Zadanie 29. (0-1)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym
występują tylko cyfry 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 (np.: 321, 555), jest
A. 6 ⋅7 ⋅3
B. 6 ⋅7 ⋅7
C. 7 ⋅7 ⋅3
D. 7 ⋅7 ⋅7
MMAP-P0_100
Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry 0,1,2,3,4,5,6 (np.: 321, 555), jest A. 6⋅7⋅3 B. 6⋅7⋅7 C. 7⋅7⋅3 D. 7⋅7⋅7
Zadanie 29. (0-1)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
matematycznych przy rozwiązywaniu
problemów praktycznych i teoretycznych.
Zdający:
XI.2) zlicza obiekty, stosując reguły
mnożenia i dodawania […].
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A
Wersja B
A
D
Odpowiedź: A
\nStrona arkusza CKE z trescia zadania
\nCo zrobić?
\nCyfra setek (pierwsza pozycja). Nie może być $0$ (inaczej liczba nie jest trzycyfrowa). Z $\\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\\}$ zostają: $\\{1, 2, 3, 4, 5, 6\\}$ → 6 opcji.
\nCyfra dziesiątek. Dowolna z $\\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\\}$ — bez ograniczeń → 7 opcji.
\nCyfra jedności (nieparzysta). Z $\\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\\}$ tylko $\\{1, 3, 5\\}$ jest nieparzyste → 3 opcje.
\nReguła mnożenia. Łączna liczba:
\n$$6 \\cdot 7 \\cdot 3$$
\nPo co to umieć
\nReguła mnożenia: niezależne wybory mnożą się. Klucz: przeczytaj ograniczenia po kolei dla każdej pozycji i policz ile opcji zostaje.
\nW zadaniach o liczbach uważaj na "trzycyfrowa" (pierwsza cyfra $\\neq 0$) i "parzysta/nieparzysta" (ostatnia cyfra ograniczona).
\nTypowy błąd: Trzy ograniczenia: cyfra setek $\\neq 0$ (6 opcji), cyfra jedności nieparzysta z {1,3,5} (3 opcje), dziesiątki — wszystkie 7 opcji.
"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"Liczba szukanych liczb to \\( 6 \\cdot 7 \\cdot 3 \\).
\nLiczba trzycyfrowa ma postac \\( \\overline{abc} \\), gdzie \\(a\\) to cyfra setek, \\(b\\) cyfra dziesiatek, \\(c\\) cyfra jednosci. Mozemy uzywac tylko cyfr ze zbioru \\( \\{0,1,2,3,4,5,6\\} \\) (7 cyfr), a liczba ma byc nieparzysta. Wyznaczamy liczbe mozliwosci dla kazdej pozycji osobno.
\nKrok 1. Cyfra setek \\(a\\).
Aby liczba byla trzycyfrowa, musi byc \\( a \\neq 0 \\). Z dozwolonego zbioru pozostaja zatem cyfry:
\\[ a \\in \\{1,2,3,4,5,6\\} \\quad\\Rightarrow\\quad 6 \\text{ mozliwosci.} \\]
Krok 2. Cyfra dziesiatek \\(b\\).
Na tej pozycji nie ma zadnych ograniczen - moze stac dowolna z dozwolonych cyfr (w tym 0):
\\[ b \\in \\{0,1,2,3,4,5,6\\} \\quad\\Rightarrow\\quad 7 \\text{ mozliwosci.} \\]
Krok 3. Cyfra jednosci \\(c\\).
Liczba ma byc nieparzysta, wiec cyfra jednosci musi byc nieparzysta. Sposrod dozwolonych cyfr \\( \\{0,1,2,3,4,5,6\\} \\) nieparzyste sa tylko:
\\[ c \\in \\{1,3,5\\} \\quad\\Rightarrow\\quad 3 \\text{ mozliwosci.} \\]
Krok 4. Regula mnozenia.
Poniewaz wyboru cyfr na poszczegolnych pozycjach dokonujemy niezaleznie, calkowita liczbe szukanych liczb otrzymujemy, mnozac liczby mozliwosci dla kolejnych pozycji:
\\[ 6 \\cdot 7 \\cdot 3 = 126. \\]
To odpowiada wariantowi A.
\nOdwolanie do Karty wzorow CKE (EM2023), dzial Kombinatoryka: zastosowano regule mnozenia - jezeli pewien wybor sklada sie z \\(k\\) niezaleznych etapow, na ktorych mamy odpowiednio \\(n_1, n_2, \\ldots, n_k\\) mozliwosci, to liczba wszystkich mozliwych wynikow wynosi \\( n_1 \\cdot n_2 \\cdot \\ldots \\cdot n_k \\).\n
Tworzymy liczby trzycyfrowe nieparzyste z cyfr:
\n0,1,2,3,4,5,6
\nCyfra setek nie może być zerem, więc mamy 6 możliwości:
\n1,2,3,4,5,6
\nCyfra dziesiątek może być dowolną z podanych 7 cyfr.
\nCyfra jedności musi być nieparzysta, więc mamy 3 możliwości:
\n1,3,5
\nLiczba takich liczb wynosi:
\n6·7·3
\nOdpowiedź: A. 6·7·3
"}]}