Zadanie 18. (0-1)
Dany jest trójkąt prostokątny 𝐴𝐵𝐶, w którym bok 𝐴𝐶 jest przeciwprostokątną oraz
|𝐵𝐶| = 2 i |𝐴𝐶| = 2√10. Oznaczmy kąt 𝐵𝐶𝐴 przez 𝛾 (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Sinus kąta 𝛾 jest równy
A. 1
√10
B. 1
3
C. 3
√10
D.
√10
√11
𝐴
𝐵
𝐶
2
𝛾
MMAP-P0_100
Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym bok AC jest przeciwprostokątną oraz |BC|=2 i |AC|=2√10. Oznaczmy kąt BCA przez γ (zobacz rysunek). [rysunek] Sinus kąta γ jest równy A. 1/√10 B. 1/3 C. 3/√10 D. √10}/√11
Zadanie 18. (0-1)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
VII.1) wykorzystuje definicje funkcji: sinus
[…] dla kątów od 0° do 180° […].
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A
Wersja B
C
C
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Odpowiedź: C
\nStrona arkusza CKE z trescia zadania
\nCo zrobić?
\nPitagoras dla $AB$. Kąt prosty przy $B$, przeciwprostokątna $AC = 2\\sqrt{10}$:
\n$$AB^2 + BC^2 = AC^2$$
\n$$AB^2 + 4 = 40$$
\n$$AB = 6$$
\nSinus kąta $\\gamma = \\angle BCA$ (przy wierzchołku $C$).
\nNaprzeciw $\\gamma$ leży bok $AB$:
\n$$\\sin \\gamma = \\frac{\\text{przeciw}}{\\text{przeciwprost.}} = \\frac{AB}{AC} = \\frac{6}{2\\sqrt{10}} = \\frac{3}{\\sqrt{10}}$$
\nPo co to umieć
\nTrójkąt prostokątny → trygonometria z definicji boków. Kluczowe: poprawnie zidentyfikować który bok jest przeciw danemu kątowi (po przeciwnej stronie), który przyległy (tworzy ramię kąta). Przeciwprostokątna zawsze leży naprzeciw kąta prostego.
\nTypowy błąd: $\\sin \\gamma$ to stosunek boku naprzeciw kąta $\\gamma$ do przeciwprostokątnej. Naprzeciw $\\angle BCA$ leży bok $AB$ — najpierw policz go z Pitagorasa.
"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"W trojkacie prostokatnym \\(ABC\\) przeciwprostokatna to \\(AC\\), wiec kat prosty jest przy wierzcholku \\(B\\). Kat \\(\\gamma = \\angle BCA\\) lezy przy wierzcholku \\(C\\).
\nDane:
\\[
|BC| = 2, \\qquad |AC| = 2\\sqrt{10}.
\\]
Krok 1. Ustal, ktore boki sa przyprostokatnymi, a ktory przeciwprostokatna.
Skoro \\(AC\\) jest przeciwprostokatna, to kat prosty jest przy \\(B\\), a przyprostokatnymi sa \\(BC\\) oraz \\(AB\\).
Krok 2. Oblicz brakujaca przyprostokatna \\(AB\\) z twierdzenia Pitagorasa.
(Karta wzorow CKE EM2023, dzial Twierdzenie Pitagorasa: \\(a^2 + b^2 = c^2\\), gdzie \\(c\\) to przeciwprostokatna.)
\\[
|AB|^2 = |AC|^2 - |BC|^2 = \\left(2\\sqrt{10}\\right)^2 - 2^2 = 4\\cdot 10 - 4 = 40 - 4 = 36.
\\]
\\[
|AB| = \\sqrt{36} = 6.
\\]
Krok 3. Zapisz definicje sinusa dla kata \\(\\gamma\\) przy wierzcholku \\(C\\).
(Karta wzorow CKE EM2023, dzial Funkcje trygonometryczne kata ostrego w trojkacie prostokatnym: \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{\\text{przyprostokatna naprzeciw kata}}{\\text{przeciwprostokatna}}\\).)
Naprzeciw kata \\(\\gamma\\) (przy \\(C\\)) lezy bok \\(AB\\), a przeciwprostokatna to \\(AC\\). Zatem
\\[
\\sin\\gamma = \\frac{|AB|}{|AC|} = \\frac{6}{2\\sqrt{10}} = \\frac{3}{\\sqrt{10}}.
\\]
Wynik: \\(\\sin\\gamma = \\dfrac{3}{\\sqrt{10}}\\) - odpowiedz C.
\nMozna tez sprawdzic: \\(\\dfrac{3}{\\sqrt{10}}=\\dfrac{3\\sqrt{10}}{10}\\approx 0{,}9487\\). Dla kata \\(\\gamma\\), ktoremu odpowiada krotsza przyprostokatna \\(BC=2\\) jako sasiednia, sinus powinien byc bliski 1 - i tak jest.
\nTrójkąt ABC jest prostokątny, a przeciwprostokątną jest bok AC .
\n|BC|=2, |AC|=2√(10)
\nObliczamy długość boku AB z twierdzenia Pitagorasa:
\nAB^2+BC^2=AC^2
\nAB^2+2^2=(2√(10))^2
\nAB^2+4=40
\nAB^2=36
\nAB=6
\nKąt γ jest przy wierzchołku C , więc bokiem leżącym naprzeciw tego kąta jest AB .
\nsinγ=(AB)/(AC)
\nsinγ=frac 6 2√(10) =frac 3 √(10)
\nOdpowiedź: C. frac 3 √(10)
"}]}