{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"33","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33.\nW chwili 𝑡= 0 z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry.\nPrzyjmijmy, że wysokość ℎ, na której znajduje się piłeczka w danej chwili 𝑡, jest określona\nwzorem\nℎ(𝑡) = -4,9𝑡2 + 14,7𝑡\ngdzie:\nczas 𝑡 jest wyrażony w sekundach (s) i zmienia się od 0 do chwili pierwszego\nuderzenia piłeczki o ziemię\nwysokość ℎ jest wyrażona w metrach i jest liczona względem poziomu ziemi.\nW chwili t=0 z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry. Przyjmijmy, że wysokość h, na której znajduje się piłeczka w danej chwili t, jest określona wzorem h(t) = -4,9t² + 14,7t gdzie: • czas t jest wyrażony w sekundach (s) i zmienia się od 0 do chwili pierwszego uderzenia piłeczki o ziemię} • wysokość h jest wyrażona w metrach i jest liczona względem poziomu ziemi. Wyrzucona piłeczka osiągnęła największą wysokość w chwili A. t = 1,5 s B. t = 2 s C. t = 2,5 s D. t = 3 s","answer":"A","answer_text":null,"solution":"Odpowiedź: **33.1.** **D** — $t = 3$ s. **33.2.** **A** — $t = 1{,}5$ s.\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\n33.1. — kiedy uderzy w ziemię?\n\n$h(t) = 0$ — piłeczka na poziomie ziemi.\n\n$$-4{,}9t^2 + 14{,}7t = 0$$\n\n$$t \\cdot (-4{,}9t + 14{,}7) = 0$$\n\nDwa rozwiązania:\n- $t = 0$ (moment wyrzutu)\n- $-4{,}9t + 14{,}7 = 0 \\implies t = \\frac{14{,}7}{4{,}9} = 3$ (uderzenie w ziemię)\n\n33.2. — największa wysokość?\n\nWierzchołek paraboli. Funkcja kwadratowa $h(t) = at^2 + bt + c$, ekstremum przy:\n\n$$t_W = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{14{,}7}{2 \\cdot (-4{,}9)} = \\frac{14{,}7}{9{,}8} = 1{,}5$$\n\nBo $a = -4{,}9 < 0$, parabola ma maksimum.\n\nSprawdzenie: dla paraboli (lot symetryczny) max jest dokładnie w połowie czasu lotu: $\\frac{3}{2} = 1{,}5$ s ✓.\n\nPo co to umieć\n\nKlasyczny model fizyczny: $h(t) = h_0 + v_0 t - \\frac{1}{2}gt^2$ ($g \\approx 9{,}8$ m/s²). Tu $h_0 = 0$, $v_0 = 14{,}7$ m/s.\n\nTrzy własności paraboli z fizyki:\n1. Miejsca zerowe — czasy startu i upadku.\n2. Wierzchołek $t_W$ — moment max. wysokości (w połowie czasu lotu).\n3. Wartość $h_W$ — sama maksymalna wysokość.\n\nTypowy błąd: Klucz: $h(t) = 0$ daje **dwa** rozwiązania ($t = 0$ — wyrzut, $t = 3$ — upadek). Pierwszy \"uderza w ziemię\" to ten **drugi**. Max wysokości to wierzchołek paraboli — środek między miejscami zerowymi.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-33.svg","topics":"funkcja kwadratowa, zastosowanie fizyczne, wierzchołek paraboli","page_from":32,"source":"maturaonline","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 33.<br>W chwili 𝑡= 0 z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry.<br>Przyjmijmy, że wysokość ℎ, na której znajduje się piłeczka w danej chwili 𝑡, jest określona<br>wzorem<br>ℎ(𝑡) = -4,9𝑡2 + 14,7𝑡<br>gdzie:<br>czas 𝑡 jest wyrażony w sekundach (s) i zmienia się od 0 do chwili pierwszego<br>uderzenia piłeczki o ziemię<br>wysokość ℎ jest wyrażona w metrach i jest liczona względem poziomu ziemi.<br>W chwili t=0 z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry. Przyjmijmy, że wysokość h, na której znajduje się piłeczka w danej chwili t, jest określona wzorem h(t) = -4,9t² + 14,7t gdzie: • czas t jest wyrażony w sekundach (s) i zmienia się od 0 do chwili pierwszego uderzenia piłeczki o ziemię} • wysokość h jest wyrażona w metrach i jest liczona względem poziomu ziemi. Wyrzucona piłeczka osiągnęła największą wysokość w chwili A. t = 1,5 s B. t = 2 s C. t = 2,5 s D. t = 3 s</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-33.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: <strong>33.1.</strong> <strong>D</strong> — $t = 3$ s. <strong>33.2.</strong> <strong>A</strong> — $t = 1{,}5$ s.</p>\n<p>Strona arkusza CKE z trescia zadania</p>\n<p>Co zrobić?</p>\n<p>33.1. — kiedy uderzy w ziemię?</p>\n<p>$h(t) = 0$ — piłeczka na poziomie ziemi.</p>\n<p>$$-4{,}9t^2 + 14{,}7t = 0$$</p>\n<p>$$t \\cdot (-4{,}9t + 14{,}7) = 0$$</p>\n<p>Dwa rozwiązania:</p>\n<ul><li>$t = 0$ (moment wyrzutu)</li><li>$-4{,}9t + 14{,}7 = 0 \\implies t = \\frac{14{,}7}{4{,}9} = 3$ (uderzenie w ziemię)</li></ul>\n<p>33.2. — największa wysokość?</p>\n<p>Wierzchołek paraboli. Funkcja kwadratowa $h(t) = at^2 + bt + c$, ekstremum przy:</p>\n<p>$$t_W = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{14{,}7}{2 \\cdot (-4{,}9)} = \\frac{14{,}7}{9{,}8} = 1{,}5$$</p>\n<p>Bo $a = -4{,}9 &lt; 0$, parabola ma maksimum.</p>\n<p>Sprawdzenie: dla paraboli (lot symetryczny) max jest dokładnie w połowie czasu lotu: $\\frac{3}{2} = 1{,}5$ s ✓.</p>\n<p>Po co to umieć</p>\n<p>Klasyczny model fizyczny: $h(t) = h_0 + v_0 t - \\frac{1}{2}gt^2$ ($g \\approx 9{,}8$ m/s²). Tu $h_0 = 0$, $v_0 = 14{,}7$ m/s.</p>\n<p>Trzy własności paraboli z fizyki:</p>\n<ol><li>Miejsca zerowe — czasy startu i upadku.</li><li>Wierzchołek $t_W$ — moment max. wysokości (w połowie czasu lotu).</li><li>Wartość $h_W$ — sama maksymalna wysokość.</li></ol>\n<p>Typowy błąd: Klucz: $h(t) = 0$ daje <strong>dwa</strong> rozwiązania ($t = 0$ — wyrzut, $t = 3$ — upadek). Pierwszy &quot;uderza w ziemię&quot; to ten <strong>drugi</strong>. Max wysokości to wierzchołek paraboli — środek między miejscami zerowymi.</p>"}]}