Zadanie 28. (0-1)
Stożek i walec mają równe wysokości. Promień podstawy stożka jest dwa razy większy od
promienia podstawy walca.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Stosunek objętości stożka do objętości walca jest równy
A. 1
12
B. 1
6
C. 2
3
D. 4
3
Stożek i walec mają równe wysokości. Promień podstawy stożka jest dwa razy większy od promienia podstawy walca. Stosunek objętości stożka do objętości walca jest równy A. 1/12 B. 1/6 C. 2/3 D. 4/3
Zadanie 28. (0-1)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.
kilkuetapowych, podawanie argumentów
uzasadniających poprawność rozumowania,
odróżnianie dowodu od przykładu.
Zdający:
X.5) oblicza objętości […] walca, stożka
[…].
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A
Wersja B
D
A
30°
4ξ3
𝐻
𝑎
𝑆
𝑂
𝐷
𝐵
𝐴
𝐶
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Odpowiedź: D
\nStrona arkusza CKE z trescia zadania
\nCo zrobić?
\nNiech $r$ = promień podstawy walca, $H$ = wspólna wysokość. Wtedy $R_{stożka} = 2r$.
\nObjętości:
\n$$V_{stożka} = \\frac{1}{3} \\pi R^2 H = \\frac{1}{3} \\pi (2r)^2 H = \\frac{1}{3} \\pi \\cdot 4r^2 H = \\frac{4}{3} \\pi r^2 H$$
\n$$V_{walca} = \\pi r^2 H$$
\nStosunek.
\n$$\\frac{V_{stożka}}{V_{walca}} = \\frac{\\frac{4}{3} \\pi r^2 H}{\\pi r^2 H} = \\frac{4}{3}$$
\nPo co to umieć
\nWzory na bryły obrotowe — pamiętaj $\\frac{1}{3}$ dla bryły z wierzchołkiem (stożek, ostrosłup) i brak współczynnika dla bryły walcowej. To wynika z całki — bryła z wierzchołkiem to integral $r^2$ wzdłuż $H$, walec to po prostu $r^2 \\cdot H$.
\nTypowy błąd: Klucz: $V_{stożka} = \\frac{1}{3}\\pi R^2 H$ — przy $R = 2r$ kwadrat daje 4 raz większą podstawę, ale dzielenie przez 3 to równoważy: $\\frac{4}{3}$.
"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"Wzory (karta wzorow CKE EM2023, dzial "Stereometria"):
\n\\[ V_{walca} = \\pi r^2 H \\]
\n\\[ V_{stozka} = \\frac{1}{3}\\pi R^2 H \\]
\nKrok 1. Zapisanie zaleznosci miedzy danymi.
\nObie bryly maja rowne wysokosci, wiec wspolna wysokosc oznaczam przez \\( H \\).
\nPromien podstawy stozka jest dwa razy wiekszy od promienia podstawy walca. Niech \\( r \\) oznacza promien walca; wtedy promien stozka:
\\[ R = 2r \\]
Krok 2. Objetosc walca.
\\[ V_{walca} = \\pi r^2 H \\]
Krok 3. Objetosc stozka (podstawiam \\( R = 2r \\) i podnosze do kwadratu):
\\[ V_{stozka} = \\frac{1}{3}\\pi R^2 H = \\frac{1}{3}\\pi (2r)^2 H = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot 4r^2 \\cdot H = \\frac{4}{3}\\pi r^2 H \\]
Kluczowy moment: \\( (2r)^2 = 4r^2 \\), a nie \\( 2r^2 \\).
\nKrok 4. Stosunek objetosci stozka do walca.
\\[ \\frac{V_{stozka}}{V_{walca}} = \\frac{\\frac{4}{3}\\pi r^2 H}{\\pi r^2 H} \\]
Skracam wspolne czynniki \\( \\pi r^2 H \\) (sa rozne od zera):
\\[ \\frac{V_{stozka}}{V_{walca}} = \\frac{4}{3} \\]
Wynik: stosunek objetosci stozka do walca wynosi \\( \\dfrac{4}{3} \\) - odpowiedz D.
\nOznaczmy promień walca przez r , a wspólną wysokość przez h .
\nPromień podstawy stożka jest dwa razy większy, więc wynosi 2r .
\nObjętość stożka:
\nV_s=(1)/(3)π(2r)^2h
\nV_s=(1)/(3)π·4r^2h
\nV_s=(4)/(3)π r^2h
\nObjętość walca:
\nV_w=π r^2h
\nStosunek objętości:
\n(V_s)/(V_w)
frac (4)/(3)π r^2h π r^2h
(4)/(3)
Odpowiedź: D. (4)/(3)
"}]}