Zadanie 24.2. (0-1)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Środek okręgu opisanego na trójkącie 𝐴𝐵𝐶 ma współrzędne
A. (2
3 , 0)
B. (-1
2 , 0)
C. (0, -2
3)
D. (0, -1
2)
MMAP-P0_100
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkty A=(0,-3), B=(2,1) oraz C=(0,2) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego. Środek okręgu opisanego na trójkącie ABC ma współrzędne A. (2/3,0) B. (-1/2,0) C. (0,-2/3) D. (0,-1/2)
Zadanie 24.2. (0-1)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
VIII.10) wskazuje podstawowe punkty
szczególne w trójkącie: […] środek okręgu
opisanego na trójkącie […].
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A
Wersja B
D
A
D — środek = $(0, -\\frac{1}{2})$.
"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"Srodek okregu opisanego na trojkacie ma wspolrzedne \\( \\left(0, -\\dfrac{1}{2}\\right) \\).
\nKluczowa wlasnosc. W trojkacie prostokatnym srodek okregu opisanego lezy w srodku przeciwprostokatnej. Wynika to z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa: jezeli kat jest prosty, to jest oparty na srednicy okregu - czyli przeciwprostokatna jest srednica, a jej srodek jest srodkiem okregu.
\nKrok 1. Znajdujemy, przy ktorym wierzcholku jest kat prosty.
Liczymy kwadraty dlugosci bokow (karta wzorow CKE EM2023, dzial Geometria analityczna - odleglosc punktow: \\( |PQ|^2 = (x_Q-x_P)^2 + (y_Q-y_P)^2 \\)):
\\[
|AB|^2 = (2-0)^2 + (1-(-3))^2 = 4 + 16 = 20
\\]
\\[
|BC|^2 = (0-2)^2 + (2-1)^2 = 4 + 1 = 5
\\]
\\[
|AC|^2 = (0-0)^2 + (2-(-3))^2 = 0 + 25 = 25
\\]
Krok 2. Sprawdzamy twierdzenie Pitagorasa.
Najdluzszy bok to \\( AC \\) (\\( |AC|^2 = 25 \\)). Sprawdzamy:
\\[
|AB|^2 + |BC|^2 = 20 + 5 = 25 = |AC|^2
\\]
Rownosc zachodzi, wiec na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa kat prosty jest przy wierzcholku \\( B \\), a przeciwprostokatna to \\( AC \\).
\nKrok 3. Wyznaczamy srodek przeciwprostokatnej \\( AC \\).
Korzystamy ze wzoru na srodek odcinka (karta wzorow CKE EM2023, Geometria analityczna - srodek odcinka: \\( S = \\left(\\dfrac{x_A+x_C}{2}, \\dfrac{y_A+y_C}{2}\\right) \\)):
\\[
S = \\left(\\dfrac{0+0}{2},\\; \\dfrac{-3+2}{2}\\right) = \\left(0,\\; -\\dfrac{1}{2}\\right)
\\]
Krok 4. Weryfikacja (opcjonalna).
Punkt \\( S \\) musi byc rownoodlegly od wszystkich wierzcholkow:
\\[
|SA|^2 = 0 + \\left(-3+\\tfrac{1}{2}\\right)^2 = \\left(\\tfrac{5}{2}\\right)^2 = \\tfrac{25}{4}
\\]
\\[
|SB|^2 = (2-0)^2 + \\left(1+\\tfrac{1}{2}\\right)^2 = 4 + \\tfrac{9}{4} = \\tfrac{25}{4}
\\]
\\[
|SC|^2 = 0 + \\left(2+\\tfrac{1}{2}\\right)^2 = \\left(\\tfrac{5}{2}\\right)^2 = \\tfrac{25}{4}
\\]
Wszystkie rowne, wiec \\( S \\) jest srodkiem okregu opisanego (promien \\( R = \\tfrac{5}{2} \\)).
\nOdpowiedz: D.
\nDane są punkty:
\nA=(0,-3), B=(2,1), C=(0,2)
\nNajpierw sprawdzimy, czy trójkąt ABC jest prostokątny. Obliczamy kwadraty długości boków.
\nDługość odcinka AB :
\nAB^2=(2-0)^2+(1-(-3))^2
\nAB^2=2^2+4^2=4+16=20
\nDługość odcinka BC :
\nBC^2=(0-2)^2+(2-1)^2
\nBC^2=(-2)^2+1^2=4+1=5
\nDługość odcinka AC :
\nAC^2=(0-0)^2+(2-(-3))^2
\nAC^2=0^2+5^2=25
\nSprawdzamy zależność z twierdzenia Pitagorasa:
\nAB^2+BC^2=20+5=25
\nAC^2=25
\nZatem:
\nAB^2+BC^2=AC^2
\nNa mocy odwrotnego twierdzenia do twierdzenia Pitagorasa trójkąt ABC jest prostokątny, a przeciwprostokątną jest odcinek AC .
\nW trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego jest środkiem przeciwprostokątnej.
\nObliczamy środek odcinka AC :
\nS= ((x_A+x_C)/(2),(y_A+y_C)/(2) )
\nS= ((0+0)/(2),(-3+2)/(2) )
\nS= (0,-(1)/(2) )
\nOdpowiedź: D. (0,-(1)/(2) )
"}]}