{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest okrąg 𝒪 o środku w punkcie\n𝑆= (1, -3) i o promieniu 5.\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nPunkt 𝐴= (4, -7) leży na okręgu 𝒪.\nP\nF\nOkrąg 𝒪 jest określony równaniem (𝑥-1)2 + (𝑦+ 3)2 = 5.\nP\nF\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dany jest okrąg O o środku w punkcie S=(1,-3) i o promieniu 5. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Punkt A=(4,-7) leży na okręgu O. | P | F | Okrag O jest określony równaniem (x-1)² + (y+3)² = 5. | P | F |","answer":"PF","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIX.3) oblicza odległość dwóch punktów\nw układzie współrzędnych;\nIX.4) posługuje się równaniem okręgu\n(𝑥-𝑎)2 + (𝑦-𝑏)2 = 𝑟2.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nPF\nPF\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: PF\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nZdanie 1: $A = (4, -7)$ leży na okręgu?\n\nSprawdź odległość $|SA|$. Punkt leży na okręgu $\\iff |SA| = r$.\n\n$$|SA|^2 = (4 - 1)^2 + (-7 - (-3))^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$$\n\n$|SA| = 5 = r$ ✓ — punkt leży na okręgu. PRAWDA.\n\nZdanie 2: Równanie $(x-1)^2 + (y+3)^2 = 5$?\n\nWzór ogólny: okrąg o środku $(a, b)$ i promieniu $r$ ma równanie $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$.\n\nŚrodek $(1, -3)$, $r = 5$ → po prawej stronie powinno być $r^2 = 25$, nie $5$.\n\nPoprawne równanie: $(x-1)^2 + (y+3)^2 = 25$.\n\nZdanie pokazuje $= 5$ — FAŁSZ.\n\nPo co to umieć\n\nRównanie okręgu:\n$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$\n\nŚrodek $(a, b)$ — uwaga na znaki: $(x-1)^2 + (y+3)^2$ to środek $(1, -3)$ (bo $+3 = -(-3)$).\n\nPunkt leży na okręgu ⟺ podstawienie spełnia równanie ⟺ odległość od środka = $r$.\n\nTypowy błąd: Pułapka: w równaniu okręgu po prawej stronie jest $r^2$, **nie** $r$. Tu $r = 5$, więc $r^2 = 25$, a zdanie pokazuje $=5$ — fałsz.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-25.svg","topics":"równanie okręgu, sprawdzanie czy punkt leży na okręgu, analityczna","page_from":26,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 25. (0-1)
W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest okrąg 𝒪 o środku w punkcie
𝑆= (1, -3) i o promieniu 5.
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest
prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.
Punkt 𝐴= (4, -7) leży na okręgu 𝒪.
P
F
Okrąg 𝒪 jest określony równaniem (𝑥-1)2 + (𝑦+ 3)2 = 5.
P
F
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dany jest okrąg O o środku w punkcie S=(1,-3) i o promieniu 5. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Punkt A=(4,-7) leży na okręgu O. | P | F | Okrag O jest określony równaniem (x-1)² + (y+3)² = 5. | P | F |

","answer_text_html":"

Zadanie 25. (0-1)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Stosowanie obiektów matematycznych
\n

i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
IX.3) oblicza odległość dwóch punktów
w układzie współrzędnych;
IX.4) posługuje się równaniem okręgu
(𝑥-𝑎)2 + (𝑦-𝑏)2 = 𝑟2.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A
Wersja B
PF
PF
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-25.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Odpowiedź: PF

\n

Strona arkusza CKE z trescia zadania

\n

Co zrobić?

\n

Zdanie 1: $A = (4, -7)$ leży na okręgu?

\n

Sprawdź odległość $|SA|$. Punkt leży na okręgu $\\iff |SA| = r$.

\n

$$|SA|^2 = (4 - 1)^2 + (-7 - (-3))^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$$

\n

$|SA| = 5 = r$ ✓ — punkt leży na okręgu. PRAWDA.

\n

Zdanie 2: Równanie $(x-1)^2 + (y+3)^2 = 5$?

\n

Wzór ogólny: okrąg o środku $(a, b)$ i promieniu $r$ ma równanie $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$.

\n

Środek $(1, -3)$, $r = 5$ → po prawej stronie powinno być $r^2 = 25$, nie $5$.

\n

Poprawne równanie: $(x-1)^2 + (y+3)^2 = 25$.

\n

Zdanie pokazuje $= 5$ — FAŁSZ.

\n

Po co to umieć

\n

Równanie okręgu:
$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$

\n

Środek $(a, b)$ — uwaga na znaki: $(x-1)^2 + (y+3)^2$ to środek $(1, -3)$ (bo $+3 = -(-3)$).

\n

Punkt leży na okręgu ⟺ podstawienie spełnia równanie ⟺ odległość od środka = $r$.

\n

Typowy błąd: Pułapka: w równaniu okręgu po prawej stronie jest $r^2$, nie $r$. Tu $r = 5$, więc $r^2 = 25$, a zdanie pokazuje $=5$ — fałsz.

"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedz: 1 - P (Prawda), 2 - F (Falsz)

\n

Dane: okrag $O$ o srodku $S = (1, -3)$ i promieniu $r = 5$.

\n

Sposob 1 - rownanie okregu i sprawdzenie polozenia punktu

\n

Karta wzorow CKE EM2023 (dzial: Geometria analityczna - rownanie okregu): okrag o srodku $S = (a, b)$ i promieniu $r$ ma rownanie
\\[
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2.
\\]

\n

Dla naszego okregu $a = 1$, $b = -3$, $r = 5$, wiec
\\[
(x - 1)^2 + (y - (-3))^2 = 5^2 \\quad\\Longrightarrow\\quad (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 25.
\\]

\n
Stwierdzenie 1: Punkt $A = (4, -7)$ lezy na okregu $O$
\n

Punkt lezy na okregu, gdy jego wspolrzedne spelniaja rownanie okregu. Rownowaznie: gdy odleglosc punktu od srodka jest rowna promieniowi.

\n

Karta wzorow CKE EM2023 (dzial: Geometria analityczna - odleglosc punktow): dla punktow $P_1 = (x_1, y_1)$, $P_2 = (x_2, y_2)$
\\[
|P_1 P_2| = \\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}.
\\]

\n

Liczymy odleglosc $A$ od srodka $S$:
\\[
|AS| = \\sqrt{(4 - 1)^2 + (-7 - (-3))^2} = \\sqrt{3^2 + (-4)^2} = \\sqrt{9 + 16} = \\sqrt{25} = 5.
\\]

\n

Skoro $|AS| = 5 = r$, to punkt $A$ lezy na okregu $O$.

\n

Stwierdzenie 1 jest PRAWDZIWE (P).

\n

(Sprawdzenie przez rownanie: $(4-1)^2 + (-7+3)^2 = 9 + 16 = 25$ - zgadza sie z prawa strona.)

\n
Stwierdzenie 2: Okrag $O$ jest okreslony rownaniem $(x-1)^2 + (y+3)^2 = 5$
\n

Wyprowadzone wyzej poprawne rownanie to
\\[
(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 25,
\\]
poniewaz po prawej stronie stoi $r^2 = 5^2 = 25$, a nie sam promien $r = 5$.

\n

Rownanie podane w stwierdzeniu ma po prawej stronie $5$, co odpowiadaloby okregowi o promieniu $\\sqrt{5}$, a nie $5$. To inny okrag (ten sam srodek, ale promien $\\sqrt{5} \\approx 2{,}24$).

\n

Stwierdzenie 2 jest FALSZYWE (F).

\n

Dlaczego druga teza jest bledna

\n

W rownaniu okregu po prawej stronie zawsze wystepuje kwadrat promienia $r^2$, a nie sam promien. Tu $r = 5$, wiec $r^2 = 25$. Wartosc $5$ w stwierdzeniu jest po prostu promieniem, a nie jego kwadratem - stad falsz.

\n

Typowe pulapki

\n"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Środek okręgu to:

\n

S=(1,-3)

\n

Sprawdzamy odległość punktu A=(4,-7) od środka okręgu:

\n

|SA|=√((4-1)^2+(-7-(-3))^2)

\n

|SA|=√(3^2+(-4)^2)

\n

|SA|=√(9+16)=5

\n

Promień okręgu wynosi 5 , więc punkt A leży na okręgu.

\n

Pierwsze zdanie: prawda.

\n

Równanie okręgu o środku (1,-3) i promieniu 5 ma postać:

\n

(x-1)^2+(y+3)^2=25

\n

W podanym zdaniu po prawej stronie jest 5 , a powinno być 25 .

\n

Drugie zdanie: fałsz.

\n

Odpowiedź: P, F

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"
  1. PRAWDA 2) FAŁSZ
"}]}