{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nKlient wpłacił do banku 10 000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie\noszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 6% od kwoty bieżącego kapitału\nznajdującego się na lokacie - zgodnie z procentem składanym.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPo dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez\nuwzględniania podatków) jest równa\nA. 1200 zł\nB. 1236 zł\nC. 1836 zł\nD. 3600 zł\n\nMMAP-P0_100\nKlient wpłacił do banku 10 000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 6% od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie - zgodnie z procentem składanym. Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa A. 1200 zł B. 1236 zł C. 1836 zł D. 3600 zł","answer":"B","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nI.8) wykorzystuje własności potęgowania\ni pierwiastkowania w sytuacjach\npraktycznych, w tym do obliczania\nprocentów składanych, zysków z lokat\ni kosztów kredytów.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nB\nC","solution":"Odpowiedź: B\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nWzór na kapitał po $n$ latach (procent składany):\n\n$$K_n = K_0 (1 + r)^n$$\n\nTutaj: $K_0 = 10\\,000$, $r = 0{,}06$, $n = 2$.\n\nKapitał po 2 latach:\n\n$$K_2 = 10\\,000 \\cdot 1{,}06^2 = 10\\,000 \\cdot 1{,}1236 = 11\\,236 \\text{ zł}$$\n\nAlternatywnie: po 1. roku $10\\,000 \\cdot 1{,}06 = 10\\,600$; po 2. roku $10\\,600 \\cdot 1{,}06 = 11\\,236$.\n\nOdsetki = przyrost kapitału:\n\n$$O = K_2 - K_0 = 11\\,236 - 10\\,000 = 1\\,236 \\text{ zł}$$\n\nPo co to umieć\n\nProcent składany: $K_n = K_0 (1 + r)^n$\nProcent prosty: $K_n = K_0 (1 + r \\cdot n)$\n\nPo 1 roku oba są równe. Im więcej lat, tym większa różnica — to istota „odsetek od odsetek\".\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: $1200$ zł (procent prosty: $2 \\cdot 6\\% \\cdot 10000$). Procent **składany** dolicza odsetki od bieżącego kapitału (z odsetkami z poprzedniego roku), więc po 2 latach to $1236$ zł, nie $1200$.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"procent składany, lokata, Procenty, ciagi","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 2. (0-1)<br>Klient wpłacił do banku 10 000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie<br>oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 6% od kwoty bieżącego kapitału<br>znajdującego się na lokacie - zgodnie z procentem składanym.<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez<br>uwzględniania podatków) jest równa<br>A. 1200 zł<br>B. 1236 zł<br>C. 1836 zł<br>D. 3600 zł</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Klient wpłacił do banku 10 000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 6% od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie - zgodnie z procentem składanym. Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa A. 1200 zł B. 1236 zł C. 1836 zł D. 3600 zł</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 2. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>I. Sprawność rachunkowa.<br>Wykonywanie obliczeń na liczbach<br>rzeczywistych, także przy użyciu<br>kalkulatora, stosowanie praw działań<br>matematycznych przy przekształcaniu<br>wyrażeń algebraicznych oraz<br>wykorzystywanie tych umiejętności przy<br>rozwiązywaniu problemów w kontekstach<br>rzeczywistych i teoretycznych.<br>Zdający:<br>I.8) wykorzystuje własności potęgowania<br>i pierwiastkowania w sytuacjach<br>praktycznych, w tym do obliczania<br>procentów składanych, zysków z lokat<br>i kosztów kredytów.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>Wersja A<br>Wersja B<br>B<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-2.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: B</p>\n<p>Strona arkusza CKE z trescia zadania</p>\n<p>Co zrobić?</p>\n<p>Wzór na kapitał po $n$ latach (procent składany):</p>\n<p>$$K_n = K_0 (1 + r)^n$$</p>\n<p>Tutaj: $K_0 = 10\\,000$, $r = 0{,}06$, $n = 2$.</p>\n<p>Kapitał po 2 latach:</p>\n<p>$$K_2 = 10\\,000 \\cdot 1{,}06^2 = 10\\,000 \\cdot 1{,}1236 = 11\\,236 \\text{ zł}$$</p>\n<p>Alternatywnie: po 1. roku $10\\,000 \\cdot 1{,}06 = 10\\,600$; po 2. roku $10\\,600 \\cdot 1{,}06 = 11\\,236$.</p>\n<p>Odsetki = przyrost kapitału:</p>\n<p>$$O = K_2 - K_0 = 11\\,236 - 10\\,000 = 1\\,236 \\text{ zł}$$</p>\n<p>Po co to umieć</p>\n<p>Procent składany: $K_n = K_0 (1 + r)^n$<br>Procent prosty: $K_n = K_0 (1 + r \\cdot n)$</p>\n<p>Po 1 roku oba są równe. Im więcej lat, tym większa różnica — to istota „odsetek od odsetek&quot;.</p>\n<p>Typowy błąd: Najczęstszy błąd: $1200$ zł (procent prosty: $2 \\cdot 6\\% \\cdot 10000$). Procent <strong>składany</strong> dolicza odsetki od bieżącego kapitału (z odsetkami z poprzedniego roku), więc po 2 latach to $1236$ zł, nie $1200$.</p>"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedz: B</h4>\n<h4>Sposob 1 - Procent skladany (kapitalizacja roczna)</h4>\n<p><strong>Dane:</strong></p>\n<ul><li>kapital poczatkowy \\( K_0 = 10\\,000 \\) zl,</li><li>roczna stopa procentowa \\( p = 6\\% = 0{,}06 \\),</li><li>czas oszczedzania \\( n = 2 \\) lata,</li><li>kapitalizacja roczna (odsetki dopisywane po kazdym roku do kapitalu).</li></ul>\n<p><strong>Krok 1. Wzor na procent skladany.</strong><br>Przy kapitalizacji odsetek po kazdym okresie kapital koncowy obliczamy ze wzoru<br>\\[<br>K_n = K_0 \\cdot (1 + p)^n.<br>\\]<br>To wlasnie istota procentu skladanego: odsetki za drugi rok naliczane sa nie tylko od wplaty, ale takze od odsetek z pierwszego roku. (Karta wzorow CKE EM2023, dzial &quot;Procent skladany&quot; - wzor \\( K_n = K_0(1+p)^n \\).)</p>\n<p><strong>Krok 2. Podstawienie danych.</strong><br>\\[<br>K_2 = 10\\,000 \\cdot (1 + 0{,}06)^2 = 10\\,000 \\cdot 1{,}06^2.<br>\\]</p>\n<p><strong>Krok 3. Obliczenie \\( 1{,}06^2 \\).</strong><br>\\[<br>1{,}06^2 = 1{,}1236,<br>\\]<br>zatem<br>\\[<br>K_2 = 10\\,000 \\cdot 1{,}1236 = 11\\,236 \\text{ zl}.<br>\\]</p>\n<p><strong>Krok 4. Laczne odsetki = kapital koncowy minus wplata.</strong><br>\\[<br>\\text{odsetki} = K_2 - K_0 = 11\\,236 - 10\\,000 = 1236 \\text{ zl}.<br>\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedz: B - \\(1236\\) zl.</strong></p>\n<h5>Kontrola rok po roku</h5>\n<ul><li>Po 1. roku: \\( 10\\,000 \\cdot 1{,}06 = 10\\,600 \\) (odsetki 600 zl).</li><li>Po 2. roku: \\( 10\\,600 \\cdot 1{,}06 = 11\\,236 \\) (odsetki 636 zl od kwoty 10 600 zl).</li><li>Razem doliczone odsetki: \\( 600 + 636 = 1236 \\) zl. Zgadza sie.</li></ul>\n<h4>Dlaczego pozostale sa bledne</h4>\n<ul><li><strong>A. \\(1200\\) zl</strong> - to wynik blednego potraktowania lokaty jako procentu <strong>prostego</strong>: \\( 2 \\cdot 0{,}06 \\cdot 10\\,000 = 1200 \\). Pomija doliczenie odsetek od odsetek za drugi rok (brakuje 36 zl).</li><li><strong>C. \\(1836\\) zl</strong> - bledne zsumowanie lub zawyzona stopa; nie wynika z poprawnych obliczen przy \\(6\\%\\) i 2 latach.</li><li><strong>D. \\(3600\\) zl</strong> - wartosc znacznie zawyzona (np. potraktowanie 6% jako kwoty na zlym poziomie albo zly mnoznik); nierealny rzad wielkosci dla 6% przez 2 lata.</li></ul>\n<h4>Typowe pulapki</h4>\n<ol><li><strong>Procent prosty zamiast skladanego</strong> - najczestszy blad to policzenie \\( 2 \\cdot 6\\% \\cdot 10\\,000 = 1200 \\) zl (odpowiedz A). W procencie skladanym za drugi rok odsetki naliczane sa od <strong>wiekszego</strong> kapitalu (10 600 zl), wiec sa wyzsze.</li><li><strong>Mylenie kapitalu koncowego z odsetkami</strong> - wartosc \\(11\\,236\\) zl to caly kapital, a pytanie dotyczy <strong>lacznych odsetek</strong>, czyli trzeba jeszcze odjac wplate \\(10\\,000\\) zl, otrzymujac \\(1236\\) zl.</li></ol>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Po pierwszym roku kapitał zwiększa się o 6% , czyli mnożymy przez 1 , 06 .</p>\n<p>10000·1 , 06=10600</p>\n<p>Po drugim roku bank znowu dolicza 6% :</p>\n<p>10600·1 , 06=11236</p>\n<p>Łączna kwota odsetek:</p>\n<p>11236-10000=1236</p>\n<p>Odpowiedź: B. 1236 zł</p>"}]}