{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/33.1","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"33.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33.1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWyrzucona piłeczka po raz pierwszy uderzy w ziemię w chwili\nA. 𝑡= 1,5 s\nB. 𝑡= 2 s\nC. 𝑡= 2,5 s\nD. 𝑡= 3 s\n\nMMAP-P0_100\nW chwili t=0 z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry. Przyjmijmy, że wysokość h, na której znajduje się piłeczka w danej chwili t, jest określona wzorem h(t) = -4,9t² + 14,7t gdzie: • czas t jest wyrażony w sekundach (s) i zmienia się od 0 do chwili pierwszego uderzenia piłeczki o ziemię} • wysokość h jest wyrażona w metrach i jest liczona względem poziomu ziemi. Wyrzucona piłeczka po raz pierwszy uderzy w ziemię w chwili A. t = 1,5 s B. t = 2 s C. t = 2,5 s D. t = 3 s","answer":"D","answer_text":"Zadanie 33.1. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.11) wykorzystuje własności funkcji […]\nkwadratowej do interpretacji zagadnień […]\nfizycznych itp., także osadzonych\nw kontekście praktycznym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nD\nA","solution":"**D** — $t = 3$ s.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-33.1.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-33.1.svg","topics":"funkcja kwadratowa, zastosowanie fizyczne, wierzchołek paraboli, funkcje","page_from":32,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 33.1. (0-1)<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Wyrzucona piłeczka po raz pierwszy uderzy w ziemię w chwili<br>A. 𝑡= 1,5 s<br>B. 𝑡= 2 s<br>C. 𝑡= 2,5 s<br>D. 𝑡= 3 s</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>W chwili t=0 z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry. Przyjmijmy, że wysokość h, na której znajduje się piłeczka w danej chwili t, jest określona wzorem h(t) = -4,9t² + 14,7t gdzie: • czas t jest wyrażony w sekundach (s) i zmienia się od 0 do chwili pierwszego uderzenia piłeczki o ziemię} • wysokość h jest wyrażona w metrach i jest liczona względem poziomu ziemi. Wyrzucona piłeczka po raz pierwszy uderzy w ziemię w chwili A. t = 1,5 s B. t = 2 s C. t = 2,5 s D. t = 3 s</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 33.1. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.</p>\n<ol><li>Interpretowanie i operowanie</li></ol>\n<p>informacjami przedstawionymi w tekście,<br>zarówno matematycznym, jak<br>i popularnonaukowym, a także w formie<br>wykresów, diagramów, tabel.<br>Zdający:<br>V.11) wykorzystuje własności funkcji […]<br>kwadratowej do interpretacji zagadnień […]<br>fizycznych itp., także osadzonych<br>w kontekście praktycznym.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>Wersja A<br>Wersja B<br>D<br>A</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-33.1.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p><strong>D</strong> — $t = 3$ s.</p>"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedz: D</h4>\n<h4>Sposob 1 - Rozwiazanie rownania kwadratowego przez wylaczenie wspolnego czynnika</h4>\n<p><strong>Krok 1. Interpretacja warunku.</strong><br>Pileczka uderza w ziemie w momencie, gdy jej wysokosc nad ziemia jest rowna zero, czyli gdy \\( h(t) = 0 \\). Zapisuje rownanie:<br>\\[ -4{,}9t^2 + 14{,}7t = 0 \\]</p>\n<p><strong>Krok 2. Wylaczenie wspolnego czynnika przed nawias.</strong><br>Oba skladniki maja wspolny czynnik \\( t \\), wiec wylaczam go przed nawias:<br>\\[ t\\left(-4{,}9t + 14{,}7\\right) = 0 \\]</p>\n<p><strong>Krok 3. Zastosowanie wlasnosci iloczynu.</strong><br>Iloczyn dwoch czynnikow jest rowny zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynnikow jest zerem:<br>\\[ t = 0 \\qquad \\text{lub} \\qquad -4{,}9t + 14{,}7 = 0 \\]</p>\n<p><strong>Krok 4. Odrzucenie pierwiastka \\( t = 0 \\).</strong><br>Pierwiastek \\( t = 0 \\) odpowiada chwili wyrzucenia pileczki (start z poziomu ziemi), a nie momentowi uderzenia, dlatego go odrzucam.</p>\n<p><strong>Krok 5. Rozwiazanie drugiego rownania.</strong><br>\\[ -4{,}9t + 14{,}7 = 0 \\]<br>\\[ 4{,}9t = 14{,}7 \\]<br>\\[ t = \\frac{14{,}7}{4{,}9} = 3 \\]</p>\n<p><strong>Krok 6. Wniosek.</strong><br>Pileczka po raz pierwszy uderzy w ziemie w chwili \\( t = 3 \\) s.</p>\n<p><strong>Sprawdzenie (podstawienie do wzoru):</strong><br>\\[ h(3) = -4{,}9 \\cdot 3^2 + 14{,}7 \\cdot 3 = -4{,}9 \\cdot 9 + 44{,}1 = -44{,}1 + 44{,}1 = 0 \\]<br>Wysokosc rzeczywiscie wynosi zero, co potwierdza poprawnosc wyniku.</p>\n<blockquote>Odwolanie do karty wzorow CKE (EM2023), dzial &quot;Funkcja kwadratowa&quot;: rownanie postaci \\( ax^2 + bx = 0 \\) (przypadek \\( c = 0 \\)) najszybciej rozwiazuje sie przez wylaczenie czynnika \\( x \\) przed nawias, bez liczenia wyroznika. Alternatywnie mozna skorzystac ze wzorow na pierwiastki z delta, ale tutaj nie jest to potrzebne.</blockquote>\n<h4>Dlaczego pozostale sa bledne</h4>\n<ul><li><strong>A. \\( t = 1{,}5 \\) s</strong> - to jest chwila, w ktorej pileczka osiaga <em>najwyzszy</em> punkt (wierzcholek paraboli, gdzie \\( t = \\tfrac{14{,}7}{2 \\cdot 4{,}9} = 1{,}5 \\)), a nie moment uderzenia o ziemie. Podstawiajac: \\( h(1{,}5) = -4{,}9 \\cdot 2{,}25 + 14{,}7 \\cdot 1{,}5 = 11{,}025 \\neq 0 \\).</li><li><strong>B. \\( t = 2 \\) s</strong> - sprawdzenie: \\( h(2) = -4{,}9 \\cdot 4 + 14{,}7 \\cdot 2 = -19{,}6 + 29{,}4 = 9{,}8 \\neq 0 \\), wiec pileczka jest jeszcze w powietrzu.</li><li><strong>C. \\( t = 2{,}5 \\) s</strong> - sprawdzenie: \\( h(2{,}5) = -4{,}9 \\cdot 6{,}25 + 14{,}7 \\cdot 2{,}5 = -30{,}625 + 36{,}75 = 6{,}125 \\neq 0 \\), pileczka wciaz spada, ale nie dotknela jeszcze ziemi.</li></ul>\n<h4>Typowe pulapki</h4>\n<ol><li><strong>Wybor \\( t = 0 \\) jako odpowiedzi</strong> - rownanie ma dwa pierwiastki, ale \\( t = 0 \\) to chwila wyrzucenia, a nie uderzenia. Pytanie dotyczy <em>pierwszego uderzenia o ziemie</em>, czyli dodatniego pierwiastka.</li><li><strong>Mylenie wierzcholka z miejscem zerowym</strong> - wartosc \\( t = 1{,}5 \\) s to moment osiagniecia maksymalnej wysokosci (polowa drogi miedzy pierwiastkami), a nie chwila powrotu na ziemie. Z symetrii paraboli pelny czas lotu jest dwa razy dluzszy: \\( 2 \\cdot 1{,}5 = 3 \\) s.</li></ol>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Piłeczka uderzy w ziemię, gdy jej wysokość będzie równa 0 .</p>\n<p>h(t)=-4 , 9t^2+14 , 7t</p>\n<p>-4 , 9t^2+14 , 7t=0</p>\n<p>Wyłączamy t przed nawias:</p>\n<p>t(-4 , 9t+14 , 7)=0</p>\n<p>Stąd:</p>\n<p>t=0</p>\n<p>lub</p>\n<p>-4 , 9t+14 , 7=0</p>\n<p>t=3</p>\n<p>Czas t=0 oznacza moment wyrzucenia piłeczki, więc pierwsze uderzenie o ziemię nastąpi po 3 sekundach.</p>\n<p>Odpowiedź: D. t=3 s</p>"}]}