Zadanie 3. (0-1)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba √5√5 jest równa
A. 5
1
4
B. 5
1
2
C. 5
3
4
D. 5
Liczba √{5√5} jest równa A. 5^{1/4} B. 5^{1/2} C. 5^{3/4} D. 5
Zadanie 3. (0-1)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
I.4) stosuje związek pierwiastkowania
z potęgowaniem oraz prawa działań na
potęgach i pierwiastkach.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A
Wersja B
C
D
Odpowiedź: C
\nStrona arkusza CKE z trescia zadania
\nCo zrobić?
\nZamień pierwiastki na potęgi ułamkowe. $\\sqrt{a} = a^{1/2}$:
\n$$\\sqrt{5} = 5^{1/2}$$
\n$$5\\sqrt{5} = 5^1 \\cdot 5^{1/2} = 5^{1 + 1/2} = 5^{3/2}$$
\nPierwiastek z $5^{3/2}$:
\n$$\\sqrt{5^{3/2}} = 5^{\\frac{3/2}{2}} = 5^{3/4}$$
\nPo co to umieć
\nPierwiastki = potęgi o wykładniku ułamkowym: $\\sqrt[n]{a^k} = a^{k/n}$. Dla zadań z zagnieżdżonymi pierwiastkami zawsze przejdź na potęgi — działania są wtedy oczywiste.
\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: $\\sqrt{5\\sqrt{5}} = 5$ albo $5^{1/2}$. Pamiętaj o podwójnym pierwiastku — sam $\\sqrt{5} = 5^{1/2}$, a cała wartość $\\sqrt{5 \\cdot 5^{1/2}} = 5^{3/4}$.
"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"Liczba \\( \\sqrt{5\\sqrt{5}} \\) jest równa \\( 5^{\\frac{3}{4}} \\).
\nKrok 1. Zapisz pierwiastki jako potęgi.
\nKorzystam z definicji potęgi o wykładniku wymiernym (Karta wzorów CKE EM2023, dział "Potęgi i pierwiastki"):
\\[
\\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\\frac{m}{n}}, \\qquad \\text{w szczególności } \\sqrt{a} = a^{\\frac{1}{2}}.
\\]
Zatem wewnętrzny pierwiastek to:
\\[
\\sqrt{5} = 5^{\\frac{1}{2}}.
\\]
Krok 2. Wymnóż wyrażenie pod pierwiastkiem zewnętrznym.
\nPod pierwiastkiem zewnętrznym mamy iloczyn \\( 5 \\cdot \\sqrt{5} \\). Liczbę \\(5\\) zapisuję jako \\(5^{1}\\) i stosuję wzór na mnożenie potęg o tej samej podstawie (Karta wzorów: \\( a^{m}\\cdot a^{n}=a^{m+n} \\)):
\\[
5\\sqrt{5} = 5^{1}\\cdot 5^{\\frac{1}{2}} = 5^{\\,1+\\frac{1}{2}} = 5^{\\frac{3}{2}}.
\\]
Krok 3. Zastosuj pierwiastek zewnętrzny.
\nCały pierwiastek to potęga o wykładniku \\( \\tfrac{1}{2} \\):
\\[
\\sqrt{5\\sqrt{5}} = \\left(5^{\\frac{3}{2}}\\right)^{\\frac{1}{2}}.
\\]
Stosuję wzór na potęgowanie potęgi (Karta wzorów: \\( \\left(a^{m}\\right)^{n}=a^{m\\cdot n} \\)):
\\[
\\left(5^{\\frac{3}{2}}\\right)^{\\frac{1}{2}} = 5^{\\frac{3}{2}\\cdot \\frac{1}{2}} = 5^{\\frac{3}{4}}.
\\]
Wniosek: \\( \\sqrt{5\\sqrt{5}} = 5^{\\frac{3}{4}} \\) - odpowiedź C.
\nObliczamy wartość wyrażenia:
\n√(5sqrt5)
\nZapisujemy pierwiastek √(5) jako potęgę:
\n√(5)=5^(1)/(2)
\nPodstawiamy do wyrażenia:
\n√(5sqrt5)
sqrt 5·5^(1)/(2)
Liczbę 5 zapisujemy jako 5^1 :
\nsqrt 5^1·5^(1)/(2)
\nPrzy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki:
\n5^1·5^(1)/(2)=5^1+(1)/(2)=5^(3)/(2)
\nOtrzymujemy:
\nsqrt 5^(3)/(2)
\nPierwiastek kwadratowy to potęga o wykładniku (1)/(2) , więc:
\nsqrt 5^(3)/(2) = (5^(3)/(2) )^(1)/(2)
\nMnożymy wykładniki:
\n(5^(3)/(2) )^(1)/(2)=5^(3)/(2)·(1)/(2)=5^(3)/(4)
\nOdpowiedź: C. 5^(3)/(4)
"}]}