Zadanie 30. (0-2)
Dane są dwa zbiory cyfr: 𝑋= {1, 3, 5, 7, 9} oraz 𝑌= {0, 2, 4, 6, 8}.
Losujemy jedną cyfrę ze zbioru 𝑋, a następnie losujemy jedną cyfrę ze zbioru 𝑌.
Następnie zapisujemy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że cyfra wylosowana ze zbioru 𝑋
jest cyfrą dziesiątek, a cyfra wylosowana ze zbioru 𝑌 jest cyfrą jedności tej liczby
dwucyfrowej.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝑨 polegającego na tym, że otrzymana w ten
sposób liczba dwucyfrowa będzie podzielna przez 𝟔. Zapisz obliczenia.
30.
0-1-2
MMAP-P0_100
Dane są dwa zbiory cyfr: X={1,3,5,7,9} oraz Y={0,2,4,6,8}. Losujemy jedną cyfrę ze zbioru X, a następnie losujemy jedną cyfrę ze zbioru Y. Następnie zapisujemy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że cyfra wylosowana ze zbioru X jest cyfrą dziesiątek, a cyfra wylosowana ze zbioru Y jest cyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że otrzymana w ten sposób liczba dwucyfrowa będzie podzielna przez 6.
Zadanie 30. (0-2)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
matematycznych przy rozwiązywaniu
problemów praktycznych i teoretycznych.
Zdający:
XII.1) oblicza prawdopodobieństwo
w modelu klasycznym.
Zasady oceniania
2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑃(𝐴) = 9
25
1 pkt - wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych LUB obliczenie/podanie liczby tych
zdarzeń: |Ω| = 5 ⋅5, LUB sporządzenie tabeli o 25 polach odpowiadających
zdarzeniom elementarnym, LUB sporządzenie pełnego drzewa stochastycznego
ALBO
sprzyjających zdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego,
ALBO
|𝐴| = 9, o ile nie zostały zliczone błędne pary,
ALBO
sprzyjające zdarzeniu 𝐴, oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej
jednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,
ALBO
25
,
ALBO
25
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga:
Jeżeli zdający zapisuje tylko liczby 9 lub 25 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych
liczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑥, 𝑦), gdzie
𝑥∈{1, 3, 5, 7, 9} oraz 𝑦∈{0, 2, 4, 6, 8}.
Liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych obliczamy z wykorzystaniem reguły mnożenia.
Moc zbioru Ω jest równa 5 ⋅5 = 25.
Zdarzeniu 𝐴 sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:
(1, 2), (1, 8), (3, 0), (3, 6), (5, 4), (7, 2), (7, 8), (9, 0), (9, 6),
więc moc zbioru 𝐴 jest równa 9.
Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 9
25
Sposób II
Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑥, 𝑦), gdzie
𝑥∈{1, 3, 5, 7, 9} oraz 𝑦∈{0, 2, 4, 6, 8}.
W tabeli literą 𝒜 zaznaczamy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴.
0
2
4
6
8
1
𝒜
𝒜
3
𝒜
𝒜
5
𝒜
7
𝒜
𝒜
9
𝒜
𝒜
Wszystkich zdarzeń elementarnych jest 25. Zdarzeń sprzyjających zdarzeniu 𝐴 jest 9.
Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 9
25
𝑦
𝑥
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Odpowiedź: $P(A) = \\frac{9}{25}$
\nStrona arkusza CKE z trescia zadania
\nCo zrobić?
\nWszystkie zdarzenia elementarne $|\\Omega|$. Dwie niezależne losowania: 5 cyfr z $X$ × 5 cyfr z $Y$:
\n$$|\\Omega| = 5 \\cdot 5 = 25$$
\nKryterium podzielności przez 6. Liczba podzielna przez 6 $\\iff$ podzielna przez 2 i przez 3.
\nWypisz pary $(d, j)$ z $d + j$ podzielne przez 3.
\n$d$ (dziesiątki) | Możliwe $j$ | Liczby
1 | 2, 8 | 12, 18
3 | 0, 6 | 30, 36
5 | 4 | 54
7 | 2, 8 | 72, 78
9 | 0, 6 | 90, 96
Razem: $2 + 2 + 1 + 2 + 2 = 9$ par.
\nPrawdopodobieństwo.
\n$$P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{9}{25}$$
\nPo co to umieć
\nPrawdopodobieństwo klasyczne: $P = \\frac{|A|}{|\\Omega|}$.
\nCechy podzielności (warto pamiętać):
\nTypowy błąd: Klucz: podzielność przez 6 = (parzyste) AND (podzielne przez 3). Cyfra jedności z $Y$ — wszystkie parzyste, więc każda liczba jest parzysta. Pozostaje liczyć podzielne przez 3 (suma cyfr).
"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"Krok 1. Ustalenie przestrzeni zdarzen $\\Omega$.
\nNajpierw losujemy cyfre dziesiatek ze zbioru $X = \\{1, 3, 5, 7, 9\\}$ - sa 5 mozliwosci. Niezaleznie od tego losujemy cyfre jednosci ze zbioru $Y = \\{0, 2, 4, 6, 8\\}$ - rowniez 5 mozliwosci.
\nKazda para (cyfra dziesiatek, cyfra jednosci) tworzy jedna liczbe dwucyfrowa, wiec moc przestrzeni zdarzen to:
\n\\[ |\\Omega| = 5 \\cdot 5 = 25. \\]
\nWszystkie 25 liczb jest jednakowo prawdopodobnych (kazde losowanie jest "uczciwe"), wiec mozemy zastosowac klasyczna definicje prawdopodobienstwa (Karta wzorow CKE EM2023, dzial Rachunek prawdopodobienstwa):
\n\\[ P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}. \\]
\nKrok 2. Warunek podzielnosci przez 6.
\nLiczba jest podzielna przez $6$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielna jednoczesnie przez $2$ i przez $3$ (bo $6 = 2 \\cdot 3$, a liczby $2$ i $3$ sa wzglednie pierwsze).
\nKrok 3. Wypisanie liczb sprzyjajacych.
\nSprawdzamy systematycznie, dla ktorych par suma cyfr (dziesiatki $+$ jednosci) dzieli sie przez $3$:
\n| Dziesiatki $\\backslash$ Jednosci | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 |
| 1 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 |
| 3 | 30 | 32 | 34 | 36 | 38 |
| 5 | 50 | 52 | 54 | 56 | 58 |
| 7 | 70 | 72 | 74 | 76 | 78 |
| 9 | 90 | 92 | 94 | 96 | 98 |
Liczby spelniajace warunek (suma cyfr podzielna przez 3, a wiec podzielne przez 6):
\n\\[ A = \\{12,\\ 18,\\ 30,\\ 36,\\ 54,\\ 72,\\ 78,\\ 90,\\ 96\\}. \\]
\nSprawdzenie kontrolne dzieleniem: $12=6\\cdot2$, $18=6\\cdot3$, $30=6\\cdot5$, $36=6\\cdot6$, $54=6\\cdot9$, $72=6\\cdot12$, $78=6\\cdot13$, $90=6\\cdot15$, $96=6\\cdot16$. Wszystkie sa podzielne przez 6.
\nZatem:
\n\\[ |A| = 9. \\]
\nKrok 4. Obliczenie prawdopodobienstwa.
\n\\[ P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{9}{25}. \\]
\nUlamka $\\dfrac{9}{25}$ nie da sie skrocic ($25 = 5^2$, a $9 = 3^2$ - brak wspolnych dzielnikow). W postaci dziesietnej $P(A) = 0{,}36$.
\n\\[ \\boxed{P(A) = \\dfrac{9}{25} = 0{,}36} \\]
\nZe zbioru X losujemy jedną z 5 cyfr, a ze zbioru Y jedną z 5 cyfr.
\n|Ω|=5·5=25
\nLiczba jest podzielna przez 6 , gdy jest podzielna przez 2 i przez 3 .
\nCyfra jedności pochodzi ze zbioru Y=\\ 0,2,4,6,8\\ , więc liczba zawsze jest parzysta.
\nSprawdzamy podzielność przez 3 , czyli sumę cyfr.
\nDla cyfry dziesiątek 1 : cyfry jedności 2,8 - 2 liczby
\nDla cyfry dziesiątek 3 : cyfry jedności 0,6 - 2 liczby
\nDla cyfry dziesiątek 5 : cyfra jedności 4 - 1 liczba
\nDla cyfry dziesiątek 7 : cyfry jedności 2,8 - 2 liczby
\nDla cyfry dziesiątek 9 : cyfry jedności 0,6 - 2 liczby
\nLiczba wyników sprzyjających:
\n2+2+1+2+2=9
\nPrawdopodobieństwo:
\nP(A)=(9)/(25)
\nOdpowiedź: (9)/(25)
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"$P(A)=\\frac{9}{25}$
"}]}