Zadanie 27. (0-2)
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym przekątna podstawy ma długość 8√3.
Krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°.
Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.
27.
0-1-2
MMAP-P0_100
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym przekątna podstawy ma długość 8√3. Krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Zadanie 27. (0-2)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.
rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach
nietypowych.
Zdający:
X.2) posługuje się pojęciem kąta między
prostą a płaszczyzną […];
X.5) oblicza objętości […] ostrosłupów […]
również z wykorzystaniem trygonometrii.
Zasady oceniania
2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑉= 128.
1 pkt - obliczenie/zapisanie wysokości ostrosłupa: 𝐻= 4
ALBO
2 (lub 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 1
2 ⋅(8√3)
2).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga:
Jeżeli zdający rozpatruje bryłę inną niż ostrosłup prawidłowy czworokątny, to otrzymuje
0 punktów za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku:
𝑎 - długość krawędzi podstawy,
𝐻 - wysokość ostrosłupa,
𝑂 - spodek wysokości ostrosłupa.
Zauważamy, że 𝑎> 0 i 𝐻> 0.
Ponieważ 𝑂 jest punktem przecięcia
przekątnych kwadratu, to |𝑂𝐵| = 4√3.
W trójkącie prostokątnym 𝑆𝑂𝐵 mamy:
tg 30° = |𝑆𝑂|
|𝑂𝐵| = 𝐻
4√3
Zatem:
𝐻= 4√3 ⋅tg 30° = 4√3 ⋅√3
3 = 4
Obliczamy objętość 𝑉 ostrosłupa:
𝑉= 1
3 ⋅1
2 ⋅(8√3)
2 ⋅4 = 128
Odpowiedź: $V = 128$
\nStrona arkusza CKE z trescia zadania
\nCo zrobić?
\nPole podstawy. Kwadrat o przekątnej $d = 8\\sqrt{3}$:
\n$$P_p = \\frac{d^2}{2} = \\frac{192}{2} = 96$$
\nRzut krawędzi bocznej. Krawędź boczna $b$ łączy wierzchołek podstawy ze szczytem $S$. Rzut $b$ na podstawę = odcinek od wierzchołka kwadratu do środka kwadratu = połowa przekątnej:
\n$$r = \\frac{d}{2} = 4\\sqrt{3}$$
\nWysokość ostrosłupa. Z trójkąta prostokątnego (krawędź boczna, rzut, wysokość):
\n$$\\tan 30° = \\frac{H}{r}$$
\n$$H = r \\cdot \\tan 30° = 4\\sqrt{3} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{3} = \\frac{4 \\cdot 3}{3} = 4$$
\nObjętość.
\n$$V = \\frac{1}{3} \\cdot P_p \\cdot H = \\frac{1}{3} \\cdot 96 \\cdot 4 = 128$$
\nPo co to umieć
\nOstrosłup prawidłowy — algorytm:
\nTypowy błąd: Klucz: rzut krawędzi bocznej na podstawę to połowa przekątnej podstawy (krawędź boczna idzie od wierzchołka podstawy do szczytu). Bez tego nie wyciągniesz wysokości z kąta nachylenia.
"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"Krok 1. Opis bryły i oznaczenia.
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie kwadrat, a spodek wysokości \\( S \\) (rzut wierzchołka \\( W \\) na podstawę) leży w środku tego kwadratu - czyli w punkcie przecięcia przekątnych podstawy.
Niech:
\nKrok 2. Połowa przekątnej podstawy.
Spodek wysokości \\( S \\) dzieli każdą przekątną na połowy, więc odległość od środka podstawy do wierzchołka podstawy wynosi:
\\[
SA = \\frac{d}{2} = \\frac{8\\sqrt{3}}{2} = 4\\sqrt{3}.
\\]
To jest jednocześnie pozioma przyprostokątna w trójkącie prostokątnym, którego przeciwprostokątną jest krawędź boczna. Odcinek \\( SA \\) jest rzutem krawędzi bocznej na płaszczyznę podstawy.
Krok 3. Trójkąt prostokątny: wysokość, połowa przekątnej, krawędź boczna.
Rozważmy trójkąt prostokątny \\( SAW \\), gdzie:
Kąt między krawędzią boczną \\( AW \\) a jej rzutem \\( SA \\) na podstawę to właśnie kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy, czyli \\( \\alpha = 30^\\circ \\) (kąt przy wierzchołku \\( A \\)).
\nWysokość \\( H \\) leży naprzeciw kąta \\( 30^\\circ \\), a \\( SA \\) jest przyprostokątną przyległą do tego kąta, zatem korzystamy z tangensa (karta wzorów CKE EM2023, dział „Funkcje trygonometryczne kąta ostrego”):
\\[
\\tan 30^\\circ = \\frac{H}{SA}.
\\]
Krok 4. Obliczenie wysokości.
Z tablic \\( \\tan 30^\\circ = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3} \\), więc:
\\[
H = SA \\cdot \\tan 30^\\circ = 4\\sqrt{3} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{3} = \\frac{4 \\cdot 3}{3} = 4.
\\]
Krok 5. Pole podstawy.
Podstawa to kwadrat o przekątnej \\( d = 8\\sqrt{3} \\). Pole kwadratu liczymy wprost z przekątnej (karta wzorów CKE - „Pola figur”: kwadrat o przekątnej \\( d \\) ma pole \\( \\tfrac{1}{2}d^2 \\)):
\\[
P_p = \\frac{d^2}{2} = \\frac{\\left(8\\sqrt{3}\\right)^2}{2} = \\frac{64 \\cdot 3}{2} = \\frac{192}{2} = 96.
\\]
(Sprawdzenie przez bok: z \\( a\\sqrt{2} = 8\\sqrt{3} \\) mamy \\( a = \\dfrac{8\\sqrt{3}}{\\sqrt{2}} = 4\\sqrt{6} \\), a \\( a^2 = 16 \\cdot 6 = 96 \\) - zgadza się.)
\nKrok 6. Objętość ostrosłupa.
Korzystamy ze wzoru na objętość ostrosłupa (karta wzorów CKE EM2023, dział „Stereometria - objętości brył”):
\\[
V = \\frac{1}{3} \\cdot P_p \\cdot H.
\\]
Podstawiamy:
\\[
V = \\frac{1}{3} \\cdot 96 \\cdot 4 = \\frac{384}{3} = 128.
\\]
Wynik:
\\[
\\boxed{V = 128.}
\\]
Przekątna podstawy kwadratu ma długość:
\nd=8√(3)
\nPole kwadratu możemy obliczyć ze wzoru:
\nP_p=(d^2)/(2)
\nP_p=frac (8√(3))^2 2
\nP_p=(64·3)/(2)=96
\nOdległość środka podstawy od wierzchołka podstawy to połowa przekątnej:
\nfrac 8√(3) 2 =4√(3)
\nKrawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30^° , więc w trójkącie prostokątnym:
\ntg30^°=frac h 4√(3)
\nfrac √(3) 3 =frac h 4√(3)
\nh=4
\nObjętość ostrosłupa:
\nV=(1)/(3)P_p h
\nV=(1)/(3)·96·4=128
\nOdpowiedź: 128
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"$V=128$
"}]}