Zadanie 19. (0-1)
Punkty 𝐴, 𝐵, 𝐶 oraz 𝐷 leżą na okręgu o środku w punkcie 𝑂.
Punkt 𝐵 leży na krótszym łuku 𝐴𝐶.
Kąt 𝐶𝐷𝐴 ma miarę 50°, a kąt 𝐶𝑂𝐵 ma miarę 30° (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Miara kąta ostrego 𝐵𝑂𝐴 jest równa
A. 50°
B. 60°
C. 70°
D. 100°
𝐷
𝐴
𝐶
𝑂
50°
30°
𝐵
MMAP-P0_100
Punkty A, B, C oraz D leżą na okręgu o środku w punkcie O. Punkt B leży na krótszym łuku AC. Kąt CDA ma miarę 50°, a kąt COB ma miarę 30° (zobacz rysunek). [rysunek] Miara kąta ostrego BOA jest równa A. 50° B. 60° C. 70° D. 100°
Zadanie 19. (0-1)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.
rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach
nietypowych.
Zdający:
VIII.5) stosuje własności kątów wpisanych
i środkowych.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A
Wersja B
C
B
Odpowiedź: C
\nStrona arkusza CKE z trescia zadania
\nCo zrobić?
\nTwierdzenie o kącie środkowym i wpisanym. Kąt środkowy = $2 \\times$ kąt wpisany, jeśli oba opierają się na tym samym łuku.
\n$\\angle CDA = 50°$ (kąt wpisany) — opiera się na łuku $CA$ niezawierającym punktu $D$. Z rysunku: ten łuk to łuk przez $B$ (B jest po przeciwnej stronie niż D).
\nOdpowiadający kąt środkowy. Mierzony przez ten sam łuk (przez $B$):
\n$$\\angle \\text{środkowy oparty na łuku przez } B = 2 \\cdot 50° = 100°$$
\nTen kąt to $\\angle COA$ "mierzony przez stronę z $B$", czyli $\\angle COA = \\angle COB + \\angle BOA$.
\nOblicz $\\angle BOA$.
\n$$\\angle COB + \\angle BOA = 100°$$
\n$$30° + \\angle BOA = 100°$$
\n$$\\angle BOA = 70°$$
\nPo co to umieć
\nDwa twierdzenia z okręgu w jednym zadaniu:
\nZawsze sprawdź, na którym łuku opiera się każdy kąt (patrz na rozmieszczenie punktów na rysunku).
\nTypowy błąd: Klucz: kąt wpisany $\\angle CDA = 50°$ opiera się na łuku CA niezawierającym D, czyli na łuku przez B. Kąt środkowy = $2 \\cdot 50° = 100°$ — i ten kąt to suma $\\angle COB + \\angle BOA$.
"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"Miara kata ostrego \\( BOA \\) jest rowna \\( 70^\\circ \\).
\nKrok 1. Rozpoznanie figury.
Punkty \\( A, B, C, D \\) leza na okregu o srodku \\( O \\), przy czym \\( B \\) lezy na krotszym luku \\( AC \\). To oznacza, ze punkty \\( A \\) i \\( C \\) dziela okrag na dwa luki, a \\( B \\) jest na tym krotszym (od strony \\( O \\)-niezawierajacym \\( D \\)), natomiast \\( D \\) lezy na dluzszym luku \\( AC \\).
Krok 2. Kat wpisany \\( CDA \\) oparty na luku \\( AC \\).
Kat \\( CDA \\) ma wierzcholek \\( D \\) na okregu, a jego ramiona przechodza przez punkty \\( A \\) i \\( C \\). Jest to wiec kat wpisany oparty na luku \\( AC \\) (tym luku, ktory NIE zawiera punktu \\( D \\), czyli krotszym luku, na ktorym lezy \\( B \\)).
Krok 3. Kat srodkowy \\( AOC \\) oparty na tym samym luku.
Z twierdzenia: kat srodkowy jest dwa razy wiekszy od kata wpisanego opartego na tym samym luku (karta wzorow CKE EM2023, dzial „Planimetria - kat wpisany i srodkowy": kat srodkowy \\( = 2 \\times \\) kat wpisany). Zatem
\\[
\\angle AOC = 2 \\cdot \\angle CDA = 2 \\cdot 50^\\circ = 100^\\circ .
\\]
Krok 4. Rozbicie kata srodkowego \\( AOC \\).
Poniewaz \\( B \\) lezy na krotszym luku \\( AC \\), promien \\( OB \\) lezy wewnatrz kata \\( AOC \\) i dzieli go na dwa katy srodkowe:
\\[
\\angle AOC = \\angle BOA + \\angle COB .
\\]
Krok 5. Obliczenie kata \\( BOA \\).
Podstawiamy znane wartosci \\( \\angle AOC = 100^\\circ \\) oraz \\( \\angle COB = 30^\\circ \\):
\\[
\\angle BOA = \\angle AOC - \\angle COB = 100^\\circ - 30^\\circ = 70^\\circ .
\\]
To kat ostry, zgodnie z trescia zadania. Odpowiedz: C.
\nKąt wpisany ∠ CDA ma miarę 50^° , więc oparty na nim łuk CA ma miarę dwa razy większą.
\noverset frown CA =2·50^°=100^°
\nPunkt B leży na krótszym łuku AC , a kąt środkowy ∠ COB ma miarę 30^° . Zatem:
\noverset frown CB =30^°
\nCały krótszy łuk CA ma 100^° , więc łuk BA ma miarę:
\noverset frown BA =100^°-30^°=70^°
\nKąt ∠ BOA jest kątem środkowym opartym na łuku BA , dlatego:
\n|∠ BOA|=70^°
\nOdpowiedź: C. 70^°
"}]}