{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nCiąg arytmetyczny (𝑎𝑛) jest określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nW tym ciągu 𝑎1 = 1 oraz 𝑎5 = 17.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDziewiąty wyraz ciągu (𝑎𝑛) jest równy\nA. 29\nB. 33\nC. 34\nD. 37\nCiąg arytmetyczny (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. W tym ciągu a_1 = 1 oraz a_5 = 17. Dziewiąty wyraz ciągu (a_n) jest równy A. 29 B. 33 C. 34 D. 37","answer":"B","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVI.5) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\narytmetycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nB\nC","solution":"Odpowiedź: B\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nWyznacz różnicę $r$. Wzór ogólny: $a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r$.\n\n$$a_5 = a_1 + 4r$$\n\n$$17 = 1 + 4r \\implies r = 4$$\n\nOblicz $a_9$.\n\n$$a_9 = a_1 + 8r = 1 + 8 \\cdot 4 = 33$$\n\nPo co to umieć\n\nCiąg arytmetyczny: stała różnica $r$. Wzór: $a_n = a_1 + (n-1)r$. Z dowolnych dwóch wyrazów wyznaczasz $r$, potem każdy inny.\n\nTypowy błąd: Częsty błąd: $a_9 = a_1 + 9r$ zamiast $a_1 + 8r$. Pozycja $n$ wymaga **$(n-1)$** różnic od pierwszego wyrazu.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-16.svg","topics":"ciąg arytmetyczny, wzór ogólny, ciagi","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 16. (0-1)<br>Ciąg arytmetyczny (𝑎𝑛) jest określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.<br>W tym ciągu 𝑎1 = 1 oraz 𝑎5 = 17.<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Dziewiąty wyraz ciągu (𝑎𝑛) jest równy<br>A. 29<br>B. 33<br>C. 34<br>D. 37<br>Ciąg arytmetyczny (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. W tym ciągu a_1 = 1 oraz a_5 = 17. Dziewiąty wyraz ciągu (a_n) jest równy A. 29 B. 33 C. 34 D. 37</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 16. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>VI.5) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu<br>arytmetycznego.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>Wersja A<br>Wersja B<br>B<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-16.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: B</p>\n<p>Strona arkusza CKE z trescia zadania</p>\n<p>Co zrobić?</p>\n<p>Wyznacz różnicę $r$. Wzór ogólny: $a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r$.</p>\n<p>$$a_5 = a_1 + 4r$$</p>\n<p>$$17 = 1 + 4r \\implies r = 4$$</p>\n<p>Oblicz $a_9$.</p>\n<p>$$a_9 = a_1 + 8r = 1 + 8 \\cdot 4 = 33$$</p>\n<p>Po co to umieć</p>\n<p>Ciąg arytmetyczny: stała różnica $r$. Wzór: $a_n = a_1 + (n-1)r$. Z dowolnych dwóch wyrazów wyznaczasz $r$, potem każdy inny.</p>\n<p>Typowy błąd: Częsty błąd: $a_9 = a_1 + 9r$ zamiast $a_1 + 8r$. Pozycja $n$ wymaga <strong>$(n-1)$</strong> różnic od pierwszego wyrazu.</p>"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedz: B</h4>\n<p>Dziewiąty wyraz ciągu jest równy \\( a_9 = 33 \\).</p>\n<h4>Sposob 1 - wyznaczenie różnicy ciągu i wzór na n-ty wyraz</h4>\n<p>Korzystamy z definicji ciągu arytmetycznego (KARTA WZORÓW CKE EM2023, dział „Ciąg arytmetyczny i geometryczny”): n-ty wyraz dany jest wzorem<br>\\[<br>a_n = a_1 + (n-1)\\,r,<br>\\]<br>gdzie \\( r \\) to różnica ciągu.</p>\n<p><strong>Krok 1. Zapisanie danych.</strong><br>Z treści zadania: \\( a_1 = 1 \\) oraz \\( a_5 = 17 \\).</p>\n<p><strong>Krok 2. Wyznaczenie różnicy \\( r \\).</strong><br>Korzystamy ze wzoru na piąty wyraz:<br>\\[<br>a_5 = a_1 + (5-1)\\,r = a_1 + 4r.<br>\\]<br>Podstawiamy znane wartości:<br>\\[<br>17 = 1 + 4r.<br>\\]<br>Stąd:<br>\\[<br>4r = 17 - 1 = 16 \\quad\\Longrightarrow\\quad r = \\frac{16}{4} = 4.<br>\\]</p>\n<p><strong>Krok 3. Obliczenie dziewiątego wyrazu \\( a_9 \\).</strong><br>\\[<br>a_9 = a_1 + (9-1)\\,r = a_1 + 8r = 1 + 8\\cdot 4 = 1 + 32 = 33.<br>\\]</p>\n<p><strong>Wniosek:</strong> \\( a_9 = 33 \\), czyli poprawna odpowiedź to <strong>B</strong>.</p>\n<h4>Sposob 2 - wykorzystanie własności równych odstępów indeksów</h4>\n<p>Zauważmy, że indeksy \\( 1,\\ 5,\\ 9 \\) tworzą ciąg o stałym kroku 4. Przejście od \\( a_1 \\) do \\( a_5 \\) to 4 „kroki” różnicy:<br>\\[<br>a_5 - a_1 = 4r = 17 - 1 = 16.<br>\\]<br>Przejście od \\( a_5 \\) do \\( a_9 \\) to dokładnie taki sam skok (znów 4 kroki różnicy), zatem:<br>\\[<br>a_9 = a_5 + 4r = 17 + 16 = 33.<br>\\]<br>Otrzymujemy ten sam wynik \\( a_9 = 33 \\) - odpowiedź <strong>B</strong>.</p>\n<h4>Dlaczego pozostale sa bledne</h4>\n<ul><li><strong>A. \\( 29 \\)</strong> - odpowiada błędnemu \\( r = 3{,}5 \\) (np. z dzielenia 17 przez 5 lub liczenia 5 odstępów zamiast 4) i niepoprawnym rachunkom.</li><li><strong>C. \\( 34 \\)</strong> - typowy efekt liczenia \\( a_9 = a_5 + 17 \\) lub innej pomyłki o 1; poprawnie \\( a_9 = a_5 + 4r = 17 + 16 = 33 \\).</li><li><strong>D. \\( 37 \\)</strong> - wynik błędnego \\( a_9 = a_1 + 9r = 1 + 9\\cdot 4 = 37 \\): pomyłka w liczbie odstępów (użyto \\( n \\) zamiast \\( n-1 \\)).</li></ul>\n<h4>Typowe pulapki</h4>\n<ol><li><strong>Mnożenie przez \\( n \\) zamiast przez \\( (n-1) \\).</strong> We wzorze \\( a_n = a_1 + (n-1)r \\) liczba „kroków” różnicy to \\( n-1 \\). Dla \\( a_9 \\) jest to \\( 8r \\), a nie \\( 9r \\) - pomyłka tutaj daje błędną odpowiedź D (37).</li><li><strong>Błędne wyznaczenie \\( r \\).</strong> Od \\( a_1 \\) do \\( a_5 \\) są <strong>4</strong> odstępy różnicy (\\( a_5 - a_1 = 4r \\)), nie 5. Stąd \\( r = 4 \\), a nie \\( r = 3{,}2 \\).</li></ol>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Ciąg jest arytmetyczny, więc ma stałą różnicę r .</p>\n<p>a_1=1, a_5=17</p>\n<p>Piąty wyraz ciągu możemy zapisać jako:</p>\n<p>a_5=a_1+4r</p>\n<p>17=1+4r</p>\n<p>4r=16</p>\n<p>r=4</p>\n<p>Obliczamy dziewiąty wyraz:</p>\n<p>a_9=a_1+8r</p>\n<p>a_9=1+8·4</p>\n<p>a_9=33</p>\n<p>Odpowiedź: B. 33</p>"}]}