byl geometryczny.</strong></p>\n<p>Trzy liczby \\( x, y, z \\) (w tej kolejnosci) tworza ciag geometryczny wtedy i tylko wtedy, gdy wyraz srodkowy jest srednia geometryczna sasiadow, czyli gdy zachodzi:</p>\n<p>\\[<br>y^2 = x \\cdot z.<br>\\]</p>\n<p>(Karta wzorow CKE EM2023, dzial <em>Ciag geometryczny</em> - wlasnosc: kwadrat wyrazu jest iloczynem wyrazow z nim sasiadujacych, rownowaznie staly iloraz \\( q = \\frac{a_{n+1}}{a_n} \\).)</p>\n<p>Dla naszej trojki \\( (a_1, a_9, a_k) \\) wyrazem srodkowym jest \\( a_9 \\), zatem:</p>\n<p>\\[<br>a_9^{\\,2} = a_1 \\cdot a_k.<br>\\]</p>\n<p><strong>Krok 3. Podstawiamy wartosci i obliczamy \\( a_k \\).</strong></p>\n<p>\\[<br>32^2 = 8 \\cdot a_k<br>\\]<br>\\[<br>1024 = 8 \\cdot a_k<br>\\]<br>\\[<br>a_k = \\frac{1024}{8} = 128.<br>\\]</p>\n<p><strong>Krok 4. Wyznaczamy \\( k \\) z wzoru ciagu.</strong></p>\n<p>Skoro \\( a_k = 3k + 5 \\) oraz \\( a_k = 128 \\), to:</p>\n<p>\\[<br>3k + 5 = 128<br>\\]<br>\\[<br>3k = 123<br>\\]<br>\\[<br>k = 41.<br>\\]</p>\n<p><strong>Krok 5. Sprawdzenie.</strong></p>\n<p>Iloraz ciagu geometrycznego powinien byc staly:</p>\n<p>\\[<br>q = \\frac{a_9}{a_1} = \\frac{32}{8} = 4, \\qquad \\frac{a_k}{a_9} = \\frac{128}{32} = 4.<br>\\]</p>\n<p>Oba ilorazy sa rowne 4, wiec ciag \\( (8,\\ 32,\\ 128) \\) faktycznie jest geometryczny. Ponadto \\( k = 41 \\) jest liczba naturalna \\( \\ge 1 \\), wiec wyraz \\( a_{41} \\) istnieje.</p>\n<p><strong>Odpowiedz:</strong> \\( k = 41 \\).</p>\n<h4>Typowe pulapki</h4>\n<ul><li><strong>Bledny wyraz srodkowy.</strong> W warunku \\( y^2 = xz \\) srodkowym wyrazem jest \\( a_9 \\) (nie \\( a_1 \\) ani \\( a_k \\)) - to on jest podnoszony do kwadratu. Pomylenie kolejnosci daje rownanie \\( a_1^2 = a_9 \\cdot a_k \\) i bledny wynik.</li><li><strong>Mylenie ciagu geometrycznego z arytmetycznym.</strong> Tu trojka ma byc geometryczna, wiec uzywamy iloczynu \\( a_9^2 = a_1 a_k \\), a NIE rownosci roznic \\( 2a_9 = a_1 + a_k \\) (to warunek arytmetyczny). Uwaga: sam ciag \\( a_n = 3n+5 \\) jest arytmetyczny, ale wybrane z niego wyrazy maja tworzyc ciag geometryczny - nie nalezy tego utozsamiac. Na koniec warto sprawdzic stalosc ilorazu.</li></ul>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Ciąg jest określony wzorem:</p>\n<p>a_n=3n+5</p>\n<p>Obliczamy pierwszy i dziewiąty wyraz:</p>\n<p>a_1=3·1+5=8</p>\n<p>a_9=3·9+5=32</p>\n<p>Ciąg (a_1,a_9,a_k) jest geometryczny, więc kwadrat środkowego wyrazu jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych:</p>\n<p>a_9^2=a_1· a_k</p>\n<p>32^2=8· a_k</p>\n<p>1024=8a_k</p>\n<p>a_k=128</p>\n<p>Teraz korzystamy ze wzoru ogólnego ciągu:</p>\n<p>3k+5=128</p>\n<p>3k=123</p>\n<p>k=41</p>\n<p>Odpowiedź: k=41</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$k=41$</p>"}]}