{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"26","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-1)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dana jest prosta 𝑘 o równaniu\n𝑦= -1\n3 𝑥+ 2. Prosta 𝑙 jest równoległa do prostej 𝑘 i przechodzi przez punkt (2, -2).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nProsta 𝑙 przecina oś 𝑂𝑦 w punkcie\nA. (0, -3)\nB. (0, -1\n2)\nC. (0, -1)\nD. (0, -4\n3)\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dana jest prosta k o równaniu y = -1/3x + 2. Prosta l jest równoległa do prostej k i przechodzi przez punkt (2,-2). Prosta l przecina oś Oy w punkcie A. (0,-3) B. (0,-1/2) C. (0,-1) D. (0,-4/3)","answer":"D","answer_text":"Zadanie 26. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nIX.2) posługuje się równaniami prostych na\npłaszczyźnie, w postaci kierunkowej […],\nw tym wyznacza równanie prostej\no zadanych własnościach (takich, jak np.\n[…] równoległość do innej prostej);\nIX.1) […] znajduje wspólny punkt dwóch\nprostych […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nD\nD","solution":"Odpowiedź: D\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nWspółczynnik kierunkowy $l$. Równoległe ⟹ ten sam $a$:\n\n$$l: y = -\\frac{1}{3}x + b$$\n\nWyznacz $b$. $l$ przechodzi przez $(2, -2)$:\n\n$$-2 = -\\frac{1}{3} \\cdot 2 + b$$\n\n$$-2 = -\\frac{2}{3} + b$$\n\n$$b = -2 + \\frac{2}{3} = -\\frac{6}{3} + \\frac{2}{3} = -\\frac{4}{3}$$\n\nPrzecięcie z $Oy$. Punkt $(0, b) = \\left(0, -\\frac{4}{3}\\right)$.\n\nPo co to umieć\n\nProste w postaci kierunkowej $y = ax + b$:\n- $a$ — nachylenie, $b$ — przecięcie z $Oy$.\n- Równoległe ⟺ ten sam $a$.\n- Prostopadłe ⟺ $a_1 \\cdot a_2 = -1$.\n\nMając kierunek + 1 punkt → wstawiasz w $y = ax + b$ i wyciągasz $b$.\n\nTypowy błąd: Proste równoległe mają **ten sam współczynnik kierunkowy** $a$. Różnią się tylko $b$. Przecięcie z osią $Oy$ to wartość $b$ (czyli $y$ przy $x=0$).","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-26.svg","topics":"proste równoległe, wyznaczanie równania prostej, przecięcie z osią, Funkcja liniowa, analityczna","page_from":26,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 26. (0-1)<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dana jest prosta 𝑘 o równaniu<br>𝑦= -1<br>3 𝑥+ 2. Prosta 𝑙 jest równoległa do prostej 𝑘 i przechodzi przez punkt (2, -2).<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Prosta 𝑙 przecina oś 𝑂𝑦 w punkcie<br>A. (0, -3)<br>B. (0, -1<br>2)<br>C. (0, -1)<br>D. (0, -4<br>3)</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dana jest prosta k o równaniu y = -1/3x + 2. Prosta l jest równoległa do prostej k i przechodzi przez punkt (2,-2). Prosta l przecina oś Oy w punkcie A. (0,-3) B. (0,-1/2) C. (0,-1) D. (0,-4/3)</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 26. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Stosowanie i tworzenie strategii przy</li></ol>\n<p>rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach<br>nietypowych.<br>Zdający:<br>IX.2) posługuje się równaniami prostych na<br>płaszczyźnie, w postaci kierunkowej […],<br>w tym wyznacza równanie prostej<br>o zadanych własnościach (takich, jak np.<br>[…] równoległość do innej prostej);<br>IX.1) […] znajduje wspólny punkt dwóch<br>prostych […].<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>Wersja A<br>Wersja B<br>D<br>D</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-26.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: D</p>\n<p>Strona arkusza CKE z trescia zadania</p>\n<p>Co zrobić?</p>\n<p>Współczynnik kierunkowy $l$. Równoległe ⟹ ten sam $a$:</p>\n<p>$$l: y = -\\frac{1}{3}x + b$$</p>\n<p>Wyznacz $b$. $l$ przechodzi przez $(2, -2)$:</p>\n<p>$$-2 = -\\frac{1}{3} \\cdot 2 + b$$</p>\n<p>$$-2 = -\\frac{2}{3} + b$$</p>\n<p>$$b = -2 + \\frac{2}{3} = -\\frac{6}{3} + \\frac{2}{3} = -\\frac{4}{3}$$</p>\n<p>Przecięcie z $Oy$. Punkt $(0, b) = \\left(0, -\\frac{4}{3}\\right)$.</p>\n<p>Po co to umieć</p>\n<p>Proste w postaci kierunkowej $y = ax + b$:</p>\n<ul><li>$a$ — nachylenie, $b$ — przecięcie z $Oy$.</li><li>Równoległe ⟺ ten sam $a$.</li><li>Prostopadłe ⟺ $a_1 \\cdot a_2 = -1$.</li></ul>\n<p>Mając kierunek + 1 punkt → wstawiasz w $y = ax + b$ i wyciągasz $b$.</p>\n<p>Typowy błąd: Proste równoległe mają <strong>ten sam współczynnik kierunkowy</strong> $a$. Różnią się tylko $b$. Przecięcie z osią $Oy$ to wartość $b$ (czyli $y$ przy $x=0$).</p>"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedz: D</h4>\n<h4>Sposob 1 - Rownolegloscsc prostych + warunek przejscia przez punkt</h4>\n<p><strong>Krok 1. Odczytaj wspolczynnik kierunkowy prostej \\( k \\).</strong><br>Prosta \\( k \\) ma rownanie<br>\\[ y = -\\frac{1}{3}x + 2, \\]<br>wiec jej wspolczynnik kierunkowy to \\( a_k = -\\dfrac{1}{3} \\).</p>\n<p><strong>Krok 2. Wykorzystaj warunek rownoleglosci.</strong><br>Dwie proste sa rownolegle wtedy i tylko wtedy, gdy maja ten sam wspolczynnik kierunkowy (Karta wzorow CKE EM2023, dzial <em>Geometria analityczna na plaszczyznie kartezjanskiej</em> - warunek rownoleglosci prostych \\( a_1 = a_2 \\)). Zatem prosta \\( l \\) ma rownanie<br>\\[ y = -\\frac{1}{3}x + b, \\]<br>gdzie \\( b \\) jest na razie nieznane.</p>\n<p><strong>Krok 3. Wyznacz \\( b \\), podstawiajac punkt \\( (2, -2) \\).</strong><br>Prosta \\( l \\) przechodzi przez punkt \\( (2, -2) \\), wiec wspolrzedne tego punktu spelniaja jej rownanie:<br>\\[ -2 = -\\frac{1}{3}\\cdot 2 + b. \\]<br>Stad<br>\\[ -2 = -\\frac{2}{3} + b \\quad\\Longrightarrow\\quad b = -2 + \\frac{2}{3} = -\\frac{6}{3} + \\frac{2}{3} = -\\frac{4}{3}. \\]</p>\n<p><strong>Krok 4. Znajdz punkt przeciecia z osia \\( Oy \\).</strong><br>Os \\( Oy \\) to zbior punktow o \\( x = 0 \\). Dla \\( x = 0 \\):<br>\\[ y = -\\frac{1}{3}\\cdot 0 + b = b = -\\frac{4}{3}. \\]<br>Wyraz wolny \\( b \\) jest jednoczesnie rzedna punktu przeciecia z osia \\( Oy \\). Zatem prosta \\( l \\) przecina os \\( Oy \\) w punkcie<br>\\[ \\left(0,\\ -\\frac{4}{3}\\right). \\]</p>\n<p>Odpowiedz: <strong>D</strong>.</p>\n<h4>Dlaczego pozostale sa bledne</h4>\n<ul><li><strong>A. \\( (0, -3) \\)</strong> - odpowiada blednemu wyliczeniu \\( b = -2 - \\dfrac{2}{3}\\cdot\\dots \\) lub przyjeciu \\( b = -3 \\); nie spelnia rownania po podstawieniu punktu.</li><li><strong>B. \\( \\left(0, -\\dfrac{1}{2}\\right) \\)</strong> - wartosc bez zwiazku z poprawnym rachunkiem (np. pomylenie wspolczynnikow lub uzycie \\( a = -\\dfrac{1}{2} \\)).</li><li><strong>C. \\( (0, -1) \\)</strong> - typowy blad: \\( -2 + \\dfrac{2}{3} \\) zaokraglone lub policzone jako \\( -1 \\) zamiast \\( -\\dfrac{4}{3} \\).</li></ul>\n<h4>Typowe pulapki</h4>\n<ol><li><strong>Zmiana wspolczynnika kierunkowego.</strong> Rownoleglosc oznacza ten sam \\( a = -\\dfrac{1}{3} \\). Nie mylic z prostopadloscia, gdzie braloby sie \\( a&#x27; = 3 \\) (warunek \\( a_1\\cdot a_2 = -1 \\)).</li><li><strong>Blad znaku przy ulamkach.</strong> Przy \\( -2 = -\\dfrac{2}{3} + b \\) trzeba poprawnie przeniesc: \\( b = -2 + \\dfrac{2}{3} = -\\dfrac{4}{3} \\), a nie \\( -2 - \\dfrac{2}{3} = -\\dfrac{8}{3} \\).</li></ol>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Prosta l jest równoległa do prostej:</p>\n<p>y=-(1)/(3)x+2</p>\n<p>Zatem ma taki sam współczynnik kierunkowy:</p>\n<p>y=-(1)/(3)x+b</p>\n<p>Prosta l przechodzi przez punkt (2,-2) . Podstawiamy:</p>\n<p>-2=-(1)/(3)·2+b</p>\n<p>-2=-(2)/(3)+b</p>\n<p>b=-(4)/(3)</p>\n<p>Punkt przecięcia z osią OY ma współrzędne:</p>\n<p>(0,-(4)/(3) )</p>\n<p>Odpowiedź: D. (0,-(4)/(3) )</p>"}]}