{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/24.1","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"24.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24.1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe\nA. 3\nB. 5\nC. 6\nD. 10","answer":"B","answer_text":"Zadanie 24.1. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIX.3) oblicza odległość dwóch punktów\nw układzie współrzędnych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nB\nC","solution":"**B** — pole = 5.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-24.1.webp","solution_image":null,"topics":"geometria analityczna, trójkąt prostokątny, środek okręgu opisanego, analityczna","page_from":25,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 24.1. (0-1)<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe<br>A. 3<br>B. 5<br>C. 6<br>D. 10</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 24.1. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>IX.3) oblicza odległość dwóch punktów<br>w układzie współrzędnych.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>Wersja A<br>Wersja B<br>B<br>C</p>","solutions":[{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p><strong>B</strong> — pole = 5.</p>"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedz: B</h4>\n<p>Dane wierzcholki: \\( A = (0, -3) \\), \\( B = (2, 1) \\), \\( C = (0, 2) \\). Trojkat \\( ABC \\) jest prostokatny, a jego pole wynosi \\( 5 \\).</p>\n<h4>Sposob 1 - bok jako podstawa na osi OY plus wysokosc</h4>\n<p><strong>Krok 1. Zauwaz, ze \\(A\\) i \\(C\\) leza na osi OY.</strong></p>\n<p>Punkty \\( A = (0, -3) \\) oraz \\( C = (0, 2) \\) maja te sama wspolrzedna \\( x = 0 \\), wiec oba leza na osi \\( OY \\). Odcinek \\( AC \\) jest zatem pionowy.</p>\n<p><strong>Krok 2. Wybierz odcinek \\(AC\\) jako podstawe trojkata.</strong></p>\n<p>Dlugosc odcinka pionowego to roznica wspolrzednych \\( y \\) jego koncow:<br>\\[<br>|AC| = |2 - (-3)| = |5| = 5.<br>\\]<br>(To szczegolny przypadek wzoru na dlugosc odcinka z KARTY WZOROW CKE EM2023 - dzial Geometria analityczna: \\( |AC| = \\sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} \\); tu \\( x_C - x_A = 0 \\), wiec zostaje sama roznica \\( y \\).)</p>\n<p><strong>Krok 3. Wyznacz wysokosc opadajaca na podstawe \\(AC\\).</strong></p>\n<p>Podstawa \\( AC \\) lezy na osi \\( OY \\) (prosta \\( x = 0 \\)). Wysokosc trojkata z wierzcholka \\( B = (2, 1) \\) to odleglosc punktu \\( B \\) od tej prostej, czyli wartosc bezwzgledna jego wspolrzednej \\( x \\):<br>\\[<br>h = |x_B| = |2| = 2.<br>\\]</p>\n<p><strong>Krok 4. Oblicz pole.</strong></p>\n<p>Korzystamy ze wzoru na pole trojkata (KARTA WZOROW CKE EM2023 - Planimetria, pole trojkata: \\( P = \\tfrac{1}{2} a h \\)):<br>\\[<br>P = \\frac{1}{2} \\cdot |AC| \\cdot h = \\frac{1}{2} \\cdot 5 \\cdot 2 = 5.<br>\\]</p>\n<p><strong>Sprawdzenie warunku prostego kata.</strong><br>Skoro \\( B \\) ma byc wierzcholkiem kata prostego (jak sugeruje wynik), policzmy wektory:<br>\\( \\vec{BA} = A - B = (-2, -4) \\), \\( \\vec{BC} = C - B = (-2, 1) \\). Iloczyn skalarny:<br>\\[<br>\\vec{BA} \\cdot \\vec{BC} = (-2)(-2) + (-4)(1) = 4 - 4 = 0,<br>\\]<br>wiec kat przy wierzcholku \\( B \\) jest prosty - trojkat faktycznie jest prostokatny, a przyprostokatne to \\( BA \\) i \\( BC \\).</p>\n<p><strong>Kontrola wzorem z wyznacznika (niezalezne potwierdzenie).</strong><br>\\[<br>P = \\frac{1}{2} \\big| x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B) \\big|.<br>\\]<br>\\[<br>P = \\frac{1}{2} \\big| 0\\cdot(1-2) + 2\\cdot(2-(-3)) + 0\\cdot(-3-1) \\big| = \\frac{1}{2} |2 \\cdot 5| = \\frac{1}{2}\\cdot 10 = 5.<br>\\]<br>Oba sposoby daja ten sam wynik: \\( P = 5 \\).</p>\n<h4>Dlaczego pozostale sa bledne</h4>\n<ul><li><strong>A. \\(3\\)</strong> - bledny wynik powstaje np. przy pomyleniu dlugosci podstawy (uzycie \\( |AC| = 3 \\), jakby liczyc tylko \\( |y_A| \\) albo |2-(-1)|), zamiast prawidlowego \\( |AC| = 5 \\).</li><li><strong>C. \\(6\\)</strong> - to pole prostokata o bokach \\( 3 \\times 2 \\) lub blad z pomylonym mnoznikiem; nie odpowiada zadnemu poprawnemu rachunkowi pola tego trojkata.</li><li><strong>D. \\(10\\)</strong> - to wartosc \\( |AC| \\cdot h = 5 \\cdot 2 \\), czyli pole BEZ pomnozenia przez \\( \\tfrac{1}{2} \\) (zapomniany czynnik \\( \\tfrac{1}{2} \\) we wzorze na pole trojkata).</li></ul>\n<h4>Typowe pulapki</h4>\n<ol><li><strong>Zapomniany czynnik \\( \\tfrac{1}{2} \\)</strong> - wzor na pole trojkata to \\( P = \\tfrac{1}{2} a h \\), a nie \\( a h \\). Pominiecie polowy prowadzi prosto do blednej odpowiedzi D (\\(10\\)).</li><li><strong>Zla dlugosc pionowego odcinka</strong> - dla odcinka na osi OY liczymy \\( |y_C - y_A| = |2-(-3)| = 5 \\) z uzyciem nawiasow przy liczbie ujemnej; czesty blad to \\( 2 - 3 = -1 \\) lub \\( |2| + |-3| \\) z gubieniem znaku, co psuje caly rachunek.</li></ol>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Dane są punkty:</p>\n<p>A=(0,-3), B=(2,1), C=(0,2)</p>\n<p>Odcinek AC leży na osi OY , więc jego długość wynosi:</p>\n<p>|AC|=2-(-3)=5</p>\n<p>Odległość punktu B od prostej AC , czyli od osi OY , wynosi 2 .</p>\n<p>Liczymy pole trójkąta:</p>\n<p>P=(1)/(2)·5·2=5</p>\n<p>Odpowiedź: B. 5</p>"}]}