{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"31","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-1)\nNauczyciel matematyki po każdym sprawdzianie porównuje wyniki uzyskane przez uczniów\ndwóch klas: klasy IV A oraz klasy IV B. Na dwóch poniższych diagramach przedstawiono\nwyniki sprawdzianu ze statystyki, jakie uzyskali uczniowie tych klas.\nNa osiach poziomych podano oceny, które uzyskali uczniowie tych klas, a na osiach\npionowych podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nŚrednia arytmetyczna ocen uzyskanych ze sprawdzianu ze statystyki przez\nuczniów klasy IV A jest równa średniej arytmetycznej ocen uzyskanych z tego\nsprawdzianu przez uczniów klasy IV B.\nP\nF\nMediana ocen uzyskanych ze sprawdzianu ze statystyki przez uczniów\nklasy IV A jest równa medianie ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez\nuczniów klasy IV B.\nP\nF\n0\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n1\n2\n3\n4\n5\n6\nliczba uczniów\nocena\nklasa IV A\n0\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n1\n2\n3\n4\n5\n6\nliczba uczniów\nocena\nklasa IV B\n\nMMAP-P0_100\nNauczyciel matematyki po każdym sprawdzianie porównuje wyniki uzyskane przez uczniów dwóch klas: klasy IV A oraz klasy IV B. Na dwóch poniższych diagramach przedstawiono wyniki sprawdzianu ze statystyki, jakie uzyskali uczniowie tych klas. Na osiach poziomych podano oceny, które uzyskali uczniowie tych klas, a na osiach pionowych podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę. [rysunek] [rysunek] Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Średnia arytmetyczna ocen uzyskanych ze sprawdzianu ze statystyki przez uczniów klasy IV A jest równa średniej arytmetycznej ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów klasy IV B. | P | F | Mediana ocen uzyskanych ze sprawdzianu ze statystyki przez uczniów klasy IV A jest równa medianie ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów klasy IV B. | P | F |","answer":"PP","answer_text":"Zadanie 31. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nXII.2) oblicza średnią arytmetyczną […],\nznajduje medianę […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nPP\nPP","solution":"Odpowiedź: PP\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nOdczyt z diagramów\n\nOcena | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Suma\nIV A | 1 | 6 | 3 | 3 | 6 | 1 | 20\nIV B | 1 | 3 | 6 | 6 | 3 | 1 | 20\n\nStwierdzenie 1: średnie równe?\n\nIV A:\n\n$$\\bar{x}_A = \\frac{1 \\cdot 1 + 2 \\cdot 6 + 3 \\cdot 3 + 4 \\cdot 3 + 5 \\cdot 6 + 6 \\cdot 1}{20} = \\frac{1 + 12 + 9 + 12 + 30 + 6}{20} = \\frac{70}{20} = 3{,}5$$\n\nIV B:\n\n$$\\bar{x}_B = \\frac{1 \\cdot 1 + 2 \\cdot 3 + 3 \\cdot 6 + 4 \\cdot 6 + 5 \\cdot 3 + 6 \\cdot 1}{20} = \\frac{1 + 6 + 18 + 24 + 15 + 6}{20} = \\frac{70}{20} = 3{,}5$$\n\nŚrednie równe → PRAWDA.\n\nStwierdzenie 2: mediany równe?\n\nMediana z 20 ocen = średnia 10. i 11. wartości po posortowaniu.\n\nIV A posortowane:\n- 1 (×1) — pozycja 1\n- 2 (×6) — pozycje 2-7\n- 3 (×3) — pozycje 8-10\n- 4 (×3) — pozycje 11-13\n\nPozycje 10. i 11.: 3 oraz 4 → mediana = $\\frac{3 + 4}{2} = 3{,}5$.\n\nIV B posortowane:\n- 1 (×1) — pozycja 1\n- 2 (×3) — pozycje 2-4\n- 3 (×6) — pozycje 5-10\n- 4 (×6) — pozycje 11-16\n\nPozycje 10. i 11.: 3 oraz 4 → mediana = $\\frac{3 + 4}{2} = 3{,}5$.\n\nMediany równe → PRAWDA.\n\nPo co to umieć\n\nŚrednia arytmetyczna i mediana są odrębnymi miarami:\n- Średnia \"ciągnie się\" w kierunku wartości skrajnych.\n- Mediana jest na nie odporna.\n\nCzasem dwa rozkłady mają taką samą średnią/medianę, ale różną rozproszenia (wariancja, odchylenie). Tu obie klasy mają taką samą średnią, ale klasa A ma większą wariancję (oceny rozjechane na 2 i 5).\n\nTypowy błąd: Pułapka wzrokowa: rozkłady wyglądają **różnie** (jeden ma szczyty na 2 i 5, drugi na 3 i 4), ale są **symetryczne względem 3,5**. Dlatego średnia i mediana wychodzą takie same.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-31.svg","topics":"statystyka, średnia arytmetyczna, mediana, prawdopodobienstwo","page_from":30,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 31. (0-1)
Nauczyciel matematyki po każdym sprawdzianie porównuje wyniki uzyskane przez uczniów
dwóch klas: klasy IV A oraz klasy IV B. Na dwóch poniższych diagramach przedstawiono
wyniki sprawdzianu ze statystyki, jakie uzyskali uczniowie tych klas.
Na osiach poziomych podano oceny, które uzyskali uczniowie tych klas, a na osiach
pionowych podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest
prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.
Średnia arytmetyczna ocen uzyskanych ze sprawdzianu ze statystyki przez
uczniów klasy IV A jest równa średniej arytmetycznej ocen uzyskanych z tego
sprawdzianu przez uczniów klasy IV B.
P
F
Mediana ocen uzyskanych ze sprawdzianu ze statystyki przez uczniów
klasy IV A jest równa medianie ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez
uczniów klasy IV B.
P
F
0
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
liczba uczniów
ocena
klasa IV A
0
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
liczba uczniów
ocena
klasa IV B

\n

MMAP-P0_100
Nauczyciel matematyki po każdym sprawdzianie porównuje wyniki uzyskane przez uczniów dwóch klas: klasy IV A oraz klasy IV B. Na dwóch poniższych diagramach przedstawiono wyniki sprawdzianu ze statystyki, jakie uzyskali uczniowie tych klas. Na osiach poziomych podano oceny, które uzyskali uczniowie tych klas, a na osiach pionowych podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę. [rysunek] [rysunek] Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Średnia arytmetyczna ocen uzyskanych ze sprawdzianu ze statystyki przez uczniów klasy IV A jest równa średniej arytmetycznej ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów klasy IV B. | P | F | Mediana ocen uzyskanych ze sprawdzianu ze statystyki przez uczniów klasy IV A jest równa medianie ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów klasy IV B. | P | F |

","answer_text_html":"

Zadanie 31. (0-1)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.

\n
  1. Interpretowanie i operowanie
\n

informacjami przedstawionymi w tekście,
zarówno matematycznym, jak
i popularnonaukowym, a także w formie
wykresów, diagramów, tabel.
Zdający:
XII.2) oblicza średnią arytmetyczną […],
znajduje medianę […].
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A
Wersja B
PP
PP

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-31.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Odpowiedź: PP

\n

Strona arkusza CKE z trescia zadania

\n

Co zrobić?

\n

Odczyt z diagramów

\n

Ocena | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Suma
IV A | 1 | 6 | 3 | 3 | 6 | 1 | 20
IV B | 1 | 3 | 6 | 6 | 3 | 1 | 20

\n

Stwierdzenie 1: średnie równe?

\n

IV A:

\n

$$\\bar{x}_A = \\frac{1 \\cdot 1 + 2 \\cdot 6 + 3 \\cdot 3 + 4 \\cdot 3 + 5 \\cdot 6 + 6 \\cdot 1}{20} = \\frac{1 + 12 + 9 + 12 + 30 + 6}{20} = \\frac{70}{20} = 3{,}5$$

\n

IV B:

\n

$$\\bar{x}_B = \\frac{1 \\cdot 1 + 2 \\cdot 3 + 3 \\cdot 6 + 4 \\cdot 6 + 5 \\cdot 3 + 6 \\cdot 1}{20} = \\frac{1 + 6 + 18 + 24 + 15 + 6}{20} = \\frac{70}{20} = 3{,}5$$

\n

Średnie równe → PRAWDA.

\n

Stwierdzenie 2: mediany równe?

\n

Mediana z 20 ocen = średnia 10. i 11. wartości po posortowaniu.

\n

IV A posortowane:

\n\n

Pozycje 10. i 11.: 3 oraz 4 → mediana = $\\frac{3 + 4}{2} = 3{,}5$.

\n

IV B posortowane:

\n\n

Pozycje 10. i 11.: 3 oraz 4 → mediana = $\\frac{3 + 4}{2} = 3{,}5$.

\n

Mediany równe → PRAWDA.

\n

Po co to umieć

\n

Średnia arytmetyczna i mediana są odrębnymi miarami:

\n\n

Czasem dwa rozkłady mają taką samą średnią/medianę, ale różną rozproszenia (wariancja, odchylenie). Tu obie klasy mają taką samą średnią, ale klasa A ma większą wariancję (oceny rozjechane na 2 i 5).

\n

Typowy błąd: Pułapka wzrokowa: rozkłady wyglądają różnie (jeden ma szczyty na 2 i 5, drugi na 3 i 4), ale są symetryczne względem 3,5. Dlatego średnia i mediana wychodzą takie same.

"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedz: 1 - P, 2 - P (PP)

\n

Obie srednie sa rowne (3,5) oraz obie mediany sa rowne (3,5), wiec oba stwierdzenia sa prawdziwe.

\n

Dane z diagramow

\n

Klasa IV A (ocena - liczba uczniow): 1 - 1, 2 - 6, 3 - 3, 4 - 3, 5 - 6, 6 - 1.
Klasa IV B (ocena - liczba uczniow): 1 - 1, 2 - 3, 3 - 6, 4 - 6, 5 - 3, 6 - 1.

\n

W obu klasach liczba uczniow:
\\[
n = 1+6+3+3+6+1 = 20 \\qquad\\text{oraz}\\qquad 1+3+6+6+3+1 = 20.
\\]

\n

Sposob 1 - srednia arytmetyczna ze srednia wazona danych pogrupowanych

\n

Srednia z danych pogrupowanych (karta wzorow CKE EM2023, dzial Parametry danych statystycznych - srednia arytmetyczna):
\\[
\\bar{x}=\\frac{\\sum (x_i\\cdot n_i)}{\\sum n_i}.
\\]

\n

Klasa IV A:
\\[
\\sum (x_i\\cdot n_i) = 1\\cdot 1 + 2\\cdot 6 + 3\\cdot 3 + 4\\cdot 3 + 5\\cdot 6 + 6\\cdot 1
\\]
\\[
= 1 + 12 + 9 + 12 + 30 + 6 = 70,
\\]
\\[
\\bar{x}_A = \\frac{70}{20} = 3{,}5.
\\]

\n

Klasa IV B:
\\[
\\sum (x_i\\cdot n_i) = 1\\cdot 1 + 2\\cdot 3 + 3\\cdot 6 + 4\\cdot 6 + 5\\cdot 3 + 6\\cdot 1
\\]
\\[
= 1 + 6 + 18 + 24 + 15 + 6 = 70,
\\]
\\[
\\bar{x}_B = \\frac{70}{20} = 3{,}5.
\\]

\n

Srednie sa rowne: \\(\\bar{x}_A = \\bar{x}_B = 3{,}5\\). Stwierdzenie 1 jest PRAWDZIWE (P).

\n
Uwaga z symetrii: rozklad ocen w klasie B jest lustrzanym odbiciem rozkladu w klasie A wzgledem srodka skali ocen (3,5). Lustrzane rozklady maja te sama srednia, co dodatkowo potwierdza wynik.
\n

Sposob 2 - mediana z danych uporzadkowanych

\n

Mediana to wartosc srodkowa po uporzadkowaniu rosnaco (karta wzorow CKE EM2023, dzial Parametry danych statystycznych - mediana). Dla \\(n=20\\) (liczba parzysta) mediana jest srednia arytmetyczna dwoch srodkowych wyrazow - 10. i 11.:
\\[
\\text{Me}=\\frac{x_{(10)}+x_{(11)}}{2}.
\\]

\n

Klasa IV A - pozycje po uporzadkowaniu:

\n\n

Stad \\(x_{(10)} = 3\\), \\(x_{(11)} = 4\\), wiec
\\[
\\text{Me}_A = \\frac{3+4}{2} = 3{,}5.
\\]

\n

Klasa IV B - pozycje po uporzadkowaniu:

\n\n

Stad \\(x_{(10)} = 3\\), \\(x_{(11)} = 4\\), wiec
\\[
\\text{Me}_B = \\frac{3+4}{2} = 3{,}5.
\\]

\n

Mediany sa rowne: \\(\\text{Me}_A = \\text{Me}_B = 3{,}5\\). Stwierdzenie 2 jest PRAWDZIWE (P).

\n

Typowe pulapki

\n
  1. Mediana przy parzystej liczbie danych. Przy \\(n=20\\) nie wystarczy wskazac jednego srodkowego wyrazu - trzeba usrednic 10. i 11. wyraz. Bledem jest podanie samej oceny 3 albo samej oceny 4 jako mediany.
  2. Pozorna roznica klas. Klasy maja rozne rozklady ocen (A ma wiecej ocen 2 i 5, B wiecej ocen 3 i 4), co kusi do odpowiedzi "rozne". Ale dzieki symetrii (lustrzane odbicie wzgledem 3,5) zarowno srednia, jak i mediana wychodza identyczne - trzeba policzyc, a nie sugerowac sie wygladem diagramow.
"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Z diagramu dla klasy IV A odczytujemy liczby uczniów:

\n

1:1, 2:6, 3:3, 4:3, 5:6, 6:1

\n

Średnia w klasie IV A:

\n

(1·1+2·6+3·3+4·3+5·6+6·1)/(20)
(70)/(20)
3 , 5

\n

Z diagramu dla klasy IV B odczytujemy:

\n

1:1, 2:3, 3:6, 4:6, 5:3, 6:1

\n

Średnia w klasie IV B:

\n

(1·1+2·3+3·6+4·6+5·3+6·1)/(20)
(70)/(20)
3 , 5

\n

Pierwsze zdanie: prawda.

\n

W obu klasach jest po 20 uczniów, więc mediana jest średnią z 10. i 11. wyniku.

\n

W klasie IV A 10. wynik to 3 , a 11. wynik to 4 .

\n

W klasie IV B 10. wynik to 3 , a 11. wynik to 4 .

\n

(3+4)/(2)=3 , 5

\n

Drugie zdanie: prawda.

\n

Odpowiedź: P, P

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"
  1. PRAWDA 2) PRAWDA
"}]}