Zadanie 17. (0-1)
Ciąg geometryczny (𝑎𝑛) jest określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.
Wyrazy trzeci i szósty tego ciągu spełniają warunek 𝑎3 ⋅𝑎6 = 18.
Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie
było prawdziwe.
Iloczyn 𝑎2 ⋅𝑎7 jest równy
17.
0-1
MMAP-P0_100
Ciąg geometryczny (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Wyrazy trzeci i szósty tego ciągu spełniają warunek a_3 ⋅ a_6 = 18. Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. Iloczyn a_2 ⋅ a_7 jest równy ............ .
Zadanie 17. (0-1)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
VI.6) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu
geometrycznego.
Zasady oceniania
1 pkt - poprawne uzupełnienie zdania.
0 pkt - brak spełnienia powyższego kryterium.
Rozwiązanie
Iloczyn 𝑎2 ⋅𝑎7 jest równy 18.
Odpowiedź: 18
\nStrona arkusza CKE z trescia zadania
\nCo zrobić?
\nWzór wyrazu ciągu geometrycznego: $a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}$.
\nIloczyn $a_3 \\cdot a_6$:
\n$$a_3 \\cdot a_6 = a_1 q^2 \\cdot a_1 q^5 = a_1^2 \\cdot q^7$$
\nIloczyn $a_2 \\cdot a_7$:
\n$$a_2 \\cdot a_7 = a_1 q \\cdot a_1 q^6 = a_1^2 \\cdot q^7$$
\nWniosek. $a_2 \\cdot a_7 = a_3 \\cdot a_6 = 18$.
\nKlucz: wykładniki $q$ w obu iloczynach sumują się do $7$ (bo $1 + 6 = 7$ i $2 + 5 = 7$).
\nPo co to umieć
\nIdentyczna własność jak ciągu arytmetycznego dla sum: $a_i + a_j = a_k + a_l$ gdy $i+j = k+l$. W geometrycznym to samo, ale dla iloczynów.
\nSzczególnie: $a_n^2 = a_{n-k} \\cdot a_{n+k}$ (warunek na średnią geometryczną).
\nTypowy błąd: Pułapka: w ciągu geometrycznym iloczyny par o stałej sumie indeksów są równe. Tutaj $2+7 = 9 = 3+6$, więc $a_2 \\cdot a_7 = a_3 \\cdot a_6$.
"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"Krok 1. Zapisanie wyrazow przez \\( a_1 \\) i iloraz \\( q \\).
\nZ karty wzorow CKE EM2023 (dzial Ciag geometryczny, wzor na n-ty wyraz): \\( a_n = a_1 \\cdot q^{\\,n-1} \\), gdzie \\( q \\) to iloraz ciagu. Zatem:
\n\\[ a_2 = a_1 q, \\quad a_3 = a_1 q^2, \\quad a_6 = a_1 q^5, \\quad a_7 = a_1 q^6. \\]
\nKrok 2. Zapisanie danego warunku.
\nDany jest iloczyn wyrazow trzeciego i szostego:
\n\\[ a_3 \\cdot a_6 = a_1 q^2 \\cdot a_1 q^5 = a_1^2 \\, q^{7} = 18. \\]
\nKrok 3. Zapisanie szukanego iloczynu.
\n\\[ a_2 \\cdot a_7 = a_1 q \\cdot a_1 q^6 = a_1^2 \\, q^{7}. \\]
\nKrok 4. Porownanie.
\nOba iloczyny daja dokladnie to samo wyrazenie \\( a_1^2 q^{7} \\), bo suma indeksow jest taka sama:
\n\\[ 2 + 7 = 9 = 3 + 6. \\]
\nStad:
\n\\[ a_2 \\cdot a_7 = a_1^2 q^{7} = a_3 \\cdot a_6 = 18. \\]
\nOdpowiedz: \\( a_2 \\cdot a_7 = 18 \\).
\nW ciagu geometrycznym iloczyn dwoch wyrazow zalezy tylko od sumy ich indeksow: jezeli \\( i + j = k + l \\), to \\( a_i \\cdot a_j = a_k \\cdot a_l \\).
\nSprawdzamy sumy indeksow:
\n\\[ 2 + 7 = 9, \\qquad 3 + 6 = 9. \\]
\nSumy sa rowne, wiec od razu:
\n\\[ a_2 \\cdot a_7 = a_3 \\cdot a_6 = 18. \\]
\n(Mozna to tez ujac przez srednia geometryczna: wyrazy \\( a_2, a_7 \\) oraz \\( a_3, a_6 \\) sa symetryczne wzgledem tego samego "srodka" miedzy indeksem 4 i 5, wiec ich iloczyny sa identyczne.)
\nW ciągu geometrycznym wyraz ogólny ma postać:
\na_n=a_1q^n-1
\nIloczyn wyrazów trzeciego i szóstego:
\na_3· a_6=(a_1q^2)(a_1q^5)=a_1^2q^7
\nIloczyn wyrazów drugiego i siódmego:
\na_2· a_7=(a_1q)(a_1q^6)=a_1^2q^7
\nTe iloczyny są więc równe:
\na_2· a_7=a_3· a_6
\nZ treści zadania:
\na_3· a_6=18
\nOdpowiedź: a_2· a_7=18
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"$18$
"}]}