{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"24","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24.\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (0, -3), 𝐵= (2, 1) oraz\n𝐶= (0, 2) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkty A=(0,-3), B=(2,1) oraz C=(0,2) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego. Pole trójkąta ABC jest równe A. 3 B. 5 C. 6 D. 10","answer":"B","answer_text":null,"solution":"Odpowiedź: **24.1.** **B** — pole = 5. **24.2.** **D** — środek = $(0, -\\frac{1}{2})$.\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\n24.1. — Pole trójkąta\n\nWektory boków.\n- $\\vec{AB} = (2 - 0, 1 - (-3)) = (2, 4)$\n- $\\vec{AC} = (0, 5)$\n- $\\vec{BC} = (-2, 1)$\n\nSprawdź gdzie kąt prosty. Iloczyn skalarny = 0 → prostopadłe.\n\n$$\\vec{AB} \\cdot \\vec{BC} = 2 \\cdot (-2) + 4 \\cdot 1 = 0$$\n\nKąt prosty przy wierzchołku $B$.\n\nDługości przyprostokątnych.\n\n$$|AB| = \\sqrt{4 + 16} = 2\\sqrt{5}$$\n\n$$|BC| = \\sqrt{4 + 1} = \\sqrt{5}$$\n\nPole.\n\n$$P = \\frac{1}{2} \\cdot 2\\sqrt{5} \\cdot \\sqrt{5} = \\frac{1}{2} \\cdot 2 \\cdot 5 = 5$$\n\n24.2. — Środek okręgu opisanego\n\nTwierdzenie. W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego = środek przeciwprostokątnej (twierdzenie Talesa odwrotne).\n\nPrzeciwprostokątna = bok naprzeciw kąta prostego. Kąt prosty przy $B$ → przeciwprostokątna = $AC$.\n\nŚrodek odcinka $AC$.\n\n$$S = \\left(\\frac{0 + 0}{2}, \\frac{-3 + 2}{2}\\right) = \\left(0, -\\frac{1}{2}\\right)$$\n\nPo co to umieć\n\nGeometria analityczna trójkąta prostokątnego — najlepsza droga przez:\n1. Wektory boków $\\vec{AB}$, $\\vec{BC}$, $\\vec{CA}$.\n2. Iloczyn skalarny = 0 wykrywa kąt prosty.\n3. Twierdzenie Talesa o trójkącie w półokręgu: kąt prosty $\\iff$ wierzchołek leży na okręgu z przeciwprostokątną jako średnicą.\n\nTypowy błąd: W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego = środek **przeciwprostokątnej**. Klucz: zidentyfikuj który bok to przeciwprostokątna (sprawdź iloczyny skalarne lub Pitagoras).","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-24.svg","topics":"geometria analityczna, trójkąt prostokątny, środek okręgu opisanego","page_from":25,"source":"maturaonline","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 24.<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (0, -3), 𝐵= (2, 1) oraz<br>𝐶= (0, 2) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkty A=(0,-3), B=(2,1) oraz C=(0,2) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego. Pole trójkąta ABC jest równe A. 3 B. 5 C. 6 D. 10</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-24.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: <strong>24.1.</strong> <strong>B</strong> — pole = 5. <strong>24.2.</strong> <strong>D</strong> — środek = $(0, -\\frac{1}{2})$.</p>\n<p>Strona arkusza CKE z trescia zadania</p>\n<p>Co zrobić?</p>\n<p>24.1. — Pole trójkąta</p>\n<p>Wektory boków.</p>\n<ul><li>$\\vec{AB} = (2 - 0, 1 - (-3)) = (2, 4)$</li><li>$\\vec{AC} = (0, 5)$</li><li>$\\vec{BC} = (-2, 1)$</li></ul>\n<p>Sprawdź gdzie kąt prosty. Iloczyn skalarny = 0 → prostopadłe.</p>\n<p>$$\\vec{AB} \\cdot \\vec{BC} = 2 \\cdot (-2) + 4 \\cdot 1 = 0$$</p>\n<p>Kąt prosty przy wierzchołku $B$.</p>\n<p>Długości przyprostokątnych.</p>\n<p>$$|AB| = \\sqrt{4 + 16} = 2\\sqrt{5}$$</p>\n<p>$$|BC| = \\sqrt{4 + 1} = \\sqrt{5}$$</p>\n<p>Pole.</p>\n<p>$$P = \\frac{1}{2} \\cdot 2\\sqrt{5} \\cdot \\sqrt{5} = \\frac{1}{2} \\cdot 2 \\cdot 5 = 5$$</p>\n<p>24.2. — Środek okręgu opisanego</p>\n<p>Twierdzenie. W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego = środek przeciwprostokątnej (twierdzenie Talesa odwrotne).</p>\n<p>Przeciwprostokątna = bok naprzeciw kąta prostego. Kąt prosty przy $B$ → przeciwprostokątna = $AC$.</p>\n<p>Środek odcinka $AC$.</p>\n<p>$$S = \\left(\\frac{0 + 0}{2}, \\frac{-3 + 2}{2}\\right) = \\left(0, -\\frac{1}{2}\\right)$$</p>\n<p>Po co to umieć</p>\n<p>Geometria analityczna trójkąta prostokątnego — najlepsza droga przez:</p>\n<ol><li>Wektory boków $\\vec{AB}$, $\\vec{BC}$, $\\vec{CA}$.</li><li>Iloczyn skalarny = 0 wykrywa kąt prosty.</li><li>Twierdzenie Talesa o trójkącie w półokręgu: kąt prosty $\\iff$ wierzchołek leży na okręgu z przeciwprostokątną jako średnicą.</li></ol>\n<p>Typowy błąd: W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego = środek <strong>przeciwprostokątnej</strong>. Klucz: zidentyfikuj który bok to przeciwprostokątna (sprawdź iloczyny skalarne lub Pitagoras).</p>"}]}