{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nW okrąg 𝒪 o promieniu 9√3 wpisano trójkąt równoboczny 𝒯.\nUzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie\nbyło prawdziwe.\nBok trójkąta 𝒯 ma długość\nW okrąg O o promieniu 9√3 wpisano trójkąt równoboczny T. Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. Bok trójkąta T ma długość ............ .","answer":"27","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nVIII.3) rozpoznaje wielokąty foremne\ni korzysta z ich podstawowych własności;\nVIII.10) wskazuje podstawowe punkty\nszczególne w trójkącie: […] środek okręgu\nopisanego na trójkącie […].\nZasady oceniania\n1 pkt - poprawne uzupełnienie zdania.\n0 pkt - brak spełnienia powyższego kryterium.\nRozwiązanie\nBok trójkąta 𝒯 ma długość 27.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: 27\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nWzór dla trójkąta równobocznego. Promień okręgu opisanego (przez wierzchołki):\n\n$$R = \\frac{a\\sqrt{3}}{3} = \\frac{a}{\\sqrt{3}}$$\n\nWyznacz $a$.\n\n$$9\\sqrt{3} = \\frac{a}{\\sqrt{3}}$$\n\n$$a = 9\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{3} = 9 \\cdot 3 = 27$$\n\nPo co to umieć\n\nTrójkąt równoboczny — pełen wzorów z $\\sqrt{3}$:\n- Pole: $P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}$\n- Wysokość: $h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}$\n- Promień opisanego: $R = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}$\n- Promień wpisanego: $r = \\frac{a\\sqrt{3}}{6}$\n\nWszystkie wynikają z $h$ i podziału na pół (linia prosta przez wierzchołek dzieli trójkąt na dwa 30-60-90).\n\nTypowy błąd: Łatwo pomylić promień okręgu **wpisanego** ($r = \\frac{a\\sqrt{3}}{6}$) z promieniem **opisanego** ($R = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}$). Wpisanego w trójkąt = małe kółko **w środku** trójkąta. Opisanego na trójkącie = duże kółko **wokół** wierzchołków.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-22.svg","topics":"trójkąt równoboczny wpisany w okrąg, promień, Planimetria","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":"maturaonline","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 22. (0-1)<br>W okrąg 𝒪 o promieniu 9√3 wpisano trójkąt równoboczny 𝒯.<br>Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie<br>było prawdziwe.<br>Bok trójkąta 𝒯 ma długość<br>W okrąg O o promieniu 9√3 wpisano trójkąt równoboczny T. Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. Bok trójkąta T ma długość ............ .</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 22. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Przeprowadzanie rozumowań, także</li></ol>\n<p>kilkuetapowych, podawanie argumentów<br>uzasadniających poprawność rozumowania,<br>odróżnianie dowodu od przykładu.<br>Zdający:<br>VIII.3) rozpoznaje wielokąty foremne<br>i korzysta z ich podstawowych własności;<br>VIII.10) wskazuje podstawowe punkty<br>szczególne w trójkącie: […] środek okręgu<br>opisanego na trójkącie […].<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - poprawne uzupełnienie zdania.<br>0 pkt - brak spełnienia powyższego kryterium.<br>Rozwiązanie<br>Bok trójkąta 𝒯 ma długość 27.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-22.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: 27</p>\n<p>Strona arkusza CKE z trescia zadania</p>\n<p>Co zrobić?</p>\n<p>Wzór dla trójkąta równobocznego. Promień okręgu opisanego (przez wierzchołki):</p>\n<p>$$R = \\frac{a\\sqrt{3}}{3} = \\frac{a}{\\sqrt{3}}$$</p>\n<p>Wyznacz $a$.</p>\n<p>$$9\\sqrt{3} = \\frac{a}{\\sqrt{3}}$$</p>\n<p>$$a = 9\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{3} = 9 \\cdot 3 = 27$$</p>\n<p>Po co to umieć</p>\n<p>Trójkąt równoboczny — pełen wzorów z $\\sqrt{3}$:</p>\n<ul><li>Pole: $P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}$</li><li>Wysokość: $h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}$</li><li>Promień opisanego: $R = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}$</li><li>Promień wpisanego: $r = \\frac{a\\sqrt{3}}{6}$</li></ul>\n<p>Wszystkie wynikają z $h$ i podziału na pół (linia prosta przez wierzchołek dzieli trójkąt na dwa 30-60-90).</p>\n<p>Typowy błąd: Łatwo pomylić promień okręgu <strong>wpisanego</strong> ($r = \\frac{a\\sqrt{3}}{6}$) z promieniem <strong>opisanego</strong> ($R = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}$). Wpisanego w trójkąt = małe kółko <strong>w środku</strong> trójkąta. Opisanego na trójkącie = duże kółko <strong>wokół</strong> wierzchołków.</p>"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedz: bok trojkata ma dlugosc \\( 27 \\)</h4>\n<h4>Sposob 1 - Wzor na promien okregu opisanego na trojkacie rownobocznym</h4>\n<p><strong>Krok 1. Co wiemy.</strong><br>Trojkat rownoboczny \\( \\mathcal{T} \\) jest wpisany w okrag \\( O \\), wiec okrag \\( O \\) jest okregiem <strong>opisanym</strong> na tym trojkacie. Jego promien wynosi<br>\\[<br>R = 9\\sqrt{3}.<br>\\]<br>Szukamy dlugosci boku \\( a \\) trojkata.</p>\n<p><strong>Krok 2. Zwiazek miedzy bokiem a promieniem.</strong><br>Dla trojkata rownobocznego o boku \\( a \\) promien okregu opisanego dany jest wzorem (Karta wzorow CKE EM2023, dzial <em>Planimetria - trojkat rownoboczny</em>):<br>\\[<br>R = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}.<br>\\]</p>\n<p><strong>Krok 3. Podstawiamy dane i wyznaczamy \\( a \\).</strong><br>\\[<br>9\\sqrt{3} = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}.<br>\\]<br>Mnozymy obie strony przez \\( 3 \\):<br>\\[<br>27\\sqrt{3} = a\\sqrt{3}.<br>\\]<br>Dzielimy obie strony przez \\( \\sqrt{3} \\) (jest niezerowe):<br>\\[<br>a = 27.<br>\\]</p>\n<p><strong>Krok 4. Odpowiedz.</strong><br>Bok trojkata \\( \\mathcal{T} \\) ma dlugosc \\( \\boxed{27} \\).</p>\n<h4>Sposob 2 - Przez wysokosc trojkata rownobocznego</h4>\n<p>W trojkacie rownobocznym srodek okregu opisanego pokrywa sie ze srodkiem ciezkosci, ktory dzieli wysokosc w stosunku \\( 2:1 \\) liczac od wierzcholka. Zatem promien \\( R \\) to \\( \\tfrac{2}{3} \\) wysokosci \\( h \\):<br>\\[<br>R = \\frac{2}{3}h.<br>\\]<br>Stad<br>\\[<br>h = \\frac{3}{2}R = \\frac{3}{2}\\cdot 9\\sqrt{3} = \\frac{27\\sqrt{3}}{2}.<br>\\]<br>Wysokosc trojkata rownobocznego o boku \\( a \\) wynosi \\( h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2} \\), wiec<br>\\[<br>\\frac{a\\sqrt{3}}{2} = \\frac{27\\sqrt{3}}{2} \\;\\Rightarrow\\; a\\sqrt{3} = 27\\sqrt{3} \\;\\Rightarrow\\; a = 27.<br>\\]<br>Wynik zgodny ze Sposobem 1.</p>\n<h4>Typowe pulapki</h4>\n<ul><li><strong>Pomylenie okregu opisanego z wpisanym.</strong> Tu trojkat jest <em>wpisany</em> w okrag, wiec to okrag <em>opisany</em> na trojkacie i obowiazuje \\( R = \\frac{a\\sqrt{3}}{3} \\). Gdyby uzyc bledznie promienia okregu wpisanego \\( r = \\frac{a\\sqrt{3}}{6} \\), wyszloby \\( a = 54 \\) - to czesty blad.</li><li><strong>Bledne uproszczenie \\( \\sqrt{3} \\).</strong> Pamietaj, ze \\( \\frac{a\\sqrt{3}}{3} \\) to nie to samo co \\( \\frac{a}{3} \\); promien \\( 9\\sqrt{3} \\) ma czynnik \\( \\sqrt{3} \\), ktory skraca sie z \\( \\sqrt{3} \\) w liczniku wzoru, dajac czysto \\( a = 27 \\).</li></ul>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>W trójkącie równobocznym promień okręgu opisanego jest równy:</p>\n<p>R=frac a√(3) 3</p>\n<p>Stąd:</p>\n<p>a=R√(3)</p>\n<p>Promień okręgu ma długość 9√(3) , więc:</p>\n<p>a=9√(3)·√(3)</p>\n<p>a=9·3=27</p>\n<p>Odpowiedź: 27</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$27$</p>"}]}