{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nNa płaszczyźnie dane są cztery proste: 𝑘, 𝑙, 𝑚 oraz 𝑛. Proste 𝑘 oraz 𝑙 są równoległe.\nProsta 𝑚 przecina proste 𝑘 oraz 𝑙 w punktach - odpowiednio - 𝐴 oraz 𝐶.\nProsta 𝑛 przecina proste 𝑘 oraz 𝑙 w punktach - odpowiednio - 𝐷 oraz 𝐵.\nOdcinki 𝐴𝐶 i 𝐵𝐷 przecinają się w punkcie 𝑂.\nPonadto |𝑂𝐴| = 12, |𝑂𝐵| = 6 oraz |𝑂𝐶| = 8 (zobacz rysunek).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nOdcinek 𝑂𝐷 ma długość\nA. 4\nB. 9\nC. 10\nD. 16\n𝑂\n𝑘\n𝑙\n𝑚\n𝐴\n𝐶\n𝑛\n𝐵\n𝐷\n12\n6\n8\n\nMMAP-P0_100\nNa płaszczyźnie dane są cztery proste: k,l,m oraz n. Proste k oraz l są równoległe. Prosta m przecina proste k oraz l w punktach - odpowiednio - A oraz C. Prosta n przecina proste k oraz l w punktach - odpowiednio - D oraz B. Odcinki AC i BD przecinają się w punkcie O. Ponadto |OA|=12, |OB|=6 oraz |OC|=8 (zobacz rysunek). [rysunek] Odcinek OD ma długość A. 4 B. 9 C. 10 D. 16","answer":"B","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nVIII.7) stosuje twierdzenie Talesa.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nB\nC","solution":"Odpowiedź: B\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nPodobieństwo trójkątów $AOD$ i $COB$.\n- $\\angle AOD = \\angle COB$ — kąty wierzchołkowe w $O$.\n- $\\angle OAD = \\angle OCB$ — kąty naprzemianległe (prosta $m$ przecina równoległe $k \\parallel l$).\n\nTrójkąty $AOD$ i $COB$ są podobne w skali $\\frac{OA}{OC}$.\n\nStosunek boków. W podobnych trójkątach odpowiednie boki proporcjonalne:\n\n$$\\frac{OA}{OC} = \\frac{OD}{OB}$$\n\n$$\\frac{12}{8} = \\frac{OD}{6}$$\n\nRozwiąż.\n\n$$OD = \\frac{12 \\cdot 6}{8} = \\frac{72}{8} = 9$$\n\nPo co to umieć\n\nZawsze gdy w zadaniu są proste równoległe i sieczne przecinające się w punkcie — szukaj trójkątów podobnych (przez kąty naprzemianległe i wierzchołkowe). To klasyk Twierdzenia Talesa.\n\nSprawdź na końcu: jeśli $\\frac{12}{8} = \\frac{9}{6} = 1{,}5$ — proporcja zachowana ✓.\n\nTypowy błąd: Pułapka: trójkąty $AOD$ i $COB$ są podobne (kąty wierzchołkowe + kąty naprzemianległe przy $k \\parallel l$). Stosunek: $\\frac{OA}{OC} = \\frac{OD}{OB}$.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-20.svg","topics":"trójkąty podobne, proste równoległe, twierdzenie Talesa, Planimetria","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 20. (0-1)<br>Na płaszczyźnie dane są cztery proste: 𝑘, 𝑙, 𝑚 oraz 𝑛. Proste 𝑘 oraz 𝑙 są równoległe.<br>Prosta 𝑚 przecina proste 𝑘 oraz 𝑙 w punktach - odpowiednio - 𝐴 oraz 𝐶.<br>Prosta 𝑛 przecina proste 𝑘 oraz 𝑙 w punktach - odpowiednio - 𝐷 oraz 𝐵.<br>Odcinki 𝐴𝐶 i 𝐵𝐷 przecinają się w punkcie 𝑂.<br>Ponadto |𝑂𝐴| = 12, |𝑂𝐵| = 6 oraz |𝑂𝐶| = 8 (zobacz rysunek).<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Odcinek 𝑂𝐷 ma długość<br>A. 4<br>B. 9<br>C. 10<br>D. 16<br>𝑂<br>𝑘<br>𝑙<br>𝑚<br>𝐴<br>𝐶<br>𝑛<br>𝐵<br>𝐷<br>12<br>6<br>8</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Na płaszczyźnie dane są cztery proste: k,l,m oraz n. Proste k oraz l są równoległe. Prosta m przecina proste k oraz l w punktach - odpowiednio - A oraz C. Prosta n przecina proste k oraz l w punktach - odpowiednio - D oraz B. Odcinki AC i BD przecinają się w punkcie O. Ponadto |OA|=12, |OB|=6 oraz |OC|=8 (zobacz rysunek). [rysunek] Odcinek OD ma długość A. 4 B. 9 C. 10 D. 16</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 20. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Przeprowadzanie rozumowań, także</li></ol>\n<p>kilkuetapowych, podawanie argumentów<br>uzasadniających poprawność rozumowania,<br>odróżnianie dowodu od przykładu.<br>Zdający:<br>VIII.7) stosuje twierdzenie Talesa.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>Wersja A<br>Wersja B<br>B<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-20.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: B</p>\n<p>Strona arkusza CKE z trescia zadania</p>\n<p>Co zrobić?</p>\n<p>Podobieństwo trójkątów $AOD$ i $COB$.</p>\n<ul><li>$\\angle AOD = \\angle COB$ — kąty wierzchołkowe w $O$.</li><li>$\\angle OAD = \\angle OCB$ — kąty naprzemianległe (prosta $m$ przecina równoległe $k \\parallel l$).</li></ul>\n<p>Trójkąty $AOD$ i $COB$ są podobne w skali $\\frac{OA}{OC}$.</p>\n<p>Stosunek boków. W podobnych trójkątach odpowiednie boki proporcjonalne:</p>\n<p>$$\\frac{OA}{OC} = \\frac{OD}{OB}$$</p>\n<p>$$\\frac{12}{8} = \\frac{OD}{6}$$</p>\n<p>Rozwiąż.</p>\n<p>$$OD = \\frac{12 \\cdot 6}{8} = \\frac{72}{8} = 9$$</p>\n<p>Po co to umieć</p>\n<p>Zawsze gdy w zadaniu są proste równoległe i sieczne przecinające się w punkcie — szukaj trójkątów podobnych (przez kąty naprzemianległe i wierzchołkowe). To klasyk Twierdzenia Talesa.</p>\n<p>Sprawdź na końcu: jeśli $\\frac{12}{8} = \\frac{9}{6} = 1{,}5$ — proporcja zachowana ✓.</p>\n<p>Typowy błąd: Pułapka: trójkąty $AOD$ i $COB$ są podobne (kąty wierzchołkowe + kąty naprzemianległe przy $k \\parallel l$). Stosunek: $\\frac{OA}{OC} = \\frac{OD}{OB}$.</p>"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedz: B</h4>\n<p>\\( |OD| = 9 \\)</p>\n<h4>Sposob 1 - podobienstwo trojkatow (katy naprzemianlegle)</h4>\n<p><strong>Krok 1. Ustalenie konfiguracji.</strong><br>Proste \\( k \\parallel l \\). Sieczna \\( m \\) przecina je w punktach \\( A \\) (na \\( k \\)) i \\( C \\) (na \\( l \\)). Sieczna \\( n \\) przecina je w punktach \\( D \\) (na \\( k \\)) i \\( B \\) (na \\( l \\)). Odcinki \\( AC \\) i \\( BD \\) krzyzuja sie w punkcie \\( O \\), ktory lezy miedzy prostymi \\( k \\) i \\( l \\). Punkt \\( A \\) i \\( D \\) leza na prostej \\( k \\), natomiast \\( C \\) i \\( B \\) leza na prostej \\( l \\).</p>\n<p><strong>Krok 2. Wskazanie dwoch trojkatow.</strong><br>Rozwazamy trojkaty \\( AOD \\) oraz \\( COB \\), w ktorych:</p>\n<ul><li>\\( A, D \\) leza na prostej \\( k \\),</li><li>\\( C, B \\) leza na prostej \\( l \\),</li><li>wspolnym wierzcholkiem jest punkt przeciecia \\( O \\).</li></ul>\n<p><strong>Krok 3. Rownosc katow.</strong></p>\n<ul><li>Kat \\( \\angle AOD \\) i kat \\( \\angle COB \\) to katy wierzcholkowe (powstale przy przecieciu prostych \\( AC \\) i \\( BD \\)), wiec</li></ul>\n<p>\\[ \\angle AOD = \\angle COB. \\]</p>\n<ul><li>Kat \\( \\angle OAD \\) (przy wierzcholku \\( A \\) na prostej \\( k \\)) i kat \\( \\angle OCB \\) (przy wierzcholku \\( C \\) na prostej \\( l \\)) to katy naprzemianlegle przy prostych rownoleglych \\( k \\parallel l \\) przecietych sieczna \\( AC \\), wiec</li></ul>\n<p>\\[ \\angle OAD = \\angle OCB. \\]</p>\n<p><strong>Krok 4. Cecha podobienstwa (kat-kat).</strong><br>Z dwoch par rownych katow wynika, ze<br>\\[ \\triangle AOD \\sim \\triangle COB \\]<br>(cecha kat-kat, KK). Wierzcholki odpowiadaja sobie tak: \\( A \\leftrightarrow C \\), \\( O \\leftrightarrow O \\), \\( D \\leftrightarrow B \\).</p>\n<p><strong>Krok 5. Proporcja bokow odpowiadajacych.</strong><br>Boki lezace naprzeciw rownych katow sa proporcjonalne. Bokowi \\( OA \\) odpowiada \\( OC \\), a bokowi \\( OD \\) odpowiada \\( OB \\), zatem<br>\\[ \\frac{OA}{OC} = \\frac{OD}{OB}. \\]</p>\n<p><strong>Krok 6. Podstawienie danych i obliczenie.</strong><br>Mamy \\( |OA| = 12 \\), \\( |OC| = 8 \\), \\( |OB| = 6 \\). Stad<br>\\[ \\frac{12}{8} = \\frac{|OD|}{6} \\quad\\Longrightarrow\\quad |OD| = \\frac{12 \\cdot 6}{8} = \\frac{72}{8} = 9. \\]</p>\n<p><strong>Wynik:</strong> \\( |OD| = 9 \\) - odpowiedz <strong>B</strong>.</p>\n<blockquote>Odwolanie do KARTY WZOROW CKE EM2023: dzial <strong>Planimetria - figury podobne</strong>. Stosunek dlugosci bokow odpowiadajacych w trojkatach podobnych jest staly (skala podobienstwa). Wykorzystano tez wlasnosci katow: katy wierzcholkowe sa rowne oraz katy naprzemianlegle przy prostych rownoleglych sa rowne.</blockquote>\n<h4>Dlaczego pozostale sa bledne</h4>\n<ul><li><strong>A. \\( 4 \\)</strong> - wynik z odwrotnej proporcji, np. \\( \\frac{8}{12}\\cdot 6 = 4 \\); blednie przyporzadkowano boki odpowiadajace (zamieniono licznik z mianownikiem).</li><li><strong>C. \\( 10 \\)</strong> - brak podstawy; prawdopodobnie probowano dodawac/odejmowac dlugosci (np. \\( 12+6-8 \\)) zamiast korzystac z proporcji podobienstwa.</li><li><strong>D. \\( 16 \\)</strong> - wynik z nieprawidlowej proporcji \\( \\frac{12}{6}\\cdot 8 = 16 \\); zle dobrano pary bokow odpowiadajacych (polaczono \\( OA \\) z \\( OB \\) zamiast z \\( OC \\)).</li></ul>\n<h4>Typowe pulapki</h4>\n<ol><li><strong>Zle dobrane pary bokow.</strong> Kluczowe jest, ze \\( A \\) i \\( D \\) sa na jednej prostej (\\( k \\)), a \\( C \\) i \\( B \\) na drugiej (\\( l \\)). W podobienstwie \\( \\triangle AOD \\sim \\triangle COB \\) bokowi \\( OA \\) odpowiada \\( OC \\) (oba &quot;od strony&quot; punktu przeciecia danej siecznej), a nie \\( OB \\). Pomylenie odpowiadajacych bokow daje 4 lub 16.</li><li><strong>Mylenie tej sytuacji z twierdzeniem Talesa na jednej prostej.</strong> Tu odcinki przecinaja sie miedzy prostymi rownoleglymi, wiec dziala podobienstwo &quot;klepsydry&quot; (katy wierzcholkowe + naprzemianlegle), a nie proste odkladanie odcinkow na wspolnej prostej. Zawsze sprawdz, ktore punkty leza na ktorej prostej rownoleglej.</li></ol>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Proste k oraz l są równoległe, więc trójkąty AOD oraz COB są podobne.</p>\n<p>Odpowiadające sobie odcinki leżą na tych samych prostych przecinających proste równoległe.</p>\n<p>(OA)/(OC)=(OD)/(OB)</p>\n<p>Podstawiamy dane z rysunku:</p>\n<p>(12)/(8)=(OD)/(6)</p>\n<p>Obliczamy OD :</p>\n<p>OD=6·(12)/(8)</p>\n<p>OD=6·(3)/(2)</p>\n<p>OD=9</p>\n<p>Odpowiedź: B. 9</p>"}]}