Zadanie 23. (0-1)
K膮t 饾浖 jest ostry i spe艂nia warunek 3sin饾浖 + 4cos饾浖
4cos饾浖
= 6.
Doko艅cz zdanie. Wybierz w艂a艣ciw膮 odpowied藕 spo艣r贸d podanych.
Tangens k膮ta 饾浖 jest r贸wny
A. 5
8
B. 8
3
C. 32
5
D. 20
3
22.
0-1
MMAP-P0_100
K膮t 伪 jest ostry i spe艂nia warunek 3sin伪 + 4cos伪 / 4cos伪 = 6. Tangens k膮ta 伪 jest r贸wny A. 5/8 B. 8/3 C. 32/5 D. 20/3
Zadanie 23. (0-1)
Wymaganie og贸lne
Wymaganie szczeg贸艂owe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
i operowanie nimi, interpretowanie poj臋膰
matematycznych.
Zdaj膮cy:
VII.2) korzysta z wzor贸w
sin2 饾浖+ cos2 饾浖= 1, tg 饾浖= sin饾浖
cos饾浖 .
Zasady oceniania
1 pkt - odpowied藕 poprawna.
0 pkt - odpowied藕 niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwi膮zanie
Wersja A
Wersja B
D
A
Odpowied藕: D
\nStrona arkusza CKE z trescia zadania
\nCo zrobi膰?
\nRozdziel u艂amek na sum臋 dw贸ch.
\n$$\\frac{3\\sin\\alpha + 4\\cos\\alpha}{4\\cos\\alpha} = \\frac{3\\sin\\alpha}{4\\cos\\alpha} + \\frac{4\\cos\\alpha}{4\\cos\\alpha}$$
\n$$= \\frac{3}{4} \\cdot \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} + 1 = \\frac{3}{4}\\tan\\alpha + 1$$
\nR贸wnanie z $\\tan\\alpha$.
\n$$\\frac{3}{4}\\tan\\alpha + 1 = 6$$
\n$$\\frac{3}{4}\\tan\\alpha = 5$$
\n$$\\tan\\alpha = \\frac{20}{3}$$
\nPo co to umie膰
\nW zadaniach trygonometrycznych zawsze szukaj, jak dzieli膰 u艂amki na sumy, przemna偶a膰 przez $\\cos\\alpha$ lub wyci膮ga膰 $\\tan\\alpha$.
\nTo偶samo艣膰, kt贸r膮 warto zna膰:
$$\\sin^2 + \\cos^2 = 1 \\quad\\Longrightarrow\\quad 1 + \\tan^2 = \\frac{1}{\\cos^2}$$
Typowy b艂膮d: Klucz: rozdziel u艂amek na sum臋: $\\frac{3\\sin\\alpha}{4\\cos\\alpha} + \\frac{4\\cos\\alpha}{4\\cos\\alpha} = \\frac{3}{4}\\tan\\alpha + 1$. Bez tego nie wyci膮gniesz $\\tan$.
"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"Krok 1. Zapisz zalozenie.
Dane jest rownanie
\\[
\\frac{3\\sin\\alpha + 4\\cos\\alpha}{4\\cos\\alpha} = 6.
\\]
Kat \\( \\alpha \\) jest ostry, wiec \\( \\cos\\alpha \\neq 0 \\) - mianownik nie zeruje sie, dzielenie jest dozwolone.
Krok 2. Rozdziel ulamek na dwa skladniki.
Dziele licznik wyraz po wyrazie przez mianownik \\( 4\\cos\\alpha \\):
\\[
\\frac{3\\sin\\alpha}{4\\cos\\alpha} + \\frac{4\\cos\\alpha}{4\\cos\\alpha} = 6.
\\]
Krok 3. Upro艣膰 drugi skladnik.
Drugi ulamek upraszcza sie do \\( 1 \\):
\\[
\\frac{3}{4}\\cdot\\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} + 1 = 6.
\\]
Krok 4. Wprowadz tangens.
Z definicji funkcji trygonometrycznych (karta wzorow CKE EM2023, dzial "Funkcje trygonometryczne kata ostrego", wzor \\( \\mathrm{tg}\\,\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} \\)) podstawiam \\( \\mathrm{tg}\\,\\alpha \\):
\\[
\\frac{3}{4}\\,\\mathrm{tg}\\,\\alpha + 1 = 6.
\\]
Krok 5. Rozwiaz rownanie liniowe wzgledem \\( \\mathrm{tg}\\,\\alpha \\).
\\[
\\frac{3}{4}\\,\\mathrm{tg}\\,\\alpha = 5 \\quad\\Longrightarrow\\quad \\mathrm{tg}\\,\\alpha = 5\\cdot\\frac{4}{3} = \\frac{20}{3}.
\\]
Krok 6. Sprawdzenie zgodnosci z zalozeniem.
\\( \\mathrm{tg}\\,\\alpha = \\dfrac{20}{3} > 0 \\), a dla kata ostrego tangens jest dodatni - wynik jest spojny z warunkiem zadania.
Zatem \\( \\mathrm{tg}\\,\\alpha = \\dfrac{20}{3} \\) - odpowiedz D.
\nDane jest r贸wnanie:
\n(3sin伪+4cos伪)/(4cos伪)=6
\nRozdzielamy u艂amek:
\n(3sin伪)/(4cos伪)
(4cos伪)/(4cos伪)
=6
(3)/(4)路(sin伪)/(cos伪)+1=6
\nKorzystamy z zale偶no艣ci:
\ntg伪=(sin伪)/(cos伪)
\nOtrzymujemy:
\n(3)/(4)tg伪+1=6
\n(3)/(4)tg伪=5
\ntg伪=(20)/(3)
\nOdpowied藕: D. (20)/(3)
"}]}